命题与证明.doc

1、- 1 -命题与证明一、选择题1、 （2011 北京四中模拟 7）有下面命题：(1)直角三角形的两个锐角互余； (2)钝角三角形的两个内角互补；(3)正方形的两条对角线相等；(4)菱形的两条对角线互相垂直。其中，正确的命题有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个答案： C2. （ 2011 年 浙 江 省 杭 州 市 高 桥 初 中 中 考 数 学 模 拟 试 卷） 已知下列命题：同位角相等；若 ab0，则 ；对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；抛物线1aby=x2-2x 与坐标轴有 3 个不同交点；边长相等的多边形内角都相等.从中任选一个命题是真命题的概率为（ ）

2、A. B. C. D.15253545答案：A3 （ 2011 年 浙 江 省 杭 州 市 城 南 初 级 中 学 中 考 数 学 模 拟 试 题）有下列表述: 一定不是负数；a无理数是无限小数；平方根等于它本身的数是 0 或 1；对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线；一个圆锥的侧面积是一个面积为 4 平方厘米的扇形,那么这个圆锥的母线长 L 和底面半径 R 之间的函数关系是正比例函数。其中说法正确的个数为 ( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5答案：A4. （2011 年北京四中中考全真模拟 16）下列命题中正确的是( )A、

3、因为 2 的平方是 4，所以 4 的平方根是 2;B、因为-4 的平方是 16，所以 16 的负的平方根是-4;C、因为任何数的平方都是正数，所以任何数的平方根都是正数.D、任何数的算术平方根都是正数.答案：B5. （2011 年江苏盐城）下列命题中，错误的是 ( )A. 三角形两边之差小于第三边B. 四边形的外角和是 360C. 正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形D. 连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形答案 C.- 2 -6.(2011 浙江杭州模拟 14)下列命题中的真命题是( ).A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形C. 两条对角

4、线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形答案：C7.(2011 浙江杭州模拟 16)下列命题正确的有 ( )个40 0角为内角的两个等腰三角形必相似 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 750一 组 对 边 平 行 ， 另 一 组 对 边 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形一个等腰直角三角形的三边是 a、b、c， （ab=c） ，那么 a2b 2c 2=211若ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此为等腰直角三角形。A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个答案：A8 （ 2011 年杭州

5、三月月考）已知下列命题：若 0ab， ，则 0ab；若ab，则 2；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。菱形的对角线互相垂直其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）(A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个答案：D 9.（2011 浙 江 杭 州 义 蓬 一 中 一 模 ）已知下列命题：若 ，则 ；若0ab， 0ab，则 ；角平分线上的点到这个角的两边距离相等；平行四边形的对2ab角线互相平分；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ）A. B. C. D. 答案：C10 （2011 年杭州市上城区一模）已知下列命题：若 ，则 ；若0ab， 0

6、ab，则 ；角平分线上的点到这个角的两边距离相等；平行四边形的对2ab角线互相平分；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ）A. B. C. D. 答案：C- 3 -二、填空题三、解答题1 （2011 年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题） 已知：如图，梯形 中， ABCD， 是 的中点， ，联结 、 相交于点 ， .BCEBEADAEF（1）求证： ；AD（2）求证：四边形 是菱形.答案：（1）BDCD， ，90BDC 是 的中点， ，EBCE ，EFBD，即 ， ，ADFEACD ，四边形 是平行四边形，A .（2）四边形 是平行四边形， ，EC = ，又

7、 ，四边形 是平行四边形，ADBBED ，四边形 是菱形.A2.（2011 浙 江 杭 州 育 才 初 中 模 拟 ）请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明.（原创） 答案：3.（2011 浙江慈吉 模拟）已知命题：“如图, 点 A、D、B、E 在同一条直线上, 且AD=BE, AC DF, 则ABCDEF.”这个命题是真命题还是假命题? 如果是真命题, (第 1 题图)F- 4 -请给出 证明; 如果是假命题 , 请添加一个适当的条件, 使它成为真命题, 并加以证明.答案：说明：本题除了上述添加方法外还可在以下情况任选一种： C=F CBA=E BCEF4

8、. （2011 杭州上城区一模）已知四边形 ABCD，E 是 CD 上的一点，连接 AE、BE.（1）给出四个条件: AE 平分BAD, BE 平分ABC, AEEB, AB=AD+BC.请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出 ADBC 的正确命题,并加以证明；（2）请你判断命题“AE 平分BAD,BE 平分ABC ,E 是 CD 的中点,则 ADBC”是否正确,并说明理由.答案：（1）如: ADBC 1 分证明：在 AB 上取点 M,使 AMAD，连结 EM, 1 分 AE 平分BAD MAEDAE又AMAD AEAE， AEM AED D=AME 1 分又 AB=AD+BC MB=B

