1、 哈尔滨师范大学学士学位论文题 目 浅谈反证法在几何中的应用学 生 指导教师 年 级 专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学科学学院黑体四号，加黑，居中与题目对齐，黑体四号，加黑数学与应用数学系毕业论文1哈 尔 滨 师 范 大 学学士学位论文开题报告论文题目 浅谈反证法在数学中的应用学生姓名 指导教师 年 级 专 业 数学与应用数学20XX 年 4 月数学与应用数学系毕业论文2说 明本表需在指导教师和有关领导审查批准的情况下，要求学生认真填写。说明课题的来源（自拟题目或指导教师承担的科研任务） 、课题研究的目的和意义、课题在国内外研究现状和发展趋势。若课题因故变动时，应向指导教师提出
2、申请，提交题目变动论证报告。数学与应用数学系毕业论文3课题来源：自拟题目课题研究的目的和意义：一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。本文由此通过举例的方式明确指出反证法在数学中对于一些类型题目的应用，比如：至多至少问题、唯一性问题、否定性问题等等。意义在于能够综合的表明反证法的重要性。国内外同类课题研究现状及发展趋势：数学与应用数学系毕业论文4课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：主要内容：反证法的应用方法：查找例子、经典应用主要问题：资料不够充分，很多方面的应用没有查找到解决办法：除了在图书馆和网络上找
3、资料，自己也与老师进行了讨论课题研究起止时间和进度安排：起止时间：20XX 年 12 月 9 日至 20XX 年 4 月 12 日20XX 年 12 月 9 日至 20XX 年 12 月 20 日 收集论文资料，确定论文题目20XX 年 12 月 20 日20XX 年 1 月 15 日 整理论文资料，完成初稿20XX 年 3 月 1 日20XX 年 3 月 31 日 教师指导，修改稿20XX 年 4 月 1 日-20XX 年 4 月 12 日 打印论文，定稿数学与应用数学系毕业论文5课题研究所需主要设备、仪器及药品：无外出调研主要单位，访问学者姓名：无数学与应用数学系毕业论文6指导教师审查意见
4、：同意开题指导教师 （签字）20XX 年 12 月 教研室（研究室）评审意见：同意开题_方程_教研室（研究室）主任 （签字）20XX 年 12 月院（系）审查意见：同意开题_数学科学学院_院（系）主任 （签字）20XX 年 12 月数学与应用数学系毕业论文7学 士 学 位 论 文题 目 浅谈反证法在数学中的应用学 生 指导教师 年 级 专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学科学学院哈尔滨师范大学20XX 年 4 月黑体四号，加黑，居中与题目对齐，黑体四号，加黑数学与应用数学系毕业论文8浅谈反证法在中学几何中的应用摘要：欧几里得最喜欢用的反证法，是数学家最精良的武器。它比起棋手所用的任
5、何战术还要好：棋手可能要牺牲一只兵或其他棋，但数学家用的却是整个游戏。哈代本文主要介绍反证法在几何中的应用。由历史背景引出，从思维过程开始，通过例题形象说明反证法在证明问题中是如何发挥作用的。尤其是对于存在性问题，唯一性命题，否定性命题，用反证法一般比较方便。与无限有关的命题，“至多”、“至少”等形式的命题，我们也进行了简单的介绍。在证明几何问题的过程中，有时很难找到入手点，我们就可以考虑借助这种间接证明的方法进行论证。关键词：假设 矛盾 证明反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。在
6、证明一个命题的时候,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出与已知条件相矛盾,或者与定义、定理、公理等矛盾的结论,从而得出假设命题不成立,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.反证法是一种间接证法，当正向求解有一定的困难，则可以考虑问题的反面.比如对于一些复杂的不等式，有时很难找到求证的入手点,这时可以考虑证明它的反论题为假.这种证明方法广泛应用在集合、不等式、几何证明等多个领域中.一、从推翻亚里士多德定律开始据说,希腊大哲学家亚里士多德曾引出过一个命题:“物体下落的速度与物体的重量成正比.”因此,物体越重,下落速度越快.2000 年来这个命题一直被人们认为是正确的,直到
7、16 世纪，意大利科学家伽利略做了著名的比萨斜塔实验，这个命题才被推翻.亚里士多德是一位著名的逻辑学家.他从数学总结出逻辑学,并提出逻辑学的基本原理矛盾律与排中律,从而奠定了反证法的逻辑基础.而有趣的是他的错误定律完全可以用他创立的逻辑学推翻:将一个矫情的重物 与一个较重的重物 用绳连结起来形成一个组合体.按亚里士1W2多德定律, 下落的速度 要小于 的下落速度 .在组合体的下落过程中,两个重物1V2V与 相互牵制,因而组合体下落速度 应介于 和 之间,即 .但按亚里1W2 121V2数学与应用数学系毕业论文9士多德定律可知,组合体的重量大于 更大于 ,因而 ，显然是矛盾的既2W1V21然亚里
