1、五年级 第六讲 竞赛班 11. 利用质数、合数的性质解题2. 灵活掌握质数、合数的拆分方法本讲主要是对质数、合数的性质的灵活运用，并对质数 2、5 的特殊性深刻理解，同时对一些质数、合数的拆分规律进行归纳总结1 质数与合数一个数除了 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了 1 和它本身，1还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住： 和 不是质数，也不是合数 .常用的 以内的质数：010、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、23573719233747539673、 、 、 、 ，共计 个；除了 其余的质数都是奇数；除了 和 ，
2、其余的质数个位数字只能9895 2是 ， ， 或 .1考点： 值得注意的是很多题都会以质数 的特殊性为考点. 除了 和 ，其余质数个位数字只能是 ， ， 或 .这 也是很多题解题思路，需要大家注意 .213792 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于 的质数 (均为整数)，使得 能够整除 ，那么 就不是质数，PppP所以我们只要拿所有小于 的质数去除 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的 ，我们可以先找一个大于且接近 的平方数 ，再列出所有不大于 的质数，用这些质数去除 ，如没有能够除2KK尽的那么 就为质数.P例如： 很接近 ，根据整除的性 质 不能被 、 、 、
3、、 整除，所以 是质数.149114923571149第 6 讲质数、合数2 五年级 第六讲 竞赛班3 若干个整数的和已知，求这些整数的积最大的方法拆分原则：多拆 3，最多拆两个 2，不拆 1拆分后乘积最大4 找 个连续合数的方法n方法一： ， ， ， 这 n 个数分别能被(1)!2()!3n()!4(1)!n2、3、4、(n+1)整除，它们是连续的 n 个合数其中 表示从 1 一直乘到 n 的积，即1 2 3 n方法二： ， ， ， ，,5,()2 ,345,()3 2,45,(1)4 ， (其中 表示 2，3，4，,4,1 ,1n ,n，n， 的最小公倍数) 【例 1】 已知 是质数， 也
4、是质数，求 是多少？P215197P【 是质数， 必定是合数，而且大于 1又由于 是质数， 大于 1， 一定是奇质数，则22P2一定是偶数所以 必定是偶 质数，即 2P55197321970巩固 (第五届“华杯赛”口试第 15 题)图中圆圈内依次写出了前 25 个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中乙乙乙乙乙“乙乙”乙乙“乙乙”978913117532351561285. 问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?【 质数中只有一个偶数 2，其余的质数均为奇数所以甲填的“和数” 中除第一个是奇数 5 外，其余的均为不小于 8 的偶数乙填的“积
5、数”中除第一个是偶数 6 外，其余所填的全是不小于 15 的奇数所以甲填的数与乙填的数都不相同【例 2】 (2008 年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖” ，只奖励 40 岁以下的数学家华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于 1982 年、2006 年荣获此奖我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数 ，存在无穷多组含有 个等间隔质数(素数)的数组例如， 时，kk 3k3，5，7 是间隔为 2 的 3 个质数；5，11，17 是间隔为 6 的 3 个质数：而 ， ， 是间隔为 12 的 3 个质数(由
6、小到大排列，只写一组 3 个质数即可)【 最小的质数从 2 开始， 现要求每两个质数间隔 12，所以 2 不能在所要求的数组中而且由于个位利用质数、合数性质解题五年级 第六讲 竞赛班 3是 5 的质数只有一个 5，所以个位是 3 的质数不能作为第一个 质数和第二个质数，可参照下表：第一个质数 第二个质数 第三个质数 满足要求打5 17 29 7 19 31 17 29 41 19 31 43 29 41 53 37 49 6147 59 71 巩固 (全国小学数学奥林匹克)从 19 中选出 8 个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位