9、C， BEMBCEC=BME 1 分 故D+C AME+BME180 ADBC 2 分（2）不正确 1 分AB CDE(第 4 题（1）)DC MEBADCM EBAFEDCBA- 5 -作等边三角形 ABM AE 平分BAM ,BE 平分ABM 且 AE、BE 交于 E，连结 EM,则 EMAB，过 E 作 EDAB 交AM 于 D,交 BM 与 C，则 E 是 CD 的中点而 AD 和 BC 相交于点 M 命题“AE 平分BAD,BE 平分ABC ,E 是 CD 的中点,则 ADBC ”是不正确的. 3 分5（2011 年深圳二模）已知O 的直径 AB、CD 互相垂直，弦 AE 交 CD

10、于 F，若O 的半径为 R。求证：AEAF2 R 2证明：连接 BE1 分AB 为O 的直径AEB902 分ABCDAOF 90AOF AEB 90又AAAOF AEB5 分EOBFAEAF AOABAOR AB2RAEAF2R 8 分26 （2011 年深圳二模） 如图所示，矩形 ABCD 中，点 E 在 CB 的延长线上，使 CEAC，连结 AE，点 F 是 AE 的中点，连结 BF、DF，求证：BFDF证明：延长 BF，交 DA 的延长线于点 M，连接 BD2 分第 6 题图第 5 题图- 6 -四边形 ABCD 是矩形MDBCAMF EBF EMAF又 FAFEAFM EFB5 分AM

11、BE FBFM矩形 ABCD 中，AC BD，AD BCBCBEADAM即 CEMDCEACDBDMFB FMBF DF12 分7 （2011 年深圳二模）在ABC 中，ACBC，ACB90，D 、E 是直线 AB 上两点DCE45（）当 CEAB 时，点 D 与点 A 重合，显然 DE AD BE （不必证明）22（）如图，当点 D 不与点 A 重合时，求证：DE AD BE（）当点 D 在 BA 的延长线上时， （）中的结论是否成立？画出图形，说明理由 解：（）证明：过点 A 作 AF AB ，使 AFAB，连接 DFABC 是等腰直角三角形ACAB CAB B45，FAC 45CAF C

12、BE3 分CF CE ACFBCEACB90，DCE45ACDBCE45ACDACF45即DCF 45DCF DCE第 7 题图第 7 题图- 7 -又 CDCDCDF CDEDFDEAD AF DF22AD BE DE 7 分（）结论仍然成立如图证法同（）12 分8.（2011 深圳市三模） （本小题满分 10 分）如图，已知ABC，ACB=90，AC=BC，点 E、F 在 AB 上，ECF=45，（1）求证：ACFBEC（5 分）（2）设ABC 的面积为 S，求证：AF BE=2S（3）证明：(1) AC=BC ， A = B ACB=90， A = B = 45 0， ECF= 45，

13、ECF = B = 45， ECF1 = B1 BCE = ECF 1，2 = B 1； BCE = 2， A = B ，AC=BC ， ACFBEC。 (2)ACFBEC AC = BE，BC = AF， ABC 的面积：S = 21ACBC = BEAF AFBE=2S. 9.（2011 深圳市模四） （2）如图，AB 为O 的直径，BC 切O 于 B，AC 交O 于 D.求证：AB 2=ADAC.当点 D 运动到半圆 AB 什么位置时，ABC 为等腰直角三角形，为什么？A E F B C A E F B C AB CDO第 9（2）题图第 8 题图- 8 -证明：连接 BD，则ADB=9

14、0.BC 与O 相切，ABC=90，ABC=ADB.又A= A， ABCADB ， , .ACBDACD2点 D 运动到半圆 AB 的中点时，ABC 为等腰直角三角形.BD 既是 AC 上的高线又是中线，所以ABC 为等腰直角三角形.B 组一、选择题1 （ 2011 年杭州三月月考）已知下列命题：若 0ab， ，则 0ab；若ab，则 2；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。菱形的对角线互相垂直其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）(A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个答案：D 2.（2011 浙 江 杭 州 义 蓬 一 中 一 模 ）已知下列命题：若 ，则 ；若0ab，

15、 0ab，则 ；2ab角平分线上的点到这个角的两边距离相等；平行四边形的对角线互相平分；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ）A. B. C. D. 答案：C3 （2011 年杭州市上城区一模）已知下列命题：若 ，则 ；若0ab， 0ab，则 ；角平分线上的点到这个角的两边距离相等；平行四边形的对2ab角线互相平分；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ）A. B. C. D. 答案：C二、填空题三、解答题1 （2011 浙 江 杭 州 育 才 初 中 模 拟 ） （本小题满分 6 分）请写出“全等三角形的对应角相等”的

