1、旋转 轴对称1如图，在平面直角坐标系中， O为原点，四边形 ABCO是矩形，点 A， C的坐标分别是 A（0，2）和 C（ 3，0），点 D是对角线 AC上一动点（不与 A， C重合），连结 BD，作 DE DB，交x轴于点 E，以线段 DE， DB为邻边作矩形 BDEF（1）填空：点 B的坐标为 ；（2）是否存在这样的点 D，使得 DEC是等腰三角形？若存在，请求出 AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）求证： EB= 3；设 AD=x，矩形 BDEF的面积为 y，求 y关于 x的函数关系式（可利用的结论），并求出 y的最小值2如图，抛物线 2yaxb经过点 (1,0)(4,AB，交y 轴
2、于点C：（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）（2）点 D为 y轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D使 23ABCABDS，若存在请直接给出点 坐标；若不存在请说明理由（3）将直线 BC绕点 顺时针旋转 45o，与抛物线交于另一点 E，求 的长 3. 已知，在 RtABC中， 90,4,2,ACBD 是 AC边上的一个动点，将D沿 所在直线折叠，使点 落在点 P处.（1）如图1，若点 D是 AC中点，连接 P . 写出 ,BD的长；求证：四边形BCP是平行四边形.（2）如图2，若 ，过点 作 HC交 的延长线于点 H，求 P的长.4如图，已知抛物线 axay932与坐标轴交于 A， B， C三点
3、，其中 C（0，3）， BAC的平分线 AE交 y轴于点 D，交 BC于点 E，过点 D的直线 l与射线 AC， AB分别交于点 M， N（1）直接写出 a的值、点 A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点 P为抛物线的对称轴上一动点，若 PAD为等腰三角形，求出点 P的坐标；（3）证明：当直线 l绕点 D旋转时， ANM1均为定值，并求出该定值5.平面内，如图，在 ABCD中， 10， 5AD， 4tan3点 P为 AD边上任意一点，连接 P，将 绕点 P逆时针旋转 9得到线段 Q(1)当 10DPQ时，求 APB的大小；(2)当 tan:t3:2AB时，求点 Q与点 间的距离 (结果保留根号 )
4、；(3)若点 恰好落在 C的边所在的直线上，直接写出 PB旋转到 Q所扫过的面积 (结果保留 )6. 如图1，在 RtAB中， 90， ABC，点 D， E分别在边 A， C上，ADE，连接 ，点 M， P， N分别为 ， ， 的中点.（1）观察猜想图1中，线段 PM与 N的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明把 ADE绕点 逆时针方向旋转到图 2的位置，连接 MN， BD， CE，判断 PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把 绕点 在平面内自由旋转，若 4A， 10，请直接写出 面积的最大值.7在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、 4A的打印纸等，其实这些
5、矩形的长与宽之比都为 2:1，我们不妨就把这样的矩形成为“标准矩形”在“标准矩形” ABCD中， P为 边上一定点，且 CPB，如图所示（1）如图，求证： BAP；（2）如图，点 Q在 DC上，且 ，若 G为 BC边上一动点，当 AGQ的周长最小时，求 CGB的值；（3）如图，已知 1AD，在（2）的条件下，连接 AG并延长交 DC的延长线于点 F，连接 F， T为 的中点， M、 N分别为线段 PF与 B上的动点，且始终保持PMN，请证明： 的面积 S为定值，并求出这个定值8已知O为直线MN上一点，OPMN，在等腰RtABO中，BAO=90，ACOP交OM于C，D为OB的中点，DEDC交MN
6、于E（1）如图1，若点B在OP上，则AC OE（填“”，“=”或“”）；线段CA、CO、CD满足的等量关系式是 ；（2）将图1中的等腰RtABO绕O点顺时针旋转（045），如图2，那么（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）将图1中的等腰RtABO绕O点顺时针旋转（4590），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式 9如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD的边 AD在 x轴上，点 C在 y轴的负半轴上，直线 BC AD，且 BC=3， OD=2，将经过 A、 B两点的直线 l： y=2 x10向右平移，平移后的直线与 x轴交于点 E，与直线 BC交于点 F，
7、设 AE的长为 t（ t0）（1）四边形 ABCD的面积为 ；（2）设四边形 ABCD被直线 l扫过的面积（阴影部分）为 S，请直接写出 S关于 t的函数解析式；（3）当 t=2时，直线 EF上有一动点，作 PM直线 BC于点 M，交 x轴于点 N，将 PMF沿直线 EF折叠得到 PTF，探究：是否存在点 P，使点 T恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由10如图，在 ABC中， 09， CD是中线， ABC.一个以点 D为顶点的45角绕点 D旋转，使角的两边分别与 ,B的延长线相交，交点分别为点 ,EF，与 交于点 M， E与 交于点 N.（1）如图1，若 CEF
8、，求证： DEF；（2）如图2，在 绕点 旋转的过程中：探究三条线段 ,AB之间的数量关系，并说明理由；若 4,2EF，求 N的长.11问题背景：已知EDF的顶点D在ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记ADM的面积为S 1，BND的面积为S 2（1）初步尝试：如图，当ABC是等边三角形，AB=6，EDF=A，且DEBC，AD=2时，则S 1S2= 12 ；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将EDF绕点D旋转至如图所示位置，求S 1S2的值；（3）延伸拓展：当ABC是等腰三角形时，设B=A=EDF=