7、数，其中可以读到的最大的数是 【 由于质数除了 2 以外都是奇数，所以数字在 顺时针 排列时应是奇偶相间排列切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考 虑到“最大”的限制条件，最高位选 9，第二位选 8，第三位最大可以选 7，但 7 与 8 之和不是 质数，再改选 5，8 与 5 之和是质数，符合要求第四位可选剩余的最大数字 6，如此类推十位可 选 3，个位 选 2所以，可以读到的最大数是 98567432数字排列如图【例 3】 三个质数的乘积恰好等于它们和的 11 倍，求这三个质数【 设这三个质数分别是 、 、 ，满足 ，则可知 、 、 中必有一个为 11，
8、不妨记abc1()abcabc为 ，那么 ，整理得 ，又 ，对应的a1bc()2c126342、 13 或 3、 7 或 4、 5(舍去)，所以这三个质数可能是 2，11，13 或3，7，11拓展 (俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【 因为是质数所以个位数不可能为偶数 0，2，4，6，8 也不可能是奇数 5如果末位数字是 3 或 9，那么数字和就将是 3 或 9 的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了所以个位数只能是 7这个三位质数可以是 167，257，347，527 或 617 中间的任一个【例 4】 (我爱数学
9、少年数学夏令营)用 0，1，2，9 这 10 个数字组成 6 个质数，每个数字至多用 1次，每个质数都不大于 500，那么共有 种不同的组成 6 个质数的方法请将所有方法都列出来【 除了 2 以外，质数都是奇数，因为 09 中只有 5 个奇数，所以如果想组成 6 个质数，则其中一定有 2又尾数为 5 的数中只有 5 是质数，所以 5 只能单独作 为 6 个质数中的一个数另 4 个质数分别以 1，3，7，9 为个位数，从而列 举如下：2，3，5，7，41，89，2，3，5，7，61，89，2，3，5，7，89，401，2，3，5，7，89，461，2，3，5，7，61，409，2，3，5，47，
10、61，89，2，3，5，41，67，89，2，3，5，67，89，401，2，5，7，43，61，89，2，5，7，61，83，409即共有 10 种不同的方法拓展 (2003 年“祖冲之杯”邀请赛)大约 1500 年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出 的值在34 7 658924 五年级 第六讲 竞赛班3.1415926 和 3.1415927 之间，成为世界上第一个把 的值精确到 7 位小数的人现代人利用计算机已经将 的值计算到了小数点后 515 亿位以上这些数排列既无序又无规律但是细心的同学发现：由左起的第一位 3 是质数，31 也是质数，但 314 不是质数，那么在3141，31415
11、，314159，3141592，31415926，31415927 中，质数是 【 注意到 3141，31415，3141592，31415926，31415927 依次能被 3，5，2，2，31 整除，所以，质数是314159【例 5】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用 表示所有被 3 除余 1 的全体正整数如果 中的数(1L L不算)除 1 及它本身以外，不能被 的任何数整除，称此数为“ 质数” 问：第 8 个“ L质数”是什么？【 “ 数” 为 1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34， “ 质数”应为上列数中去掉L1，16，28，即 为 4，7，10，13，
12、19，22，25，31，34， 所以，第 8 个“L质数”是 31【例 6】 有一个四位数，它的个位数字与千位数字之和为 10，且个位数既是偶数又是质数，去掉首位和末位得到一个两位数是质数，又知这个四位数是 72 的倍数，求这个四位数【 设这个四位数为 ，由 题目可知， ， ，所以 ，四位数是abcd10ad28a82bc根据：“去掉首位和末位得到一个两位数是质数”， “这个四位数是 72 的倍数”可得 ，7|，即 可以得到 所以 的结果有两种可能： ，9|82bc|(82)c9|()bcbcc17可能是 80，71，17，62，26，53，35，44，98，89其中 80，62，26，35，
