1、第三章 线性规划的对偶理论,线性规划问题具有对偶性，即任何一个求极大值的线性规划问题，都有一个求极小值的线性规划问题与之对应，反之亦然 原问题、对偶问题、一对对偶问题 对偶理论（Duality Theory） dju(:)liti 研究对偶问题之间的关系及其解的性质 根据对偶理论，在解原问题的同时，也可以得到对偶问题的解，并且还可以提供影子价格等有价值的信息，在经济管理中有着广泛的应用,为什么研究对偶理论？,对偶问题可能比原问题容易求解 对偶问题还有很多理论和实际应用的意义,1 对偶问题的一般概念 2 对偶问题的基本性质 3 对偶问题的解 4 对偶问题的经济解释影子价格 5 对偶单纯形法 6
2、原始对偶单纯形法,1 对偶问题的一般概念,对偶问题的提出 对偶问题的形式,1.1 对偶问题的提出,资源的合理利用问题，即充分利用资源生产两种产品 大规模定制生产时代，充分利用资源生成所需的产品 对外提供加工服务，收取加工费 存在一个矛盾 自己要赚钱，定价越高越好 定价太高，别人不找你 折中保证不亏的前提下，对方的支出最少,例1,问题,假设不是安排生产，而是出售材料，出租工时，问如何定价，可使工厂获利不低于安排生产所获得的利益，且又能使这些定价具有竞争力,解决,设出售材料的定价为每单位y1元 出租工时的定价为每工时y2元,1.2 对偶问题的形式,对称型对偶问题 非对称型对偶问题 混合型对偶问题,
3、1. 对称型对偶问题,定义1,矩阵形式,原问题,对偶问题,增加内容,对偶规则,给每个原始约束条件定义一个非负对偶变量yi(i=1,2,m); 使原问题的目标函数系数cj变为其对偶问题约束条件的右端常数； 使原问题约束条件的右端常数bi变为其对偶问题目标函数的系数； 将原问题约束条件的系数矩阵转置，得到其对偶问题约束条件的系数矩阵； 改变约束条件不等号的方向，即将“=”； 原问题“max”型，对偶问题为“min”型,例3,2. 非对称型对偶问题,例4,对偶规则,原问题第k个约束为等式，对偶问题第k个变量是自由变量。 原问题第k个变量是自由变量，则对偶问题第k个约束为等式约束。,3. 混合型对偶问
4、题,对偶约束,另外，我们把约束条件分为行约束（变量的线性组合的等式或不等式约束）和变量的符号约束两部分，而以原问题的行约束与对偶问题的变量一一对应，原问题的变量与对偶问题的行约束一一对应，并且将对应的一对约束称为一对对偶约束,例5,例3,用矩阵理论讨论对偶问题,设原问题：,可用另一形式：,XB XN XS,表示线性规划问题已得到最优解.,令,则由(4)有,由(2)和(3),有,故有,因为,而Y的上限无限大,所以只存在最小值.,由上讨论,可得另一个线性规划问题:,称为原线性规划问题 的对偶规划问题。,原问题 Prime Problem 对偶问题 Dual Problem,原问题与对偶问题的对应关
5、系,原问题求极小-,原问题约束方程有“”-两边同乘（-1），“”,原问题约束方程有“=”-对偶问题？,2 对偶问题的基本性质,对称性 弱对偶性 无界性 最优性 强对偶性 互补松弛性 解的对应性,产品A，B产量X1，X2，Z为利润,例1、,X=(8,24)T Z =184,y=(2/9,13/9), Z=184,观察结论:, 一对对偶问题都有最优解，且目标函数值相等。, 最优表中有两个问题的最优解。,对称性,定理1（对称性定理） 对偶问题的对偶是原问题。,弱对偶性,定理2（弱对偶性）,证明,推论1,最大化问题的任一个可行解的目标函数值都是其对偶最小化问题目标函数的下界； 最小化问题的任一个可行解
6、的目标函数值都是其对偶最大化问题目标函数的上界。,无界性,推论2 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 逆命题不成立。 在一对对偶问题P和D中，当其中一个问题无可行解时，则另一个问题或者目标函数无界，或者无可行解。,推论3,在一对对偶问题P和D中，若一个可行，而另一个不可行，则该可行的问题无界。,例1,例2,例3,最优性,定理3（最优性判别定理）,证明,定理1对称性定理 定理2弱对偶性定理 定理3最优性判别定理 定理4主对偶定理 定理5互补松弛定理,强对偶性,定理4（主对偶理论） 若一对对偶问题都有可行解，则它们都有最优解，且目标函数的最优值必相等。,证明,根据弱对偶