16、逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明 。 （原创） 答案：2 （2011 浙江慈吉 模拟）已知命题：“如图, 点 A、D、B、E 在同一条直线上, 且AD=BE, AC DF, 则ABCDEF.”这个命题是真命题还是假命题? 如果是真命题, 请给出 证明; 如果是假命题, 请添加一个适当的条件 , 使它成为真命题, 并加以证明.FEDCBA- 9 -答案：说明：本题除了上述添加方法外还可在以下情况任选一种： C=F CBA=E BCEF3. （2011 杭州上城区一模）已知四边形 ABCD，E 是 CD 上的一点，连接 AE、BE.（1）给出四个条件: AE 平分BAD, BE 平分ABC

17、, AEEB, AB=AD+BC.请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出 ADBC 的正确命题,并加以证明；（2）请你判断命题“AE 平分BAD,BE 平分ABC ,E 是 CD 的中点,则 ADBC”是否正确,并说明理由.答案：（1）如: ADBC 1 分证明：在 AB 上取点 M,使 AMAD，连结 EM, 1 分 AE 平分BAD MAEDAE又AMAD AEAE， AEM AED D=AME 1 分又 AB=AD+BC MB=BC， BEMBCEC=BME 1 分 故D+C AME+BME180 ADBC 2 分（2）不正确 1 分作等边三角形 ABM AE 平分BAM ,BE

18、平分ABM 且 AE、BE 交于 E，连结 EM,则 EMAB，过 E 作 EDAB 交AB CDE(第 23 题（1）) DC MEBADCM EBA- 10 -AM 于 D,交 BM 与 C，则 E 是 CD 的中点而 AD 和 BC 相交于点 M 命题“AE 平分BAD,BE 平分ABC ,E 是 CD 的中点,则 ADBC ”是不正确的.4（2011 年深圳二模）已知O 的直径 AB、CD 互相垂直，弦 AE 交 CD 于 F，若O 的半径为 R。求证：AEAF2 R 。2证明：连接 BE1 分AB 为O 的直径AEB902 分ABCDAOF 90AOF AEB 90又AAAOF AE

19、B5 分EOBFAEAF AOABAOR AB2RAEAF2R 8 分25 （2011 年深圳二模） 如图所示，矩形 ABCD 中，点 E 在 CB 的延长线上，使 CEAC，连结 AE，点 F 是 AE 的中点，连结 BF、DF，求证：BFDF证明：延长 BF，交 DA 的延长线于点 M，连接 BD2 分四边形 ABCD 是矩形MDBC第 2 题图第 4 题图- 11 -AMF EBF EMAF又 FAFEAFM EFB5 分AMBE FBFM矩形 ABCD 中，AC BD，AD BCBCBEADAM即 CEMDCEACDBDMFB FMBF DF12 分6 （2011 年深圳二模）在ABC

20、 中，ACBC，ACB90，D 、E 是直线 AB 上两点DCE45（）当 CEAB 时，点 D 与点 A 重合，显然 DE AD BE （不必证明）22（）如图，当点 D 不与点 A 重合时，求证：DE AD BE（）当点 D 在 BA 的延长线上时， （）中的结论是否成立？画出图形，说明理由 解：（）证明：过点 A 作 AF AB ，使 AFAB，连接 DFABC 是等腰直角三角形ACAB CAB B45，FAC 45CAF CBECF CE ACFBCEACB90，DCE45ACDBCE45ACDACF45即DCF 45DCF DCE又 CDCDCDF CDE第 6 题图- 12 -DF

21、DEAD AF DF22AD BE DE（）结论仍然成立如图证法同（）7.（2011 深圳市三模）如图，已知ABC，ACB=90，AC=BC，点 E、F 在 AB 上，ECF=45，（1）求证：ACFBEC（5 分）（2）设ABC 的面积为 S，求证：AF BE=2S（3）证明：(1) AC=BC ， A = B ACB=90， A = B = 45 0， ECF= 45， ECF = B = 45， ECF1 = B1 BCE = ECF 1，2 = B 1； BCE = 2， A = B ，AC=BC ， ACFBEC。 (2)ACFBEC AC = BE，BC = AF， ABC 的面积

22、：S = 21ACBC = BEAF AFBE=2S. 8.（2011 深圳市模四） （2）如图，AB 为O 的直径，BC 切O 于 B，AC 交O 于 D.求证：AB 2=ADAC.当点 D 运动到半圆 AB 什么位置时，ABC 为等腰直角三角形，为什么？证明：连接 BD，则ADB=90.BC 与O 相切，ABC=90，ABC=ADB。A E F B C A E F B C AB CDO第 5（2）题图第 4 题图- 13 -又A= A， ABCADB ， , .ACBDACD2点 D 运动到半圆 AB 的中点时，ABC 为等腰直角三角形。BD 既是 AC 上的高线又是中线，所以ABC 为等腰直角三角形。