8、士多德定律导致矛盾，说明它在理论上是错误的法国数学家阿达马曾说过:“这证法在于：若肯定定理的假设而否定其结论就会导致矛盾 ”这是对反证法原理的极好的概括.反证法可以详述如下:若肯定命题的条件而否定其结论,并运用此相反结论,在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾,由此知该相反结论的错误性,进而可知命题结论的正确性.由此,反证法也可以简要地概括成这样一个公式:否定推理否定即，从否定结论开始，经过正确的推理，而达到新的否定事实上有很多人说反证法也叫做归谬法，而这个说法是错误的尽管在形式上非常相近，但它们的证明能力实际上是存在差异的通过逻辑证明，可以说明反证法的证明能力更为强一些反证法假设矛盾论题，而归谬法不
9、假设矛盾论题，这是两者在逻辑形式上的根本区别反证法证明的是一个命题的真，归谬法证明的是一个命题的假正是由于这个语义上的差别，人们在思维中对反证法和归谬法有不同的应用反证法常常用于所谓论证，是一个证明方法，而归谬法则通常用于所谓反驳,大家不要将两者混淆.反证法在数学中的应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何都有应用，现选择中学数学中几个有代表性的例子，加以说明反证法的概念和应用二、反证法在几何中的应用例题1. 证明几何量之间的关系这种类型的例题用直接证法证明都比较难，尤其证两条直线是异面直线常采用反证法。例 1 （如图 12）直线 与平面 相交于 ，过点 在平面 内引直线 、POOOA、
10、， OBCCBPA求证： 证明：假设 PO 不垂直平面 作 并与平面 相交于 H，此时 H、O 不重合，H连结 OH由 P 作 于 E， 于 F，ABP根据三垂线定理可知， ， ，PO 是公共边，O Rtt F又 H Ett 图 12因此，OH 是 的平分线AOB同理可证，OH 是 的平分线C但是，OB 和 OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同时是 和 的平分线，AOBC矛盾 Pa OPABCEF H数学与应用数学系毕业论文102. 证明“唯一性”问题(在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题)关于唯一性的问题，在几何、代数、三角等范围中都有这类题目用直接证法
11、证明相当困难，因此一般情况下都采用反证法例 2 试证明：在平面上所有通过点 的直线中，至少通过两个有理点（有理点)0,2(指坐标 、 均为有理数的点）的直线有一条且只有一条xy证明：先证存在性因为直线 ，显然通过点 ，且直线 至少通过两个有理点，例如它通0),(y过 和 这说明满足条件的直线有一条),0(,1再证唯一性假设除了直线 外还存在一条直线 （ 或 ）通过点 ，0ybkxy0)0,2(且该直线通过有理点 A 与 B ，其中 、 、 、 均为有理数),(1x),(212y因为直线 通过点 ，所以 ，于是 ，且bky0,k)(xk又直线通过 A 与 B 两点，0k),(1x)(2y所以 ，
12、 21ky)(x，得 )(2121xky因为 A、B 是两个不同的点，且 ，所以 ， ，021x21y由，得 ，且 是不等于零的有理数21xykk由，得 k1此式的左边是无理数，右边是有理数，矛盾所以，平面上通过点 的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条)0,2(即满足上述条件的直线有且只有一条3. 证明否定性问题关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型.于它的结论是以否定形式出数学与应用数学系毕业论文11现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明.例 3 求证：抛物线没有渐近线证明：设抛物线的方程是 ( ).pxy20假设抛物有渐近线，渐近线的方程是 ，可知
13、、 都不为 0.则渐近线与抛ba物线相切于无穷远点，于是方程组baxyp2)2(1的两组解的倒数都是 0.将（2）代入（1） ，得（3）0)(2xpx设 、 是（3）的两个根，由韦达定理，可知12，221)(abx21abx则 ， （4）0)(22121 p， （5）02121bax由（4） 、 （5） ，可得 ，p与假设 矛盾.0所以，抛物线没有渐近线.4.证明“至少”或“至多”问题例 4 已知：四边形 ABCD 中 AC=BD=1求证：四边形中至少有一条边不小于 2证明：假设四边形的边都小于 ，由于四边形中至少有一个角不是钝角，则设09A根据余弦定理，得 ，ABDABDcos22数学与应用
14、数学系毕业论文12 ，22ABD即 1)2()(与已知 BD=1 矛盾由此可得，四边形中至少有一条边不小于 三、反证法在代数中的应用例题1. 否定性问题这类命题的结论一般只有“不是” ， “不能” ， “没有” ， “无”等特征，其结论反面就更为具体，因而常用反证法。例 1 对于任意自然数 ，分数 不可约。n3142证明：假设 可约，则 与 有最大公约数 ( ),342nd1所以 与 都能被 整除1nd因为 （ ）)17(所以 能被 整除7d又 )1(2314n所以 1 能被 整除，这与 矛盾。故 不可约2. 必然性问题这类命题结论具有“必然” 、 “一定”等特征，其反面就是对前者的否定，由此