7、性定理，有,所以，P有最优解,所以，D有最优解,根据最优性判别定理，Y*也是最优解,推论4,原问题有最优解，那末对偶问题也有最优解，且目标函数值相等。,一对对偶问题的关系,两个问题都有可行解，从而都有最优解 一个问题为无界解，另一个问题必无可行解 两个问题都无可行解,互补松弛性,定理5（互补松弛定理） 设X*和Y*分别是P和D的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是,互补松弛条件,互补松弛条件,互补松弛关系（松紧关系）,若原问题最优解第i个约束方程为严格的不等式，则对偶问题最优解中第i个对偶变量取值必为0,松约束与紧约束,把某一可行点处的严格不等式约束（包括对变量的非负约束）称为松约束 不起作
8、用约束 把严格等式约束称为紧约束 起作用约束,结论,即对于最优解X*和Y* 而言，松约束的对偶约束是紧约束 注意：是先松后紧！,推论5,设一对对偶问题都有可行解，若原问题的某一约束是某个最优解的松约束，则它的对偶约束一定是其对偶问题最优解的紧约束,松紧关系的实际意义,在计算上，若已知一个问题的最优解，则可利用互补松弛条件求另一个问题的最优解,w1 wi wm wm+1 wm+j wn+m,x1 xj xn xn+1 xn+i xn+m,对偶问题的变量 对偶问题的松弛变量,原始问题的变量 原始问题的松弛变量,xjwm+j=0 wixn+i=0 (i=1,2,m; j=1,2,n) 在一对变量中，
9、其中一个大于0，另一个一定等于0,max z=3x1+4x2-x3 s.t. 4x1+2x2+5x338-x1+3x2- x3182x1- x2+3x3263x1+ x2- 2x3 10x1, x2, x30,min y=38w1+18w2+26w3+10w4 s.t. 4w1- w2+2w3+3w4 32w1+3w2- w3+ w4 45w1- w2+3w3-2w4 -1 w10,w20,w30,w40,| 变量 | 松弛变量 | (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7) ( 0, 19, 0, 0, 39, 45, 9 ),( 2, 0, 0, 0, 5, 0, 11) (
10、w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7) | 变量 |松弛变量|,互补松弛关系,+x4 =38,-x5 =18,+x6 =26,-x7=10,x4, x5, x6, x7 0,-w5 = 3,-w6 =4,-w7 =-1,w5,w6,w70,原始问题,对偶问题,原始问题的每一个变量和对偶问题相应的松弛变量组成互补松弛对，每一对变量中至少有一个等于0。,对偶问题的每一个变量和原始问题相应的松弛变量组成互补松弛对，每一对变量中至少有一个等于0。,例4,先松后紧！,非对称对偶问题的互补松弛条件,设X*和Y*分别是一对非对称对偶问题的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是下式成立,Why
11、?,对于非对称形式的对偶问题，因为此时 Y*无正负限制，所以只有一个成立,混合型对偶问题,定理15成立,例5,结论,如果D易求，可以通过求D来讨论P 若D无界，则P无解 若求得D的最优解Y*，最优值为W*，则利用互补松弛条件可求得P的最优解X*，并且P的最优值为Z*=Y*b,解的对应性,推论,对于对称形式的原问题，若有最优解，则在其最优单纯形表中，松弛变量的检验数的负值即为对偶问题的一个最优解,单纯形乘子定理,若P有最优解，最优基为B，则Y=CBB-1就是其对偶问题D的一个最优解。,3 对偶问题的解,能否通过求解原问题来找出对偶问题的解，或者相反 互补松弛条件就可以由原问题的最优解可以直接求出