9、（）如图，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S 1S2的表达式（结果用a，b和的三角函数表示）（）如图，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S 1S2的表达式，不必写出解答过程12折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步，对折矩形纸片 ABCD（图），使 AB与 DC重合，得到折痕 EF，把纸片展平（图）.第二步，如图 ，再一次折叠纸片，使点 落在 EF上的 P处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BG，折出 ,P，得到 PB.（1）说明 C是等边三角形.【数学思考】（2）如图.小明画出了图的矩形 ABCD和等边三角形 PBC.他发现，在矩
10、形 ABCD中把 PBC经过图形变化，可以得到图中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.（3）已知矩形一边长为3 cm，另一边长为 ac.对于每一个确定的 a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的 的取值范围.（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4 cm和1 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 .13如图，在矩形纸片 CDA中，已知 1， C3，点 在边 CD上移动，连接A，将多边形 沿直线 折叠，得到多边形 A，点 、 的对应点分别为点 、 （1）当 恰好经过点 时（如图1），求线段 的长；（2）若 C分别交边 DA、 C于点 F
11、、 G，且 D2.5（如图2），求 DFG的面积；（ 3）在点 从点 移动到点 的过程中，求点 C运动的路径长14如图，将边长为 6的正三角形纸片 ABC按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕,ADBE（如图），点 O为其交点.（1）探求 与 的数量关系，并说明理由；（2）如图，若 ,PN分别为 ,BE上的动点.当 的长度取得最小值时，求 P的长度；如图，若点 Q在线段 O上， 1，则 QNPD的最小值= .15我们定义：如图1，在ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转（0180）得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC当+=180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上
12、的中线AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”特例感知：（1）在图2，图3中，ABC是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”如图2，当ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；如图3，当BAC=90，BC=8时，则AD长为 猜想论证：（2）在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，C=90，D=150，BC=12，CD=2 3，DA=6在四边形内部是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由【答案】（1） 124（2）AD
13、= 1BC（3）存在165.如图，在矩形 ABCD中， 3,4BC，将矩形 ABCD绕点 按顺时针方向旋转角，得到矩形 ， 与 A交于点 E， 的延长线与 交于点 F.（1）如图，当 06时，连接 D，求 和 AF的长；（2）如图，当矩形 ABCD的顶点 A落在 C的延长线上时，求 EF的长；（3）如图，当 AEF时，连接 ,ACF，求 A的值.17 OPA和 QB分别是以 OPQ、 为直角边的等腰直角三角形，点 CDE、 、 分别是、 、的中点（1）当 90AOBo时如图1，连接 PEQ、 ，直接写出 EP与 Q的大小关系；（2）将 Q绕点 逆时针方向旋转，当 AOB是锐角时如图2，（1）中
14、的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明（3）仍将 B绕点 旋转，当 为钝角时，延长 PCD、 交于点 G，使AG为等边三角形如图3，求 AB的度数18.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EFAB交PQ于F，连接BF,(1)求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动.当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；如限定P，Q分别 在BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.19边长为6的等边 ABC中，点 D、E分别在 AC、B边上, DE/,
15、 32. （l）如图1，将 沿射 线 方向平移，得到，边 与 的交点为 M,边 与 的角平分线交于点 N.当 C多大时，四 边形 DMCN为菱形?并说明理由. （2）如图2，将 DE绕点 旋转 （ 360），得到 E,连接 DA、 EB，边的中点为 P. 在旋转过 程中， A和 B有怎样的数量关系?并说明理由.连接 ,当 最大时，求 的值.（结果保留根号） 20【操作发现】（1）如图1，ABC为等边三角形，现将三角板中的60角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0且小于30），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使
