1、 基于 GARCH模型的沪深 300指数收益率波动性分析 摘 要 股票市场的价格波动研究，不仅具有重要的学术意义，而且具有重要的实际意义。股价的波动给投资者带来了获利的机会。因此， 金融市场的波动性 一直以来都是投资者和经济研究人员关注的焦点。 本文 以对 沪深 300 指数 2005 年 1 月 4 日到 2014 年 6 月 11 日每个交易日收盘价为原始数据 ，对其收益率进行了研究分析。研究结果表明： 日收益率序列的波动表现出时变性、突发性和集簇性等特征。序列分布呈现出尖峰厚尾的特点，并且存在明显的 GARCH 效应， 表明过去的波动对于未来的影响是持久的，同时也是逐渐衰减的。而且，沪深
2、 300 指数波动幅度大。沪深 300 指数的频繁交易使得股指期货市场具有高流动性，这种高流动性也是造成指数波动的一大成因。 关键字 ： 收益率； ARCH 模型； GARCH 模型 一、 前言 1.1 研究意义 股票市场的价格波动研究，不仅具有重要的学术意义，而且具有重要的实际意义。 股价的波动给投资者带来了获利的机会。投资者可以通过对度量波动率来猜测股市的风险有多大，同时，了解波动性有助于投资者 更好的理解和把我股票市场的运行规律， 将股价界定在一个可能的范围内，当投资者认识到股价波动的规律，就可以帮助其做出明智的投资，以获取更多的利益。因此， 金融市场的波动性 一直以来都是投资者和经济研
3、究人员关注的焦点。 1.2 研究对象和方法 沪深 300指数是由上海和深圳证券市场中选取 300只 A股作为样本编制而成的成份股指数 。 沪深 300指数选取规模大、流动性好的股票作为样本 , 覆盖了沪深市场六成左右的市值 ,具有良好的市场代表性 ， 所以有必要对其进行深入分析 。 本文以中国金融期货交易所的沪深 300指数 2005年 1月 4日到 2014年 6月 11日每个交易日收盘价为原始数据，共 2288个数据样本。 就沪深 300指数收益率的波动性研究方法而言，国内外的研究结果表明，许多金融时间序列 都将 GARCH模型作为解释金融数据的经验方法。因此，本文采用GARCH模型检验沪
4、深 300指数日收益率的波动性变化，希望可以发现沪深 300指数的波动性特征。 二、 GARCH 模型介绍 2.1 ARCH 模型 ARCH 模型 由 Engle（ 1982）提出，并由 Bollerslev（ 1986）发展成为GARCH-广义自回归条件异方差。这些模型广泛的应用与经济性的各个领域，尤其是金融时间序列中。 ARCH 的核心 是 (1)式中 t 时刻 的随机误差项 的方差（ 2） 依赖于 t-1 时刻的平方误差的大小，即依赖于 2t1。 Yt = 0 + 1X1t + + kXkt + t (1) 并假设在 t-1 时刻所有信息的条件下，干扰项的分布是： tN 0, 0 + 1
5、2 t1 (2) 即 t遵循均值为 0，方差为 0 + 12 t1的正态分布。由于（ 2）式中的 t的方差依赖于前期的平方干扰，我们称之为 ARCH（ 1）过程。将该模型加以推广，ARCH（ p）过程可以写成： Var t = 2t = 0 + 12t1 + + p2tp (3) 如果 误差方差中没有自相关，就会有 H0： 1 = 2 = = p = 0。此时Var t = 2 t = 0，从而得到误差项同方差的情形。 Engle 表明容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设： 2t = 0 + 12t1 + + p2tp (4) 其中， t表示从原始回归模型（ 1）估计得到的 OLS 残差。 2
6、.2 GARCH（ 1,1） 模型 在标准化的 GARCH(1,1)模型中： yt = xt + t (5) 2 t = + 2t1 + 2t1 (6) (5)式给出了均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。由于 2t是以前一期的信息为基础的预测方差，所以他被叫做条件方差。 (6)式给出的条件方差方程是一个下面三项的函数： 均值： 用均 值方 程的残 差平 方的滞 后来 度量 从前期 得到 的波 动性：2t1 ARCH 项 上一期的预测方差： 2t1（ GARCH 项） GARCH（ 1,1）是指阶数为 1 的 GARCH 项（括号中的第一个 1）和阶数为 1 的ARCH 项（括号中的第二个