15、去推出矛盾，从而使问题获证。例 2 若 均为小于 1 的非负实数，试证，其中一定存在两个数，其差1321,.,nxx的绝对值小于证明：不妨设 121.nxx假定这 个数中，任意两个数的差的绝对值都不小于 ，n n1iixn1),.32(i数学与应用数学系毕业论文13)(11iniinxx11xn01，这与题设相矛盾，故得证。x3. 命题结论所涉及的对象无限在此类问题中,结论的反面是有限，它比无限更具体，由它去推出矛盾，从而否定有限而肯定无限。例 3 求证素数有无穷多个证明：假设素数只有有限个设为 个，记为kkp.,21令 1.21kpa1) 若 是素数，则 ，所以素数至少有 个，这与假设矛盾。
16、),.2(kia1k2) 若 是合数，则存在素数 使 能被 整除。显然 均不是 的因数，所pakp.,2a以 是异于 的素数，仍与假设矛盾。p),.1(ki故素数有无穷多个。综上我们可以看出反证法在数学中几何和代数领域的大量运用，显然这是一种很常见且适用的证明方法这里只介绍了在数学中的一部分应用, 反证法在其他部分的也有很多重要的应用,并且在数学以外有更广泛的应用.除了在文章开始介绍的伽利略妙用反证法推翻亚里士多德的论断这个例子,我们还了解到 19 世纪博物学家达尔文的名著 物种起源,证明各种鸽均源于一种叫做 Columba Livia 的岩鸽假定并非如此，那么这些不同种类的鸽源自七种至八种原
17、始鸽种，这些原始鸽种的下落有三种可能情况：（1）它们都灭绝了；（2）它们仍存在；（3）它们在上古时代已被豢养接着，他说明每一种情况都没有使人满意的解释，于是得出结论，各种鸽源均源自于那种岩鸽固然在科学上运用反证法，效果不尽同，不过精神倒是相像的这使我想起英国 19 世纪作家柯南道尔笔下的神探福尔摩斯的一句口头禅， “当别的一切可能情况都已告吹，剩下的不管是多么不可能，它一定就是真的 ”这大概就是反证法的内涵了吧.参考文献：1 张顺燕：数学的思想、方法和应用，北京大学出版社，2003 年 5 月第二版。2 贺贤孝：证明的艺术，湖南教育出版社，2000 年 6 月。3 萧文强：数学证明，大连理工大
18、学出版社，2008 年 4 月第一版。4 张锦文：集合论浅说，科学出版社，1984 年 9 月第一版。5 龙朝阳：欧阳维城，初等数学解题方法研究，湖南教育出版社，1 998 年第二版。数学与应用数学系毕业论文14Application of reduction to absurdity in MathematicsAbstract: Euclidean like reductio ad absurdum with mathematicians, is the most sophisticated weapons. Any tactical than players with even bett
19、er:players may have to sacrifice a pawn or other chess, but mathematiciansused is the whole game.- HardyThis paper mainly introduces the application of reduction to absurdity in geometry. Drawn from the historical background, starting from the thinking process, through the example to explain the red
20、uction to absurdity in proving problems is how to play the role of. Especially for the problem of the existence,uniqueness of negative proposition, proposition, the reduction to absurdity is generally more convenient. And infinite on the proposition, “to“, “at least“ in the form of the proposition, we are also introduced. In the process of proving geometric problems, it is sometimes difficult to find a starting point, we canconsider this method is demonstrated by means of indirect proof.Keywords: assuming the proof by contradiction数学与应用数学系毕业论文15
