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类型椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理.doc

  • 上传人:hskm5268
  • 文档编号:5821676
  • 上传时间:2019-03-18
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    椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理.doc
    资源描述:

    1、1椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。例 1:已知椭圆的焦点是 F1(0,1) 、F 2(0,1),P 是椭圆上一点,并且 PF1PF 22F 1F2,求椭圆的标准方程。解:由 PF1PF 22F 1F2224,得 2a4.又 c1,所以 b23.所以椭圆的标准方程是 1. y24 x232已知椭圆的两个焦点为 F1(1,0) ,F 2(1,0),且 2a10,求椭圆的标准方程解:由椭圆定义知 c1, b .椭圆的标准方程为 1.52 1 24x225 y224二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。例:1. 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程

    2、0,A解:(1)当 为长轴端点时, , ,2, ab椭圆的标准方程为: ;142yx(2)当 为短轴端点时, , ,0,A4椭圆的标准方程为: ;62三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。例求过点(3,2)且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的标准方程x29 y24解:因为 c2945,所以设所求椭圆的标准方程为 1.由点(3,2)在椭圆上知x2a2 y2a2 5 1,所以 a215.所以所求椭圆的标准方程为 1.9a2 4a2 5 x215 y210四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。例: 已知中心在原点,焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点, 为xyxABM中点, 的

    3、斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程ABOM解:由题意,设椭圆方程为 ,12ya由 ,得 ,102yax022x , ,2aM 21ayM, ,4xykO22 为所求142yx五、求椭圆的离心率问题。例 1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率解: , 32ca2ac31e例 2 已知椭圆 的离心率 ,求 的值198ykxk解:当椭圆的焦点在 轴上时, , ,得 由 ,得 82a92b12kc2e4k当椭圆的焦点在 轴上时, , ,得 y由 ,得 ,即 21e419k5满足条件的 或 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例:1.若ABC 的两个顶点坐标 A(4

    4、,0),B(4,0),ABC 的周长为 18,求顶点 C 的轨迹方程。解:顶点 C 到两个定点 A,B 的距离之和为定值 10,且大于两定点间的距离,因此顶点 C 的轨迹为椭圆,并且 2a10,所以 a5,2c 8,所以 c4,所以 b2a 2c 29,故顶点 C 的轨迹方程为 1.又 A、B 、C 三点x225 y29构成三角形,所以 y0.所以顶点 C 的轨迹方程为 1(y0)答x225 y29案: 1(y0)x225 y292已知椭圆的标准方程是 1(a5) ,它的两焦点分别是 F1,F 2,且 F1F28,弦 AB 过点 F1,求x2a2 y225ABF2 的周长4a4 .413设 F

    5、1、F 2 是椭圆 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且 PF1PF 221,求PF 1F2x29 y24的面积PF1F2的面积为 PF1PF2 244.12 123七、直线与椭圆的位置问题例 已知椭圆 ,求过点 且被 平分的弦所在的直线方程12yx21,P解法一:设所求直线的斜率为 ,则直线方程为 代入椭圆方程,并整理得k21xky023122 xkx由韦达定理得 21k 是弦中点, 故得 P2x1所以所求直线方程为 034y解法二:设过 的直线与椭圆交于 、 ,则由题意得1, 1yxA, 2yxB,1.22121yxyx, ,得 0212y将、代入得 ,即直线的斜率为 21x21所求直线方

    6、程为 34y八、椭圆中的最值问题例 椭圆 的右焦点为 ,过点 ,点 在椭圆上,当 为最小值62xF31,AMMFA2时,求点 的坐标M解:由已知: , 所以 ,右准线 4ac2e8xl:过 作 ,垂足为 ,交椭圆于 ,故 显然 的最小值为AlQFQ22,即 为所求点,因此 ,且 在椭圆上故 所以 My 3M3,4双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例 1 讨论 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征19252kyx解:(1)当 时, , ,所给方程表示椭圆,此时 ,09k ka25, ,这些椭圆有共同的焦点(4,0) , (4,0) kb92 62bac(2)当 时, , ,所给方

    7、程表示双曲线,此时, , ,这些双曲线也有共同的焦点(4,0) , ) (4,0) 12(3) , , 时,所给方程没有轨迹595k二、根据已知条件,求双曲线的标准方程。例 2 根据下列条件,求双曲线的标准方程(1)过点 , 且焦点在坐标轴上413,P536,Q(2) ,经过点(5,2) ,焦点在 轴上6cx(3)与双曲线 有相同焦点,且经过点1yx23,解:(1)设双曲线方程为 12nm 、 两点在双曲线上,PQ 解得12596nm96所求双曲线方程为 162yx说明:采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的(2)焦点在 轴上, ,c设所求双曲线方程为: (其中 )162yx

