1、2.4 回归估计量及其性质,2.4.1 回归估计的性质,2.4.2 多变量回归估计,2.4.3 各种估计量的精度比较,回归估计的定义,回归估计是通过对调查变量Y以及该变量有线性关系的辅助变量X建立回归方程，然后运用回归方程对总体指标进行推断、估计的方法。 总体均值的回归估计量定义为：总体总量的回归估计量定义为：,回归估计量的特例,是简单估计量,是比率估计量,称为差估计量,在直角坐标系中，比估计表现为通过原点的回归直线，而回归估计可以通过原点，也可以不通过。 比估计只能有一个辅助变量，而回归估计可以利用多个辅助变量,回 归估计应用的两种情况,1.为设定常数,证明见p49(th2.8),由方差的计
2、算公式可知，无论 是怎样的确定值， 总 是 的无偏估计，估计的精度与 的设定值有关。,方差公式右端实际上是 的二次三项式，又由于 前的系 数为 是个正 数，因此，只要适当选取 就可使 达 到最小值，利用高等数学的知识，可得使 达到最小 值的 应为：,其中 为 X 和 Y 的相关系数，此时最小方差为：,回归估计应用的两种情况,2.为样本回归系数,证明见p50(th2.10-th2.11),对于简单随机抽样，当n足够大时，,由于这方差参数的主要部分是 ，因此，要给出估计，只要将 S 换为 s，X、Y 换为 x、y，N 换为 n即可,形式上的估计可以写成,实质上是残差平方和，其自由度为(n2)，因此
3、得到 或 的估计为：,为样本回归系数,故,多变量回归估计,当回归估计可以利用的辅助变量不止一个，就会用到多变量回归估计。 处理这类问题常用的方法有Des Raj的加权法B Ghosh的普通多元回归法,各种估计量的精度比较,1. n足够大的情形 在大样本下，回归估计总是优于简单估计 在大样本下，回归估计总是优于比估计。 2. n不够大的情形 不能认为比率估计和回归估计一定好于简单估计 n越小回归估计的均方误差越大,大样本条件下 回归估计优于简单估计和比率估计,样本量小时，回归估计偏差大于比率估计,例2：某县小麦种植面积为218756亩，分布在N=576个村，为估计全县产量，随机无放回地抽取n=24个村，所得数据如下,每个村有两个指标：面积 和产量 ，即：,经计算可得：,所以该县平均亩产小麦估计为：,采用比估计可得 和 分别为：,仅利用 数据估计该县小麦总产量 与估计量方差分别为：,使用回归估计继续讨论某县小麦亩产与总产量问题。,样本回归系数,小麦产量的估计为:,小麦总产量的估计为:,显见，回归估计比起比估计精度略高一点，但相差不大，它 们比简单估计则要精确的多！,