16、DCE=30，连接AF，EF求EAF的度数；DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，先将三角板的90角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0且小于45），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使DCE=45，连接AF，EF，请直接写出探究结果：求EAF的度数；线段AE，ED，DB之间的数量关系2115或 32,45的三角形就是（3，4，5）型三角形用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形实践操作 如图1，在矩形纸片 ABCD中， 8,12cmABc
17、第一步：如图2，将图1中的矩形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 D落在 AB上的点 E处，折痕为 F，再沿 E折叠，然后把纸片展平第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点 D与点 F重合，折痕为 GH，然后展平，隐去 AF第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿 AH折叠，得到 A，再沿 折叠，折痕为M， 与折痕 E交于点 N，然后展平问题解决（1）请在图2中证明四边形 AEFD是正方形（2）请在图4中判断 N与 的数量关系，并加以证明（3）请在图4中证明 是（3，4，5）型三角形探索发现（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称22
18、如图1，已知二次函数 2yaxbc（ a， ， c为常数， 0a）的图象过点(0,)O和点 (4,0)A，函数图象最低点 M的纵坐标为 3，直线 l的解析式为 yx（1）求二次函数的解析式；（2）直线 l沿 x轴向右平移，得直线 l， 与线段 OA相交于点 B，与 x轴下方的抛物线相交于点 C，过点 作 Ex轴于点 ，把 CE沿直线 l折叠，当点 E恰好落在抛物线上点 时（图2），求直线 l的解析式；（3）在（2）的条件下， l与 y轴交于点 N，把 BO绕点 逆时针旋转 135得到BON P为 l上的动点，当 P为等腰三角形时，求符合条件的点 P的坐标23如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原
19、点，点A（1，0），点B（0， ）（1）求BAO的度数；（2）如图1，将AOB绕点O顺时针得AOB，当A恰好落在AB边上时，设ABO的面积为S 1，BAO的面积为S 2，S 1与S 2有何关系？为什么？（3）若将AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S 1与S 2的关系发生变化了吗？证明你 的判断24如图1，将 ABC纸片沿中位线 EH折叠，使点 A的对称点 D落在 BC边上，再将纸片分别沿等腰 ED和等腰 的底边上的高线 F， HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称 为叠合矩形(1)将 ABCD
20、纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形 AEFG，则操作形成的折痕分别是线段_，_； :ABCDEFGS形 _.(2) 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形 H，若 5， 12E，求 的长(3)如图4，四边形 纸片满足 ,8,0BACBDA 小明把该纸片折叠，得到叠合正方形请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出 ,ADBC的长25如图1，已知 ,/ABCDx轴， 6AB，点 的坐标为 (1,4)，点 D的坐标为(3,4)，点 在第四象限，点 P是 CD边上的一个动点（1）若点 P在边 BC上， D，求点 P的坐标（2）若点 在边 ,A上，点 关于坐标轴对称的点 Q落在直线 1yx上，求点 P的
21、坐标（3）若点 P在边 ,B上，点 G是 A与 y轴的交点，如图2，过点 作 y轴的平行线 M，过点 G作 x轴的平行线 M，它们相交于点 ，将 PGM沿直线 翻折，当点 的对应点落在坐标轴上时，求点 P的坐标（直接写出答案）26已知ABC是等腰三角形，AB=AC（1）特殊情形：如图1，当DEBC时，有DB EC（填“”，“”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的ADE绕点A顺时针旋转（0 180）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理 由（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，ACB=90，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度数2
22、728如图， ABC和 ADE是有公共顶点的等腰直角三角形， BAC= DAE=90，点 P为射线 BD， CE的交点.（1）求证： BD=CE；（4分）（2）若 AB=2， AD=1，把 ADE绕点 A旋转，当 EAC=90时，求 PB的长；（6 分）直接写出旋转过程中线段 PB长的最小值与最大值.（4分）29（本小题满分 10 分）如图 1，二次函数 的图像过点 A （3，0）， B （0， 4）两点，动点 P 从 A 出发，在线段 AB 上沿 A B 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P作 PD y 于点 D ，交抛物线于点 C . 设运动时间为 t （秒）.（1）求二次函数