13、44，98 为 合数只有 71，17，53，89 是 质数又因 8|2,102(968)(42)bcbcbc所以 ( 是 8 的倍数)|496把 17，53，89 代入上式：不能满足 ，只有 71 可以满足上式：|42bc8|4721【例 7】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数如年份数1991，具有如下两个性质：1991 是一个回文数1991 可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积在 1000 年到 2000 年之间的一千年中，除了 1991 外，具有性质和的年份数，还有 【 这一千年间回文数年份共有 10 个，除去 1991 外，还有1001
14、，1111，1221，1331，1441，1551，1661，1771，1881符合条件 的两位质数只能是 11，所以符合条件 的只有三个，即11 101 1111， 11 131 1441，11 15l 1661铺垫 (2005 年武汉“明星奥数挑战赛”)小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为 ，其中 ，而且 和 都ababab是质数( 和 是两个数字)具有这种形式的数共有 个ab【 若两位数 、 均为质数， 则 、 均为奇数且不为 5，故有ab五年级 第六讲 竞赛班 51331，3113，1771，7117，7337，3773
15、，9779，7997 共 8 个数拓展 如果某整数同时具备性质：这个数与 1 的差是质数；这个数除以 2 所得的商也是质数；这个数除以 9 所得的余数是 5我们称这个整数为幸运数，那么在两位数中，最大的幸运数是 【 条件也就是这个数与 1 的差是 2 或奇数，这个数只能是 3 或者是偶数，再根据条件，除以 9余 5，在两位的偶数中只有 14，32，50，68，86 这五个数满足条件其中 86 与 50 不符合，32与 68 不符合，三个条件都符合的只有 14这个数是 14【例 8】 一个等差数列的连续 5 项都是质数，那么这个等差数列的公差最小是多少？【 显然公差应该是一个偶数，如果是奇数的
16、话，那任意相邻的两项就必然是一个奇数一个偶数了同样的道理，公差如果不是 3 的倍数，那任意相邻的三项中必然有一个是 3 的倍数，如果第一项是 3, 则第 4 项也是 3 的倍数，不能是 质数了；综合分析得，公差应该是 2 和 3 的倍数，所以公差至少是 6.如果公差是 5 的倍数，则公差至少是 30；如果公差不是 5 的倍数，因 为连续项中至少有一个是 5 的倍数，所以只能是第 1 个是 5,取 6 为公差，那剩下的就分别是 11、17、23、29,恰好满足要求，所以公差最小是 6拓展 有 9 个连续自然数，它们都大于 80，那么其中质数最多有多少个？【 首先除了 2 以外的质数都是奇数，在任
17、意 9 个连续自然数中，至多有 5 个数是奇数， 这 5 个奇数中必然有一个 5 的倍数，所以质数最多有 5 1 4 个构造过程如下：首先有 4 个偶数，所以这 9个数中最大的和最小的都是奇数，中间的一个自然也是奇数；而且 9 个连续自然数有 3 个 3 的倍数，只能有 1 个奇数，有 2 个偶数，那么第 2 个数和第 8 个数是 3 的倍数的偶数，这样的话第 5 个数也就是中间的数必然是 3 的倍数，为了节省“ 合数”，所以我们应该让中间的一个数既是 3 的倍数，又是 5 的倍数，经试验 105 可以做中间数, 发现这 9 个数是101、102、103、104、105、106、107、108
18、、109, 刚好有 4 个质数 101、103、107、109【例 9】 把 分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，则这时乘积的198所有不同质因数的和是 【 如果拆成的数中有 ，则将 加入其它的数中将会使乘积更大，所以拆成的数中不能有 ；如果1 1拆成的数中有不小于 的数 ，由于 ，即 ，所以将 再拆成 与5a3()290a3()aa3会使乘积更大，所以拆成的数中不能有不小于 的数；如果 拆成的数中有 ，由于3a 54，所以可以将 再拆成两个 ，这样乘积不 变所以；拆成的数应全为 和 又因为424 2， ，所以，如果出现 个以上的 ，将 个 换成 个 会使乘积更大；
19、23所以，拆成的数中最多只能有 个 ，其余的全 为 而 ，所以应将 拆分成2198362198个 和 个 ，这时其乘积最大而此时乘积只有 和 这两个不同的质因数，所以答案是63125总结拆分原则：多拆 3，做多拆两个 2，不拆 1拆分后乘 积最大巩固 若干个整数的和是 2005，求这些整数的积最大是多少？【 2005 3 668 ，则拆成： 1 67【例 11】 将 30 拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？质数、合数的灵活拆分6 五年级 第六讲 竞赛班【 拆成 2，3，4，6，7，81 不应出现在拆成的数中把从 2 开始的若干个连续自然数相加如果，而 ，则