12、其对偶问题的最优解,求P的X* PDD的解Y* P的解X*,利用原问题的最优单纯形表 求对偶最优解,例1,为了求得对偶最优解Y*只需将初始基变量（包括人工变量）在原问题的目标函数中相应的系数(如果是人工变量，则系数为M）减去对应的检验数j即可,例2,2. 利用改进单纯形表求对偶最优解,所谓单纯形乘子就是现在所说的对偶最优解 因此，通过改进单纯形法的计算过程，就可以找到对偶最优解 特别是在用改进单纯形表进行计算时，单纯形乘子已经记录下来.当迭代到最后，就可从最终改进单纯形表上查到对偶最优解,例3,结论,究竟是解它的原问题还是解它的对偶问题比较省事 一般说来，求解一个线性规划问题的计算量，是同这个
13、问题所含约束条件的个数有密切关系的若约束条件的个数愈多，则基可行解中基变量的个数也随之增多，相应地确定主元和迭代变换的计算量也愈大根据经验，单纯形法的选代次数大约是约束条件的 l15倍 因此，当mn时，用原问题求解较好；当mn时，则用其对偶问题求解较好 选择约束条件少的形式,统一起来！,4 对偶问题的经济解释影子价格,计算价格，影子价格，shadow price 这种价格不同于市场价格，它是根据每个厂的资源情况、消耗情况和产品的价格计算出来的,4.1 影子价格的概念,定义2,在一对对偶问题P和D中，若P的某个约束条件的右端常数bi增加1个单位时，所引起的目标函数最优值Z*的改变量y*称为第i个
14、约束条件的影子价格，又称为边际价格,影子价格yi*的经济意义,是在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数最优值的变化，即对偶变量yi就是第i个约束条件的影子价格,影子价格的理解,可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数 影子价格是针对某一具体的约束条件而言的，而问题中所有其他数据都保持不变,Lagrange乘子、灵敏度系数,即影子价格，通常指线性规划对偶模型中对偶变量的最优解 当所有资源按最优方式分配时，第i 种资源的影子价格yi给出了第i种资源（单位）追加量的边际利润 也就是说，在原规划模型最优基保持不变的前提下，增加（或减少）单位第i 种资源，原规划模型的目标函数值将增加或减
15、少一个yi 值 因此，人们可根据yi 的大小，对第i 种资源紧缺程度和占用的经济效果作出判断，探讨资源的优化利用，为企业决策服务,影子价格的具体内容,将yi 视为第i 种资源的边际值，它反映了在一定条件下，增加（或减少）单位第i 种资源占用量对目标函数值增加或减少的影响程度 将yi 视为第i 种资源机会成本或机会损失，它反映了企业若放弃单位第i 种资源的利用，将失去一次获利机会，其损失值为yi ；若增加单位第i 种资源的利用，企业将赢得一次增值为yi的获利机会,影子价格的具体内容,将yi 看作一种附加值或附加价格，它取决于企业对第i种资源使用效果的一种评价若第i种资源的单位市场价格为mi，当y
16、i mi 时，企业愿意购进这种资源也就是说，如果第i种资源追加一单位，作最优分配时所得利润yi 比成本mi 要大，单位纯利润为yi mi ；，购进这种资源有利可图；如果yi mi ，企业愿意有偿转让这种资源，可获单位纯利mi yi ，否则，企业将无利可图，甚至亏损,影子价格为正数 紧缺 短线资源 影子价格为0 剩余 长线资源,例1,4.2 影子价格在经济管理中的应用,影子价格能指示企业内部挖潜的方向 影子价格在企业经营决策中的作用 影子价格在新产品开发决策中的应用 利用影于价格分析现有产品价格变动对资源紧缺情况的影响 利用影子价格分析工艺改变后对资源的影响,对偶的经济解释,原始问题是利润最大化
