1、现代数字信号处理,第一章 维纳滤波,主要内容,1.1 维纳滤波问题描述 1.2 维纳FIR滤波器 1.3 维纳非因果IIR滤波器 1.4 维纳因果IIR滤波器 1.5 深入了解的预备知识 1.6 维纳IIR滤波器计算例子 1.7 维纳预测器,真实信号,观察/测量数据,加性噪声/干扰,线性估计问题,最小均方误差(MMSE)估计 (minimum mean-square error),估计误差,1.1 维纳滤波问题描述,维纳滤波-对真实信号的最小均方误差估计问题.,平滑,滤波,预测,这里我们主要考虑滤波问题，即,线性估计根据其取值范围不同通常有下面几种情况:,问题在于估计滤波器的参数/单位冲激响应
2、序列,正交方程 :,标准方程 (Wiener-Hopf equations):,维纳-霍夫（Wiener-Hopf）/标准方程,任何时刻的估计误差都与用于估计的所有数据（即滤波器的输入）正交,注意:,A data-dependant linear least square error estimation Wiener-Hopf equation - solutions Orthogonal equation - decorrelation,Wiener Filters,下标i的取值范围决定了FIR,非因果IIR，因果IIR,FIR (Finite Impulse Response) Wien
3、er Filter,1.2 求解 Wiener-Hopf Equations -FIR滤波器,维纳-霍夫方程 展开为矩阵形式,Solution:,练习,完成习题 2.9 (1)和2.9(2) 后 如何利用上面给出的公式计算 FIR 维纳滤波器的参数?dataP=Es(n)x(n), R=Ex(n)xT(n) hop =R-1P,FIR维纳滤波器结构,Wiener Filters,标准方程 :,1.3 求解 Wiener-Hopf Equations -非因果 IIR滤波器,Solution :,1.4 求解 Wiener-Hopf Equations -因果 IIR滤波器,标准方程 :,将II
4、R滤波器分解为两部分,第一部分为白化滤波器（将输入信号变为白噪声） 第二部分为以白噪声为激励的最优因果滤波器。,计算步骤,因式分解（谱分解定理）,(2) 分解为因果部分和非因果部分,(3) 计算系统函数,(4) 计算冲激响应（逆Z变换）,(5) 计算最小均方误差,维纳滤波器的均方误差,证明上式,为什么维纳滤波器比一般线性滤波器性能更好？,Minimum Phase Sequence如果一个稳定的因果序列具有有理Z变换并且其所有的零点和极点都位于单位圆内，则为最小相位序列。,当下式成立时为最小相位序列,1.5 一些预备知识 1.最小相位序列,例如：有限序列,最小相位多项式，最小相位系统,为什么一
5、个所有零点位于单位圆内的序列具有最小相位滞后？,假设A(Z)是一个M阶多项式，仅有一个零点位于单位圆内：,这里F(z)是一个M-1阶多项式，其所有的零点都位于单位圆外,The zero:,共轭倒序关系得到另一个序列 B(z),The zero:,共轭,系数倒序,(1) 幅度特性（单位圆上，即|z|=1）,(2) 相位滞后特性,Phase lag:,相位差 :,假设A(z)为M阶多项式，其所有的零点都位于单位圆内。,最大相位序列 最大相位多项式 最大相位系统,这里存在着 个不同的序列(通过对各个因子作共轭倒序)，这些序列具有相同的幅度特性但是不同的相位特性,最小相位序列 最小相位多项式 最小相位
6、系统,任何实平稳随机信号的有理功率谱都可以被唯一分解为下面形式：,广义平稳随机信号模型：（任何平稳随机信号可以看作是由白噪声序列激励一个因果和稳定的线性时不变系统产生的输出）,信号合成,信号白化,一些预备知识: 2. 谱因子分解定理和广义平稳随机信号模型,任何平稳随机过程可以看作是一个稳定的因果线性系统在白噪声序列激励下的输出。 (2) 如果x(n)使用逆滤波器1/B(z)进行滤波，则输出为白噪声序列。 (3) 由于信号x(n)和白噪声由一个可逆的变换相互关联，可以相互求得，所以他们包含了同样的信息。,输入为白噪声，方差为,因果 IIR 维纳滤波器冲激响应为:,Stable, Causal.
7、The poles inside the unit circle.,3. 因果维纳IIR (白噪声作输入),功率谱分解定理,is causal and optimal,4.因果维纳IIR滤波器 -具有有理功率谱的输入信号,Given: 信号模型测量模型,其中，假设下面条件成立:,白噪声,1.6 维纳因果 IIR滤波器计算实例,Solution:,(1) 输入信号功率谱因式分解,分子:,Ricatti Equation,(2) 分解为因果和非因果部分,P为Ricatti Equation的正解。,(3) 计算因果IIR滤波器系统函数,f,G,P间的关系：,method for computing
8、 causal IIR Wiener filter,计算系统函数步骤,因式分解（谱分解定理）,(2) 分解为因果部分和非因果部分,(3) 计算系统函数,(4) 计算冲激响应（逆Z变换）,(5) 计算最小均方误差,回顾计算步骤,1.7 维纳预测器,预测，即使用当前及以往的数据对未来数据进行估计 如何使系统成为预测器而不是前面的滤波器？,1.7 维纳预测器,预测,滤波,因式分解（谱分解定理）,(2)分解为因果部分和非因果部分,(3) 计算系统函数,(4) 计算冲激响应: (inverse Z trans. ),(5) 计算最小均方误差,计算步骤,讨论,一个对于高斯信号的线性最小均方误差估计 一个去相关器 当下面条件满足时没有估计失真： 信号和噪声的频谱可以被一个线性滤波器分开 观察/测试信号是真实信号s(n)的线性变换 滤波器长度足够大。,Wiener Filters,