7、1）。普通的 ARCH 模型是 GARCH 模型的特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差的说明。 三、基于沪深 300 指数的实例研究 3.1 基本统计特征分析 本文以中国金融期货交易所的沪深 300 指数 2005 年 1 月 4 日到 2014 年 6月 11 日每个交易日收盘价为原始数据，共 2288 个数据样本。为 减少误差，在估计时 ，根据每个交易日的收盘价对日收益率进行自然对数处理，即将收益率根据 以下 公式 进行计算 ： r = log(pt/pt1)， 即 得到 沪深 300 指数收盘价对数的 一阶差分 。 通过 R 软件， 画出日对数收益率线形图（图 1）。 图 1 沪深
8、 300 指数日收益率波动图 由图 1 可以看出日收益率的波动表现出时变性、突发性和集簇性 等 特征。 通过 计算沪深 300 指数收益率序列的均值，标准差，极差，偏度和峰度等基本统计数据，得出 下表 ： 表 1： 沪深 300 指数收益率的基本统计情况 均值 标准差 极差 偏度 峰度 0.000345 0.0183 0.1863 -0.3366 5.9144 图 2 沪深 300 指数日收益率直方图 通过 R 软件得到沪深 300 指数日收益率直方图（图 2），图中蓝色虚线表示收益率的核密度曲线，红色实线表示正态分布曲线。 由表 1 可知， 沪深 300指数 日收 益率 偏度为 -0.336
9、6，其分布是左偏的，其峰度为 5.9144， 远高于正态分布的峰度值 3。结合图 2 我们可以看出， 收益率具有尖峰后尾的特征。 并结合 shapiro-wilk 正态性检验的结果（ p 值 0 时，如图所示， 对应的相关系数 基本均在 该区间内 ，即日收益率的 自相 关 性问题不严重 ，不存在显著的自相关。 平稳性检验最常用的方法为单位根方法， 运用 R 软件，对日收益率进行单位根检验，检验结果如下（表 2） ： 表 2：日收益率单位根检验 Value of test-statistic is: -34.2123 390.1603 585.2404 Critical values for t
10、est statistics: 1pct 5pct 10pct tau3 -3.96 -3.41 -3.12 phi2 6.09 4.68 4.03 phi3 8.27 6.25 5.34 从 单位根检验结果可看出： 在 1%,5%,10%三个 显著性水平下，单位根检验的临界值分别为 -3.96， -3.41， -3.12， t 检验统计量值 -34.2123，小于相应临界值，从而拒绝 原假设 ，表明沪深 300 指数收益率（ RSH000300）不存在单位根，是平稳序列，即服从 I(0)过程。 3.3 ARCH 效应检验 3.3.1 滞后阶数的选择以及均值方程的确定 本文采用时间序列的模型分
11、 析，因此要 先对收益率的自回归的滞后阶数进行选择。沪深 300 指数收益率 的均值方程都采用如下形式： = 0 + =1+ 分别对滞后 1、 2、 3、 4、 5 期进行回归，结果如下表 3 所示 ： 表 3： 滞后 1、 2、 3、 4、 5 期回归 结果 Lag 1 2 3 4 5 AIC -11799 -11798 -11800 -11803 -11801 根据 AIC 最小原则可以看出滞后 4 期为最优，故选择滞后阶数为 4，则公式可以写成： = 0 + 14=1+ 3.3.2 残差序列自相关检验 通过 R 做日收益率序列的残差和残差平方自相关图，见图 5，图 6。 图 5：沪深 3