20、与 a 的差只()na 234(1)na 34(1)n可能为 0，1，2， 当差 为 0 时 ，将 a 拆成 ()当差 为 1 时 ，将 a 拆成 341n当差 为 2，3，n 1 中的数时，就将该数从 2，3，n 1，n 中删除，其余数即 为所拆之数本题中 ，比 30 大 5，故将 5 去掉，30 被拆成45678234678巩固 (2008 年湖北“创新杯”)电视台要播放一部 30 集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播 A7 天 B8 天 C9 天 D10 天【 由于希望播出的天数要尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可
21、能地少又 ，如果各天播出的集数分别为 1，2，3，4，5，6，7 时，123456728那么七天共可播出 28 集， 还剩 2 集未播出由于已有过一天播出 2 集的情况，因此， 这余下的 2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子里播出例如，各天播出的集数安排 为1，2，3，4，5，7，8 或 1，2，3，4，5，6，9 等均可所以最多可以播 7 天【例 11】 写出 10 个连续自然数，它们个个都是合数【 在寻找质数的过程中，我 们可以看出 100 以内最多可以写出 7 个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96我 们把筛选法继续运用下去，把考 查的范围扩大一些就行了用
22、筛选法可以求得在 113 与 127 之间共有 13 个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126同学们可以在这里随意截取 10个即为答案可 见本题的答案不唯一老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找 200 个连续的自然数它们个个都是合数【 如果 10 个连续自然数中，第 1 个是 2 的倍数，第 2 个是 3 的倍数，第 3 个是 4 的倍数 第 10 个是 11 的倍数，那么 这 10 个数就都是合数又 ，m 3， ，m 11 是 11 个连续整数，故只 要 m 是 2，3， ，11 的公倍数， 这 10
23、 个连续整数就一定都是合数 设 m 为 2，3，4， ，11 这 10 个数的最小公倍数m 2，m 3，m 4， ，m 11 分别是 2 的倍数， 3 的倍数，4 的倍数 11 的倍数，因此 10 个数都是合数所以我们可以找出 2，3，4 11 的最小公倍数 27720，分别加上2，3，4 11，得出十个连续自然数 27722，27723，27724 27731，他 们分别是 2，3，4 11 的倍数， 均为合数说明：我们还可以写出 (其中 n！ 1 2 3 n)这 10 个连续合数1!2,31!41 来同样， 是 m 个连续的合数那么 200 个连续的自然数可以(+),()(+)是： 201
24、!,3,0!说明：构造法的应用可以很快得出符合条件的 10 个连续自然数，而且可以拓展到更多连续自然数的情况【例 12】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有 13 种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？【 在所有的质数中，从小到大第 13 个质数是 41，因此在 13 种分解方法中，质数最大的那一组至少是 按 题目要求分拆 45 有如下 12 种方法：41532407381432789629617841按题目要求分拆 46 有如下 7 种方法：五年级 第六讲 竞赛班 7462739153192731579按题目要求分拆 47
25、有如下 14 种方法 ：544640因此满足题意最小自然数是 47108824拓展 求 1-100 中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？【 考虑最小的合数是 4，先把表示方法简化为 4 合数 合数而合数最简单的表现形式就是大于等于 4 的偶数因此该表示方法进一步表示为 4 (2 n)合数即 8n 合数(其中 n1 即可)当该数被 8 整除时， 该数可表示 为 4 (2n) 8 ，n1,所以大于等于 24 的 8 的倍数都可表示当该数被 8 除余 1 时，该数可表示 为 4 (2n) 9，n1,所以大于等于 25 的被 8 除余 1 的都可表示当该数被 8 除余 2 时，该数可