17、的生产计划问题,单位产品的利润（元/件）,产品产量（件）,总利润（元）,资源限量（吨）,单位产品消耗的资源（吨/件）,剩余的资源（吨）,消耗的资源（吨）,对偶问题,资源限量（吨）,资源价格（元/吨）,总利润（元）,对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解w1、w2、.、wm称为m种资源的影子价格（Shadow Price）,原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y,影子价格能指示企业内部挖潜的方向,利用影子价格进行企业经济活动分析，不仅可以实现资源的最优配置，而且可以指明企业内部挖潜的主攻方向 因为影子价格能指出各种资源在实现企业最优目标时的影响作用，影子价格愈高的资源，
18、表明它对目标增益的影响愈大，同时也表明这种资源对该企业来说愈稀缺和愈贵重，,企业的管理者就应该更加重视对这种资源的管理，通过挖潜革新、降低消耗或及时补充该种资源，以保证给企业带来较大的收益总之，对影子价格大于零的资源都应采取措施，增加投入，以保证生产正常进行，实现利润最大化,影子价格能指示企业内部挖潜的方向,当然，对影子价格为零的资源，企业的管理者也不应忽视， 这种资源对该企业来说是相对富裕的一方面，可以向别的企业转让这种资源或者以市场价出售，以免形成积压和浪费；另一方面，通过企业内部的改造、挖潜和增加对影子价格大于零的资源的投入后，使原有的剩余资源又可以得到充分利用，而变为新的紧缺资源（变为
19、影子价格大于零）这样不断调整产充，真正实现资源的合理利用,影子价格在企业经营决策中的作用,因为影子价格不是市场价格，它是根据企业本身的资源情况、消耗系数和产品利润计算出来的一种价格，是新增资源所创造的价值，是边际价格 不同的企业，即使是相同的资源（例如钢材）其影子价格也不一定相同就是同一个企业，在不同的生产周期，资源的影子价格也不完全一样,影子价格在企业经营决策中的作用,因此，企业的决策者可以把本企业资源的影子价格与当时的市场价格进行比较， 当第i种资源的影子价格高于市场价格时，则企业可以买进该种资源； 而当某种资源的影子价格低于市场价格时（特别是当影子价格为零时）则企业可以卖出该种资源，以获
20、得较大的利润,随着资源的买进和卖出，它的影子价格也将发生变化，直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态所以我们说影子价格又是一种机会成本，它在决定企业的经常策略中起着十分重要的作用,w1 w2wm,产品的机会成本,机会成本 表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润,增加单位资源可以增加的利润,减少一件产品可以节省的资源,机会成本,利润,差额成本,产品的差额成本（Reduced Cost）,差额成本=机会成本 - 利润,互补松弛关系的经济解释,在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的资源边际利润等于0 （3）安排生产的产品机会成本等于利润 （4）
21、机会成本大于利润的产品不安排生产,影子价格在新产品开发决策中的应用,企业在新产品投产之前，可利用影子价格，通过分析新产品使用资源的经济效 果，以决定新产品是否应该投产,例2,A的相对价值系数为负 利润小于隐含成本 小 不值 B的相对价值系数为正 利润大于隐含成本 大 值,利用影于价格分析现有产品价格变动对资源紧缺情况的影响,利用影子价格分析工艺改变后对资源的影响,注意,以上的分析都是在最优基不变的条件下进行的 如果最优基有变化，则应结合下一章将要讨论的灵敏度分析的方法来进行分析,5 对偶单纯形法,对偶单纯形法的基本原理 对偶单纯形法的迭代步骤 初始正则解的求法,对偶单纯形法是求解线性规划的另一