    8、60双曲线经过点(5,2) , 45 或 (舍去)30所求双曲线方程是 152yx说明:以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉5(3)设所求双曲线方程为: 16041622yx双曲线过点 ,23, 8 或 (舍)4所求双曲线方程为 182yx三、求与双曲线有关的角度问题。例 3 已知双曲线 的右焦点分别为 、 ,点 在双曲线上的左支上且6921F2P,求 的大小21PF21PF解:点 在双曲线的左支上 6 3621221 0 421bacF 9P(2)题目的“点 在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为“点 在双曲线上”结论如何改变呢?请读者试探索四、求与双曲

    9、线有关的三角形的面积问题。例 4 已知 、 是双曲线 的两个焦点,点 在双曲线上且满足 ,求1F2142yxP9021PF的面积21P分析:利用双曲线的定义及 中的勾股定理可求 的面积21PF21F解: 为双曲线 上的一个点且 、 为焦点42yx12 ,21aF51c 90P在 中,21Rt021221FP 6 621F P 12121SF五、根据双曲线的定义求其标准方程。例 5 已知两点 、 ,求与它们的距离差的绝对值是 6 的点的轨迹051,2,F解:根据双曲线定义,可知所求点的轨迹是双曲线6 ,5c3a 164222b所求方程 为动点的轨迹方程,且轨迹是双曲线169yx例 是双曲线 上一

    10、点, 、 是双曲线的两个焦点,且 ,求 的P3421F2 17PF2值解:在双曲线 中, , ,故 162yx8a6b0c由 是双曲线上一点,得 12P 或 12PF32又 ,得 ac2F六、求与圆有关的双曲线方程。例 6 求下列动圆圆心 的轨迹方程:M(1)与 内切,且过点2yxC: 02,A(2)与 和 都外切121: 412yxC:(3)与 外切,且与 内切932: 322:解:设动圆 的半径为 r(1) 与 内切,点 在 外1 , ,rCA点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的左支,且有:M, ,2ac272acb双曲线方程为 1xyx(2) 与 、 都外切1C2 , ,1rr2M点 的

    11、轨迹是以 、 为焦点的双曲线的上支,且有:21, ,ac43acb所求的双曲线的方程为: 1342yxy(3) 与 外切,且与 内切MC2 , ,1r12r421MC点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的右支,且有:17, ,2a3c522acb所求双曲线方程为: 154xyxw.w.w.k.s.5.u.c.o.m抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程(1) (2)yx42)0(2ayx解:(1) ,焦点坐标是(0,1) ,准线方程是:p1y(2)原抛物线方程为: ,2p1当 时, ,抛物线开口向右,aa4焦点坐标是 ,准线方程是: )0,1( ax41当

    12、时, ,抛物线开口向左,p2焦点坐标是 ,准线方程是: ),4(ax综合上述,当 时,抛物线 的焦点坐标为 ,准线方程是: 02ay)0,41(aax41二、求直线与抛物线相结合的问题例 2 若直线 与抛物线 交于 A、 B 两点,且 AB 中点的横坐标为 2,求此直线方2kxyx82程解法一:设 、 ,则由: 可得: ),(1A),(2yByk204)8(2xkx直线与抛物线相交, 且 ,则 0k1AB 中点横坐标为: ,8421x解得: 或 (舍去) 2k故所求直线方程为: y解法二:设 、 ,则有 ),(1xA),(2B2128xy两式作差解: ,即 )(812x1,4214)(2121

    13、1 kkkxy故 或 (舍去) 8k8则所求直线方程为: 2xy三、求直线中的参数问题例 3(1)设抛物线 被直线 截得的弦长为 ,求 k 值42kxy53(2)以(1)中的弦为底边,以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形,当三角形的面积为 9 时,求 P 点坐标解:(1)由 得:kxy20)4(22设直线与抛物线交于 与 两点则有:),(1yA,2xB4,122kxx)1(5)(54)(5)1( 21122 kAB ,即35,3kk(2) ,底边长为 ,三角形高9S55639h点 P 在 x 轴上, 设 P 点坐标是 )0,(x则点 P 到直线 的距离就等于 h,即42y 1240或 ,即所求