23、 的表达式；（2）连接 BC ，当t56 时，求BCP 的面积；（3）如图 2，动点 P 从 A 出发时，动 点 Q 同时从 O 出发，在线段 OA 上沿 OA 的方向以 1个单位长度的速度运动，当点 P 与 B 重合时， P 、 Q 两点同时停止运动，连接 DQ 、 PQ ，将DPQ沿直线 PC 折叠到 DPE . 在运动过程中，设 DPE 和 OAB重合部分的面积为 S ，直接写出 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围.3031如图1，在正方形ABCD内作EAF=45，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AHEF，垂足为H（1）如图2，将ADF绕点A顺时针旋转90得
24、到ABG求证：AGEAFE；若BE=2，DF=3，求AH的长（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由32若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C 1：y 1=2x 2+4x+2与C 2：u 2=x 2+mx+n为“友好抛物线”（1）求抛物线C 2的解析式（2）点A是抛物线C 2上在第一象限的动点，过A作AQx轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值（3）设抛物线C 2的顶点为C，点B的坐标为（1，4），问在C 2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90得到线段MB，且点B恰好落在抛物线C 2上？若
25、存在求出点M的坐标，不存在说明理由33已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点不与点A、C重合），分别过点A、 C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点.（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）.（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当OFE=30时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明.34（本小题满分9分）在 ABC中， ,2DAEBC.（1）如图1，若点 D关于直 线 E的对称点为 F，求证： F BC；（2）如图2，在（1）的条件下，若 45，求证：
26、22；（3）如图3，若 45，点 E在 BC的延长线上，则等式 22CEBD还能成立吗？请说明理由.35爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是ABC的中线，ANBN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”设BC=a，AC=b，AB=c【特例探究】（1）如图1，当tanPAB=1，c=4 时，a= ，b= ；如图2，当PAB=30，c=2时，a= ，b= ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a 2、b 2、c 2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图
27、3证明你的结论【拓展证明】（3）如图4，ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BECE于E，AF与BE相交点G，AD=3 ，AB=3，求AF的长36BCDEFA图2BCDEFA图1 EBCDA图3第24题图37如图，在 ABC中， ACB=90， B=30， AC=1， D为 AB的中点， EF为 ACD 的中位线，四边形 EFGH为 ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在 ACD的边上）（1）计算矩形 EFGH的面积；（2）将矩形 EFGH沿 AB向右平移， F落在 BC上时停止移动在平移过程中，当矩形与 CBD重叠部分的面积为 3
28、16时，求矩形平移的距离；（3）如图，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形 1EFGH，将矩形1EFGH绕 1点按顺时针方向旋转，当 1H落在 CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形 2，设旋转角为 ，求 cos的值381 新 知 学 习图 图（备用）图若 把 将 一 个 平 面 图 形 分 为 面 积 相 等 的 两 个 部 分 的 直 线 叫 做 该 平 面 图 形 的 “面 线 ”，其 “面 线 ”被 该 平 面 图 形 截 得 的 线 段 叫 做 该 平 面 图 形 的 “面 径 ”（ 例 如 圆 的 直 径 就是 圆 的 “面 径 ”） 2 解 决 问 题已 知 等 边 三 角
29、 形 ABC的 边 长 为 2（ 1） 如 图 一 ， 若 AD BC， 垂 足 为 D， 试 说 明 AD是 ABC的 一 条 面 径 ， 并 求 AD的 长 ；（ 2） 如 图 二 ， 若 ME BC， 且 ME是 ABC的 一 条 面 径 ， 求 面 径 ME的 长 ；（ 3） 如 图 三 ， 已 知 D为 BC的 中 点 ， 连 接 AD， M为 AB上 的 一 点 （ 0 AM 1） ， E是 DC上 的 一 点 ， 连 接 ME， ME与 AD交 于 点 O， 且 S MOA=S DOE 求 证 ： ME是 ABC的 面 径 ； 连 接 AE， 求 证 ： MD AE；（ 4） 请
