第二十届“华杯赛”决赛小高组试题A答案解析.pdf

1、第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学高年级组）（时间：2015年4月11日10：0011：30）一、填空题（每小题10分，共80分）1计算： 4 584 1.375 105 0.8=19 19 【考点】计算、分数计算【难度】【答案】200【分析】原式 80 11 5 4(80 ) (105 )19 8 19 5 110 4110 8419 19200 2右图是用六个正方形、六个三角形、一个正六边形组成的图案，正方形边长都是2cm，这个图案的周长是 cm .【考点】几何、多边形周长【难度】【答案】24【分析】正十二边形边长与正方形边长相等，每条边都是2，周长是：12 2 24 .3某

2、项工程需要100天完成，开始由10个人用30天完成了全部工程的15，随后再增加10个人来完成这项工程，那么能提前 天完成任务.【考点】应用题、工程问题【难度】【答案】10【分析】假设每人每天的工作效率是a份，全部的工作总量是 110 30 15005a a （份）；增加10人后完成的天数是： 1500 30 10 (10 10 ) 60a a a a （ ） （天）提前100 30 60 10 （天）完成.4王教授早上8点到达车站候车，登上列车时，站台上时钟的时针和分针恰好左右对称，列车8点35分出发，下午2点15分到达终点站.当王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，走出车站时

3、恰好3点整.那么王教授在列车上的时间共计_分钟.【考点】行程、时钟问题【难度】【答案】360【分析】登上列车时，时钟的时针和分针恰好左右对称，8点整是时针和分针的夹角是120度. 240120 (6 0.5) 13 （分），此时是8点24013 分.下午2点15分，时针和分针的夹角是15 6 (60 0.5 15) 22.5 （度）。走到站台时恰好是上下对称： 4522.5 (6 0.5) 13 (分)，此时是下午2点24013 分.王教授在列车的时间是6个小时，共计360分.5由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数中最大的是 .【考点】数论、位值原理【难度

4、】【答案】5321【分析】4个非零数字一共组成了24个四位数，由于每个数字在每位上均出现6次，则24个数和为 6 1111 73326a b c d ，得 11a b c d ，此时只有数字1、2、3、5. 这些四位数中最大的是5321.6如右图所示，从长、宽、高分别为15cm，5cm，4cm的长方体中切割走一块长、宽、高分别为 cmy ，5cm， cmx 的长方体（ ,x y为整数），余下部分的体积为 3120cm ，那么x y .【考点】几何、长方体和正方体【难度】【答案】15【分析】15 5 4 5 120y x 解得 36xy ；36 1 36 2 18 3 12 4 9 6 ，因为

5、,x y为整数，且 4, 15x y ，所以 3, 12x y 15x y 7一次数学竞赛有A B C、 、 三题，参赛的39个人中，每个至少答对了一道题.在答对A的人中，只答对A的比还答对其它题目的多5人；在没答对A的人中，答对B的是答对C的2倍；又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和，那么答对A的最多有_人.【考点】组合、容斥原理、最值问题【难度】【答案】23【分析】根据题意得，如下图所示：只答对A的人数是3b a ,答对A还答对其他题目的人数是3 5b a . 所有有:3 3 5 3 2 39b a b a b a .化简得4 9 44a b ,解得 24ab 或 110ab

6、 ,答对A的人共3 3 5 6 2 5b a b a b a ,最大值是6 4 2 2 5 23 (人).8甲、乙进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜；10平后多得2分者胜.甲、乙二人得分总和都是30分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有种情况.【考点】计数、体育比赛的数学问题【难度】【答案】16【分析】30 3 11 ，三局中其中一个人胜了两局，所以至少有两个分数不小于11，甲得分总和是30：30 11 9 10 ，乙对应的得分是：30 7 10 12 ；对应的比分是：11:79:1110:12 ,之后7、9依次减1，10和12依次加1；11:68:111

7、1:13、 11:57:1112:14 、 11:47:1113:15 、 11:36:1114:16 、 11:25:1115:17 、 11:14:1116:18 、 11:03:1117:19 、上面8种都是乙取得了胜利，甲取得胜利对应的也是8种，共计8 2 16 种.二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9两个自然数之和为667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120，求这两个数.【考点】数论、短除模型【难度】【答案】115 552、 或232 435、 .【分析】设这两个数是a、b，有m a bx y，有a mx 、b my ， a b mxy、 、

8、a b m、得 ( ) 667120m x ymxy xym ， ( ) 667=23 29120m x yxy ，x y、 是互质。所以120 1 120 2 60 3 40 5 24 8 15 满足要求的是 24 5 2923x ym 或 8 15 2329x ym 此时对应的数是115 552、 或232 435、 .10酒店有100个标准间，房价为400元/天，但入住率只有50%，若每降低20元的房价，则能增加5间入住，求合适的房价，使酒店收到的房费最高.【考点】组合、最值【难度】【答案】22500【分析】初始状况是：400元、50间，设降价了x个20元，房费是：(400 20 )(5

9、0 5 ) 100(20 )(10 )x x x x 而 20 10 30x x ，和一定，差小积大，20 10 15x x 时最大；所以此时的房价最高是：100 15 15 22500 （元）.11如图，长方形ABCD的面积是 256cm ， =3cmBE ， =2cmDF ，请你回答：三角形AEF的面积是多少？【考点】几何、一半模型【难度】【答案】25【分析】过F点做AD的平行线，交于AB于G点；连接GE；如下图所示：四边形AGEF是长方形的一半，三角形AEF的面积是56 2 3 252 2 .12当n取遍1,2,3, ,2015 中所有的数时，形如 33n n 的数中能够被7整除的有多少

10、？【考点】同余【难度】【答案】288【分析】3n除以7的余数以6为周期，3、2、6、4、5、1； 3n 除以7的余数以7为周期，1、1、6、1、6、6、0，则总周期为42，列表1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 143 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 21 1 6 1 6 6 0 1 1 6 1 6 6 015 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 286 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 41 1 6 1 6 6 0 1 1 6 1 6 6 029 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3

11、9 40 41 425 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 11 1 6 1 6 6 0 1 1 6 1 6 6 02015 42 47 41 ，47 6 6 288 三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13在右图中，ABCD是平行四边形，AM MB ，DN CN ，BE EF FC ，四边形EFGH的面积是1，求平行四边形ABCD的面积.【考点】比例模型【难度】【答案】809【分析】由风筝模型，1 1 1 12 3 21 1 32 2BMENMESBHHN S ， 2 1 43 21 1 1 12 3 2BDFNDFSBGGN S 由鸟头模型4 2 85

12、3 15BFG BCN BCNS S S ， 1 1 14 3 12BEH BCN BCNS S S 所以 8 1 27 1 1 915 12 60 2 2 80EFGH BCN ABCD ABCDS S S S ， 809ABCDS 14“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，且“表”“一”“故”“如”“虚”，且各个成语中四个汉字所代表的数的和都是21，则“弄”可以代表的数最大是多少？【考点】最值问题【难度】【答案】9【分析】为表述方便，按汉字出现顺序设这十一个数分别为A/B/C/D/E/F/G/H/I/J/K，总和设为S，则，弄是“J”，有21212121A B C DD E F GG H F II J K AD G I F A 84S D G I F A 若从2以上开始， 77S ，不可能，所以这十一个数是111则S=66，则 18 8 4 3 2 1 7 5 3 2 1 6 5 4 2 1D G I F A 分（1）（2）（3）情况讨论：（1） 12H 矛盾（2） 7E 矛盾（3） 14 3 11810 16 7 9B CEHJ K J最大为9