26、表示 为 4 (2n) 10，n1,所以大于等于 26 的被 8 除余 2 的都可表示当该数被 8 除余 3 时，该数可表示 为 4 (2n) 27，n1,所以大于等于 43 的被 8 除余 3 的都可表示当该数被 8 除余 4 时，该数可表示 为 4 (2n) 4，所以大于等于 20 的被 8 除余 4 的都可表示当该数被 8 除余 5 时，该数可表示 为 4 (2n) 21，所以大于等于 37 的被 8 除余 5 的都可表示当该数被 8 除余 6 时，该数可表示 为 4 (2n) 6，所以大于等于 22 的被 8 除余 6 的都可表示当该数被 8 除余 7 时，该数可表示 为 4 (2n)
27、 15，所以大于等于 31 的被 8 除余 7 的都可表示综上所述，不能表示的最大的数是 385经检验，35 的确无论如何也不能表示成合数 合数合数的形式，因此我们所求的最大的数就是351 是质数， ， ， 都是质数求 是多少？P104P210P【 由题意知 是一个奇数，因 为 ， ，所以 是 3 的倍数，所以3 432 3P2 三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 倍，求这三个质数【 设这三个质数分别是 、 、 ，满足 ，则可知 、 、 中必有一个为 7，不妨记abc()abcabc为 ，那么 ，整理得 ，又 ，对应的 2、 9(舍去)或a7bc(1)8124c3、 5，所以 这三个质数可能
28、是 3，5，73 用 ， ， ， ， ， ， ， ， 这 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用1246789一次，那么这 个数字最多能组成多少个质数?（并写出所组成的质数）9【 要使质数个数最多，我 们尽量组成一位的质数，有 、 、 、 均为一位质数，除了 2 以外，质数2357都是奇数，因为 09 中只有 5 个奇数，所以如果想组成 6 个质数，则其中一定有 2又尾数为 5的数中只有 5 是质数，所以 5 只能单独作为 6 个质数中的一个数 另 4 个质数分别以 1，3，7，9为个位数，从而列举如下：2，3，5，7，89，461、2，3，5，7，89，641( .而且 都不能被 、
29、251、 、 、 、 、 、 、 整除，所以 是质数) 2，3，5，47，61，89，2，3，5，41，67，89，119412，5，7，43，61，898 五年级 第六讲 竞赛班4 有人说：“任何 7 个连续整数中一定有质数 ”请你举一个例子，说明这句话是错的【 例如连续的 7 个整数：842、 843、844、845、846、847、848 分别能被 2、3、4、5、6、7、8 整除，它们都不是质数【评注】我们注意到 ， ， ， 这 n 个数分别能被(1)!2n()!3(1)!4n(1)!n2、3、4、(n+1)整除，它 们是连续的 n 个合数其中 表示从 1 一直乘到 n 的积，即1 2
30、 3 n5 若将 17 拆成若干个的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？【 根据整数拆分原则：多拆 3，少拆 2，不拆 1拆分后乘积最大若要使 17 拆成的不同质数的乘积尽可能大，应该将 17 分解为 5 个 3 和 1 个 2，所以最大乘积是 3 3 3 3 3 2 4866 (第五届“华杯赛”复赛第 8 题)把 37 拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法?将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小?【 375297231957191131727共 10 种不同拆法其中 3 5 29 435 最小五年级 第六讲 竞赛班 9拒子入门子发是战国
31、时期楚国的一位将军。一次，他带兵与秦国作战，前线断了粮草，他派人向楚王告急。使者顺便去看望子 发的老母。老人 问使者： “兵士都好吗?”使者回答：“还有点儿豆子，只能一粒一粒分着吃。 ”“你们将军呢?”母亲问。使者回答道：“将军每餐都能吃到肉和米饭，身体很好。 ”子发得胜归来，母亲紧闭大门 不让他进家门，并派人去告 诉 子发：“ 你让士兵饿着肚子打仗，自己却有吃有喝，这样做将军，打了胜仗也不是你的功劳。 ”母亲又说：“越王勾践伐吴的时候，有人献给他一罐酒，越王 让人把酒倒在江的上游，叫士兵们一起饮下游的水。虽然大家没 尝到酒味，却鼓舞了全军的士气，提高了战斗力。现在你却只顾自己不顾 士兵，你不是我的儿子，你不要 进我的门。 ”子发听了母亲的批评，向母亲认 了错，决心改正，才得以进家门。俗话说：“子不教，父之 过。 ”子女成 长的好坏， 长辈有着极大的责任。父母为了使孩子成长成参天大树，就必 须在我们心中植下博爱之心，有了博爱之心，才有施爱于他人的可能。多以有时 候， 责备也蕴涵着父母对子女深沉的 爱。