30、 你 猜 测 等 边 三 角 形 ABC的 面 径 长 l的 取 值 范 围 （ 直 接 写 出 结 果 ）39已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF。设CE=a，CF=b。（1）如图1，当EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由。图3图2图图1 EFADADEFADB B BC C C40【图形定义】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60后，发现旋转前后两图形有另一交点O,连接AO，我们称AO为“
31、叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60后，交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称OAB为“叠弦角”，AOP为“叠弦三角形”.【探究证明】(1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即AOP)是等 边三角形；(2)如图2，求证：OAB=OAE.【归纳猜想】(3)图1、图2中“叠弦角”的度数分别为 ， ；(4)图n中，“叠弦三角形” 等边三角形（填“是”或“不是”）；(5)图n中，“叠弦角”的度数为 （用含n的式子表示）.OP(E) 图n图3n=6) 图2n=5)图1n=4) POFN EDCBFEDC(CDFBCD(E)FPOCDEB CDEBPOCDBCDBA AA
32、 A41如图， ABC与 CDE是等腰直角三角形，直角边 AC、 CD在同一条直线上，点 M、 N分别是斜边 AB、 DE的中点，点 P为 AD的中点，连接 AE、 BD（1）猜想 PM与 PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图中的 CDE绕着点 C顺时针旋转 )90(，得到图， AE与MP、 BD分别交于点 G、 H请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BC=kAC， CD= CE，如图，写出PM与 PN的数量关系，并加以证明图 图 图GHA DPBMCNEA DPBMCNENEPMCDBA4243
33、在ABC中，AB=6，AC=BC=5，将ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到ADE，旋转角为（0180），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE（1）如图，当=60时，延长BE交AD于点F求证：ABD是等边三角形；求证：BFAD，AF=DF；请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当DAG=ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答第25题图4445如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中ACB=90，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连
34、接EF（1）图，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S 四边形ECBF =3SEDF ，求AE的长；（2）如图，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MFCA试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；求EF的长；（3）如图，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE= ，求 的值46我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形（1）如图1，四边形 ABCD中，点 E， F， G， H分 别为边 AB， BC， CD， DA的中点求证：中点四边形 EFGH是平行四边形；（2）如图2，点 P是四边
35、形 ABCD内一点，且满足 PA=PB， PC=PD， APB= CPD，点 E， F， G，H分别为边 AB， BC， CD， DA的中点，猜想中点四边形 EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使 APB= CPD=90，其他条件不变，直接写出中点四边形 EFGH的形状（不必证明）47如图1，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BDCF成立（1）当ABC绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当ABC绕点A逆时针旋转45时，如图
36、3，延长BD交CF于点H求证：BDCF；当AB=2，AD=3 时，求线段DH的长48在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究（一）尝试探究如图1，在四边形 ABCD中， AB AD， BAD60， ABC ADC90，点 E、 F分別在线段 BC、 CD上， EAF30，连接 EF（1）如图2，将 ABE绕点 A逆时针旋转60后得到 A B E（ A B与 AD重合），请直接写出 E AF_度，线段 BE、 EF、 FD之间的数量关系为_；（2）如图3，当点 E、 F分别在线段 BC、 CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段 B