    14、 P 点坐标是(1,0)或(5,0) 1050四、与抛物线有关的最值问题例 4 定长为 3 的线段 的端点 、 在抛物线 上移动,求 的中点到 轴的距离的ABxy2ABy最小值,并求出此时 中点的坐标解:如图,设 是 的焦点, 、 两点到准线的垂线分别是 、 ,又 到准线的Fxy2 CDM垂线为 , 、 和 是垂足,则MNCD231)(21)(21ABFBDACMN设 点的横坐标为 ,纵坐标为 , ,则 xy4xMN451等式成立的条件是 过点 当 时, ,故45x4121Py2)( 21221xy,9, 21yy所以 ,此时 到 轴的距离的最小值为 ),45(My45例 已知点 , 为抛物线

    15、 的焦点,点 在该抛物线上移动,当 取2,3Fx2PPFM最小值时,点 的坐标为_P解:如图,由定义知 ,故 PEF 213MNEPFM取等号时, 、 、 三点共线, 点纵坐标为 2,代入方程,求出其横坐标为 2,所以 点坐标为 )2,(椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。例 1:已知椭圆的焦点是 F1(0,1) 、F 2(0,1),P 是椭圆上一点,并且 PF1PF 22F 1F2,求椭圆的标准方程。二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。例:1. 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程02,A10三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标

    16、准方程。例求过点(3,2)且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的标准方程x29 y24四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。例: 已知中心在原点,焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点, 为x01yxABM中点, 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程ABOM五、求椭圆的离心率问题。例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例:1.若ABC 的两个顶点坐标 A(4,0),B(4,0),ABC 的周长为 18,求顶点 C 的轨迹方程。2已知椭圆的标准方程是 1(a5) ,它的两焦点分别是 F1,F 2,且 F1F28,弦 AB

    17、过点 F1,求x2a2 y225ABF2 的周长3设 F1、F 2 是椭圆 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且 PF1PF 221,求PF 1F2x29 y2411的面积七、直线与椭圆的位置问题例 已知椭圆 ,求过点 且被 平分的弦所在的直线方程12yx21,P八、椭圆中的最值问题例 椭圆 的右焦点为 ,过点 ,点 在椭圆上,当 为最小值126yxF31,AMMFA2时,求点 的坐标M双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例 1 讨论 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征19252kyx二、根据已知条件,求双曲线的标准方程。例 2 根据下列条件,求双曲线的标准方程(1)过点 ,

    18、且焦点在坐标轴上4153,P536,Q(2) ,经过点(5,2) ,焦点在 轴上6cx(3)与双曲线 有相同焦点,且经过点1yx23,三、求与双曲线有关的角度问题。例 3 已知双曲线 的右焦点分别为 、 ,点 在双曲线上的左支上且1692yx1F2P,求 的大小21PF21PF12题目的“点 在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为P“点 在双曲线上”结论如何改变呢?四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例 4 已知 、 是双曲线 的两个焦点,点 在双曲线上且满足 ,求1F2142yxP9021PF的面积21P五、根据双曲线的定义求其标准方程。例 5 已知两点 、

    19、 ,求与它们的距离差的绝对值是 6 的点的轨迹051,F2,例 是双曲线 上一点, 、 是双曲线的两个焦点,且 ,求 的P13642yx1F2 17PF2值六、用定义法求与圆有关的双曲线方程。例 6 求下列动圆圆心 的轨迹方程:M(1)与 内切,且过点22yxC: 02,A(2)与 和 都外切11: 412yxC:(3)与 外切,且与 内切932: 322:抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程(1) (2)yx42)0(2ayx分析:(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出 p,再写出焦点坐标和准线方程(2)先把方程化为标准方程形式,再对 a

    20、 进行讨论,确定是哪一种后,求 p 及焦点坐标与准线方程13二、求直线与抛物线相结合的问题例 2 若直线 与抛物线 交于 A、 B 两点,且 AB 中点的横坐标为 2,求此直线方2kxyxy82程三、求直线中的参数问题例 3(1)设抛物线 被直线 截得的弦长为 ,求 k 值xy42kxy253(2)以(1)中的弦为底边,以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形,当三角形的面积为 9 时,求 P 点坐标四、与抛物线有关的最值问题例 4 定长为 3 的线段 的端点 、 在抛物线 上移动,求 的中点到 轴的距离的ABxy2ABy最小值,并求出此时 中点的坐标例 已知点 , 为抛物线 的焦点,点 在该抛物线上移动,当 取)2,3(MFxy2PPFM最小值时,点 的坐标为_P

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