12、00 指数日收益率残差自相关图 图 6：沪深 300 指数日收益率差平方自相关图 从序列残差图中可以看出，相关系数基本落入 蓝色虚线 （ 95%置信区间 ）内，即表明： 沪深 300 指数日收益率残差不存在显著的自相关。 而从残差平方图中可看出，相关系数都没落入 蓝色虚线 （ 95%置信区间 ）内，即表明： 沪深 300指数日收益率的残差平方有显著的自相关，显示出 ARCH 效应。 对沪深 300 指数日收益率做残差平方线性图，见图 7： 图 7：沪深 300 指数日收益率残差平方线性图。 从残差平方线性图可以看出，回归方程的残差 2的波动具有“成群”现象，即：波动在一些较长时间内非常小，在其
13、他一些较长的时间内非常大，即具有明显的时间可变性和集簇性，这说明残差序列 可能 存在高阶 ARCH 效应，适合用 GARCH 类模型来建模，而且可以观察到股指期货上市这一年的波动性明显减弱 。 3.3.3 对残差进行 ARCH 检验 运用 R 软件对序列线性回归的残差作 ARCH 效应检验图，见图 8： 图 8:ARCH 效应检验图 从图中可以看出， 所有的圆圈都在红线内， 即在 95%的置信区间内， 说明 残差 具有 ARCH 效应，可以采用 GARCH 模型来拟合数据。 3.4 GARCH(1,1)模型拟合 通过 R 软件对残差序列进行 GARCH（ 1,1）模型拟合，得到如下结果： 表
14、4： GARCH(1,1)模型 参数估计 Estimate Std. Error t value Pr(|t|) omega 2.117e-06 7.780e-07 2.721 0.0065 alpha1 4.324e-02 6.892e-03 6.274 3.52e-10 beta1 9.502e-01 7.859e-03 120.910 2e-16 Log Likelihood: 6129.057 AIC -5.357287 通过表 4 可知， GARCH(1,1)方程为： t 2 = 2.117 106 + 0.043 t1 2 + 0.952t1 而且 方程中 系数的都是统计显著的，并
15、且 alpha1和 beta1是高度显著的，表明收益率序列具有显著的波动集簇性。而且， alpha1+beta1=0.993441，满足参数约束条件。同时，由于系数之和非常接近于 1，表明一个条件方差所受的冲击力是持久的，即它 对所有的未来的预测都有重要的作用。因此， GARCH（ 1,1）过程是平稳的。 四、总结 本文以 沪深 300 指数 2005 年 1 月 4 日到 2014 年 6 月 11 日每个交易日收盘价为原始数据 ， 计算 沪深 300 指数的 日对数收益率， 接着通过对收益率的基本统计特征及平稳性进行分析，并对自回归模型残差序列进行检验，发现其具有较强的 ARCH 效应，最
16、后 建立 GARCH（ 1,1） 对其进行拟合 。 得出以下结论： （ 1） 沪深 300 指数 收益率序列具有显著的波动集簇性。 充分说明我国股市投机氛围浓厚，投资者的短期投资偏好明显。 （ 2）沪深指数收益率存在明显的 GARCH 效应。 说明过去的波动对于未来的影响是持久的，同时 也是逐渐衰减的。 （ 3）沪深 300 指数波动幅度大。沪深 300 指数 的频繁交易 使得 股指期货市场具有高流动性，这种高流动性也是造成指数波动的一大成因。 参考文献 1 张彩霞 ， 付小明 . ARCH 族模型在上证指数中的应用与预测 J.经济管理，2009(12) 2 郑鑫 . 基于 ARCH 模型对沪
17、深股市的比较研究 J. 现代商业， 2010（ 1） 3 何宜庆 ,曹慧红 ,侯建荣 .我国沪深两市股指收益率的 EGARCH效应分析 J.统计观察 ,2005(8) 4 李亚静 ,朱宏泉 ,彭育威 .基于 GARCH 模型族的中国股市波动性预测 J.数学的实践与认识 ， 2003 (11) 5 鲁万波 .基于非参数 GARCH族模型的中国股市波动性预测 J. 数理统计与管理 , 2006(4) 6 周孝华 ， 唐秋燕 .沪深 300指数极值 VAR的分析与计算 J. 统计与决策 , 2008(10) 7 穆昭光，赵伟 .基于 GARCH模型的沪市波动性的市政研究 J.经济师， 2009(9)