37、E、 EF、 FD之间的数量关系，并说明理由 （二）拓展延伸如图4，在等边 ABC中， E、 F是边 BC上的两点， EAF30， BE1，将 ABE绕点 A逆时针旋转60得到 A B E（ A B与 AC重合），连接 EE， AF与 EE交于点 N，过点 A作 AM BC于点 M，连接 MN，求线段 MN的长度49如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF.连接DE，过点E作EGDE，使EG=DE.连接FG，FC.（1）请判断：FG与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？
38、请出 判断并予以证明；（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断.第27题图2第27题图1EFCA()FCAB D D(B)BE E第27题图3 第27题图4MNEC(B)FA()FCADB BE E50）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且MAN始终保持4 5不变（1）求证： = ；（2）求证：AFFM；（3）请探索：在MAN的旋转过程中，当BAM等于多少度时，FMN=BAM？写出你的探索结论，并加以证明51问题情境在综合与实
39、践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片 ABCD（ 90BAD）沿对角线 AC剪开，得到 ABC和 D操作发现（1）将图1中的 C以 A为旋转中心，逆时针方向旋转角 ，使 C，得到如图2所示的 ，分别延长 BC 和 D交于点 E，则四边形 E的状是 ；（2分）（2）创新小组将图1中的 AD以 A为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使 BC，得到如图3所示的 ，连接 DB， ，得到四边形 DCB，发现它是矩形请你证明这个论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中 BC=13cm， AC=10cm，然后提出一个问题：将 CA沿着射线 D
40、B方向平移 acm，得到DCA，连接 B， ，使四边形 DB恰好为正方形，求 a的值请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的 在同一平面内进行一次平移，得到 ，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明52（1）如图，已知ABC ，请画出ABC关于直线AC对称的三角形。问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，请说明理由。问题解决(3)如图，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从板材中裁出一个面积尽可能大的四边形
41、EFGH部件，使EFG=90 0 ， EF=FG= 5米, EHG=45 0.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AFBF。并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才可能裁出符合要求的部件，试问能否裁出符合要求且面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由。53如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB3，BAD45,按下列步骤进行裁剪和拼图.第一步：如图，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到A BD和BCD纸片，再将ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到ABE和ADE纸片；第二步：如图，将ABE纸片平移至DC
42、F处，将ADE纸片平移至BCG处；第三步：如图，将DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于PQM处（边PQ与DC重合，PQM与DCF在CD同侧），将BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于PRN处（边PR与BC重合，PRN与BCG在BC同侧）。则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为_.54如图，ABC中，ABC45，AHBC于点H，点D在AH上，且DHCH，连接BD.(1)求证：BD=AC；(2)将BHD绕点H旋转，得到EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE.）如图，当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC4，tanC=3,求AE的长；）如图，当EHF是由BHD绕点H逆时针旋
43、转30得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由。55如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，且OC=OB（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90后，点A的对应点A恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标56数学活动课上，某学习小组对有一内角为120的平行四边形ABCD（BAD=120）进行探究：将一块含60的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包 括线段的端点）（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：BCEACF，AE+AF=AC；（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CHAD于点H，求证：AE=2FH；（3）深入探究如图3，若AD=3AB，探究得： 的值为常数t，则t=