22、个基本方法， 它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法， 是利用对偶原理来求解原问题的一种方法 而不要简单地将它理解为是求解对偶问题的单纯形法 由对偶理论可以知道，对于一个线性规划问题，我们能够通过求解它的对偶问题来找到它的最优解,原始可行性条件 原始最优性条件 原始单纯形法,原始单纯形法的基本思路,从满足原始可行性条件的一个基可行解出发，经过换基运算迭代到另一个基可行解，直到最后得到满足原始最优性条件的基可行解，这个解就是原问题的最优解,从理论上讲，原始单纯形法可以解决一切LP问题。 但因为用途广泛，必有不足之处。 如对于某些特殊问题，虽然也可解决，但显得不便。例如
23、,对偶可行性条件,结论,原始最优性条件等价于对偶可行性条件,如果一个原始可行基B也是原问题P的最优基的话，则YCBB-1就是对偶问题D的一个可行解，且对应的目标函数值WYbCBB-1b等于原问题P的目标函数值，根据最优性判别定理可知Y*= CBB-1也是对偶问题D的最优解,定义3,定义4,正则性,正则解只是一个基本解，并不要求是可行解 在保持正则解的正则性不变的条件下，在迭代过程中，使原问题解的不可行性逐步消失，一旦迭代到可行解时，即达到最优解,正则基,原问题P的正则解X与对偶问题D的基可行解Y是一一对应的 它们由同一个基B所决定，我们称这一基为正则基,类推,同原始单纯形法一样，求解对偶问题D
24、也可以从D的一个基可行解开始，从一个基可行解迭代到另一个基可行解，使目标函数值减少 为什么是目标函数值减少？,对偶单纯形法,也就是说，求解原问题P时，可以从P的一个正则解开始，从P的一个正则解迭代到另一个正则解，使目标函数值Z=Yb=CBB-1b 减少，当迭代到XB=B-1b=0时，即正则解满足原始可行性条件时，就找到了原问题P的最优解,对偶单纯形法的定义,是基于对偶问题的对称性所设计的求解原问题的一种方法。,对偶单纯形法的基本思想,是在保持对偶问题的可行性的基础上，逐步迭代，当原问题也达到可行时，同样表示也达到了最优。,在单纯形表中进行迭代时，在b列得到的是原问题的基可行解，而在检验数行列得
25、到的是对偶问题的基解，通过逐步迭代，当在检验数行得到对偶问题的解也是基可行解时，已得最优解。 根据对称性，若保持对偶问题的解是基可行解，而原问题在非基可行解的基础上，通过逐步迭代达到基可行解，这也得到了最优解。,对偶单纯形法的优点,是求解原问题的初始解不一定是基可行解，在对偶可行的前提下，可以非基可行解开始迭代。因此，对有些问题使用起来比较方便（灵敏度分析）。这时不需要加入人工变量，因此可以简化计算。,原始单纯形法 保持解的可行性不变 由不小于等于0到小于等于0 对偶问题的解由不可行到可行 对偶单纯形法 始终保持对偶问题解的可行性 原问题的解由不可行到可行 一旦可行，即最优,对偶单纯形法的优点
26、,当变量多于约束条件时，对这样的LP问题，用对偶单纯形法可以减少计算工作量，因此对变量较少而约束条件很多的LP问题，可以先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。 在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法，这样可使问题的处理简化。,对偶单纯形法的局限性,对大多数LP问题，很难找到一个初始可行基。因而这样方法在求解LP问题时，很少单独使用。 但要求初始解满足正则性（对偶可行性） 构造一个扩充问题,对偶单纯形法的基本措施,对偶单纯形法所使用的表格与原单纯形法一样， 不同之处： 保证j=0 迭代也基本一致 不同之处： 先选出基变量 后选进基变量,选出基变量,选进基变量,定理,5.2 对偶单纯形法的迭代步骤,5.2 对偶单纯形法的迭代步骤,5.2 对偶单纯形法的迭代步骤,例1,5.3 初始正则解的求法,对偶单纯形法初始基的确定 检验数中有正数出现，X(0)不是正则解 则增加一个约束,例2,Why？,
