1、2.3 连续系统的离散相似法,1,数值积分方法进行系统仿真的不足之处： (1) 单步法求解过程中，每计算一个步长h，要多次求取函数的导数值，步骤烦琐。 (2) 多步法求解过程中，又要求存储各状态变量值前r次时刻的数据，系统阶次较高时，存储量相当大，而且启动时还需要其他算法配合。 (3) 隐式算法求解必须经若干次迭代，才取得一个时刻的变量数值，计算速度受影响。 (4) 虽能得到各线性环节的输出响应值，但由于数值积分方法本身的原因所限，它是统一由状态方程求解变量值，对单个环节输出的特殊变化(如非线性变化)难以单独考虑.,2,本章从连续系统离散化的角度出发,建立连续系统模型的等价离散化模型,并用采样
2、系统的理论和方法介绍另一种常用的仿真算法离散相似算法。 建立离散化模型采用的是控制理论中的采样和信号重构技术。,2,3,虚拟采样开关,保持器的目的是使输入信号在采样间隔仍保持连续性,从频域看，保持器的作用就是把因离散化产生的高频分量滤去，保留主频部分。但是由于保持器并非是理想滤波器，因此它只能在一定程度上近似“还原”连续信号。,连续系统模型,保持器,1、采样周期,拉氏变换,并使用平移原理：,(什么是频谱?),4,5,香农采样定理：对一个具有有限频谱的连续信号 进行采样，只要选择 ，通过理想的低通滤波器，就能把原来信号毫无失真地提取出来。,6,(信号无失真复原的两个条件),2、理想的信号保持器,
3、理想信号保持器的频率特性,从频域观点看,保持器是一个低通滤波器,它用来衰减因离散化产生的高频部分,尽可能恢复原来的信号 从时域观点看,保持器是一种信号外推器 ,其任务是解决各采样点之间的插值问题,7,很明显,理想信号保持器是无法实现的。实际上能实现的是各种近似的保持器。,保持器将输入的离散采样值转换为连续模拟信号。 希望连续函数 同输入序列u(kT)的包络相符，而在两个相邻的采样值之间必须外推。,保持器主要解决各个采样点之间的插值问题：,8,(你能想出几种方法解决插值问题?),3、零阶保持器,m阶的保持器的输出取决于m+1个过去的采样值,9,零阶保持器的特点：其特性与低通滤波器相似；有相位滞后
4、问题（滞后T/2）；若输入信号为阶跃信号，那么零阶保持器能无失真地恢复信号。,4、一阶保持器,一阶保持器当满足采样定理时，可无失真地重构斜坡信号。,10,5、三角形保持器,三角保持器的单位脉冲过渡函数,1,t,hg(t),滞后一拍的三角保持器,11,(试比较一阶保持器),12,为使采样后的信号能无失真的再现，首先要求采样频率比信号的最高频率高2倍以上，否则会出现信号重叠。同时需要加保持器，另外，由于保持器与理想保持器的特性有差别，要想无失真地再现原信号是不可能的。如果采样频率足够了，又选择了 合适的保持器，则由保持器引起的失真可以减到足够小。从离散相似算法离散连续系统的角度讲，选择采样周期就相
5、当于数值积分算法的步距，选择保持器的形式相当于选择算法。保持器的阶次越高，相当于数值积分算法的阶次就越高。对于高阶保持器，其重构信号好，对于高频干扰灵敏，但相位滞后严重，硬件实施困难，因此工程上很少使用。,12,13,数值积分法 离散相似法 数值积分算法(欧拉,梯形,RK) 保持器的型式(零阶,一阶,三角等) 阶数(阶次) 阶数(阶次) 步长 采样周期 数值稳定性 离散系统稳定性,4阶RK法相当于三阶保持器,13,2.3.2 连续系统状态方程的离散化,对输入为u(t)，输出为y(t)的连续系统。使用采样周期为T的虚拟开关将输入、输出离散化，要求输出y(kt)在采样时刻的值等同于原输出y(t)在
6、同一时刻的值。,14,对状态方程,即：,称为状态转移矩阵,拉氏变换，,令：,拉氏反变换，并利用卷积公式，可得：,15,16,1. 零阶近似(即采用零阶保持器),17,其中：,18,2. 三角形近似(即采用三角保持器),19,在已知各状态变量初值的情况下，可以很容易的求出各采样时刻各状态变量的值，进而求出相应的输出方程的值。,20,这些矩阵函数如何计算?,4. F、G的计算,对F积分求G,F的收敛性,21,F,G的迭代计算,设：,则：,注：,22,5. Ga的迭代计算,注：,23,6. 折半-加倍措施,24,6. 折半-加倍措施,25,7. 截断误差,在实际计算中，F并不是取无穷系列，而是取有限
7、项N。 那么，N取多大合适？,(1),式中，M为级数的近似值，R为余数项。要求：,或,式中， 对应为R与M的元素， 为 中最大元素，为 中绝对值最小的元素。,(2),26,估算,(3),矩阵R的范数,令：,有：,27,如果,(4),则,因此，若：,则,28,化连续状态方程为离散状态方程的Matlab函数： sysd = c2d(sys, Ts, method)其中，Ts是采样周期（s）；method 定义离散化方法：“zoh” 采用零阶保持器；“foh” 采用一阶保持器；“tustin”采用双线性变换方法“matched”采用根匹配法d2c()：将状态空间模型由离散转化为连续 d2d()：将离
8、散化的模型按照另一采样周期重新离散化,29,连续系统传递函数的离散化(tf2ss() - c2d()亦可 ),当传递函数给定时，离散化的步骤为：,30,1. 对带保持器的传递函数进行z变换先将已给定的传递函数展开成部分分式，然后求每一部分分式项的z变换,再将它们合并在一起得到连续系统传递函数的z变换 2. 根据 z 变换式求差分方程,31,部分分式展开residue( ),32,33,1,1,2.3.4 离散相似法应用举例,对连续系统 分别进行数值积分法和离散相似法仿真，并比较仿真结果。,34,1. 数值积分法：2. 离散相似法（采样周期=0.1):3. 离散相似法（采样周期=0.01):,35,习题： 1.已知线性定常系统的状态空间模型,
