1、线形结构:数据元素的逻辑位置之间呈线性关系，即每一个数据元素通常只有一个前驱（除第一个元素外）和一个后继（除最后一个元素外）。不管其存储方式（顺序和链式）如何.栈、队列 非线形结构:至少存在一个结点（数据元素）有多于一个前驱或后继的数据结构称为非线性结构。树、图,数据结构:,一、树的概念 1、树的定义树是一种常见的非线性的数据结构：树型结构。空树（不含结点）；非空树（至少一个结点）,树,树的递归定义如下：树是n(n=0)个结点的有限集，这个集合满足以下条件：有且仅有一个结点没有前驱（父亲结点），该结点称为树的根；除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前驱；除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根
2、上（否则有环）。这条路径由根开始，而未端就在该结点上，且除根以外，路径上的每一个结点都是前一个结点的后继（儿子结点）； 由上述定义可知，树结构没有封闭的回路。,思考：树中结点和边的关系,2、结点的分类 结点一般分成三类 根结点：没有父亲的结点。在树中有且仅有一个根结点。 分支结点：除根结点外，有孩子的结点称为分支结点。 叶结点：没有孩子的结点称为树叶。 根结点到每一个分支结点或叶结点的路径是唯一的。 从根A到结点M的唯一路径为ADHM。,3、树的度结点的度：一个结点的子树数目称为该结点的度。树的度：所有结点中最大的度称为该树的度(宽度）。,4、树的深度（高度）树是分层次的。结点所在的层次是从根
3、算起的。根结点在第一层，根的儿子在第二层，其余各层依次类推。图中的树共有4层。在树中，父结点在同一层的所有结点构成兄弟关系。树中最大的层次称为树的深度，亦称高度。图中树的深度为4。,1,2,3,4,5、森林所谓森林，是指若干棵互不相交的树的集合。如图去掉根结点A，其原来的三棵子树Tb，Tc，Td的集合Tb，Tc，Td就为森林，这三棵子树的具体形态如图（c）。,6、有序树和无序树按照树中同层结点是否保持有序性，可将树分为有序树和无序树。(1)如果树中同层结点从左而右排列，其次序不容互换，这样的树称为有序树；(2)如果同层结点的次序任意，这样的树称为无序树。,二、树的表示方法 树的表示方法一般有两
4、种：自然界的树形表示法：用结点和边表示树，例如下图采用的就是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。,优点:直观,形象;缺点:保存困难.,括号表示法：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树按由左而右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样方法处理：同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。例如下图可写成如下形式 (A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J) 优点:易于保存;缺点:不直观.,树的存储结构一般有两种 1、静态的记录数组。所有结点存储在一个数组中，数组元素为记录类型，包括数据域和长度为n(n 为树的度)的数组，分别存储该
5、结点的每一个儿子的下标 Const n=树的度； max=结点数的上限；Type node=record 结点类型data：datatype； 数据域child：array1n of integer； 指向各儿子的下标end； treetype=array1maxof node； Var tree：treetype； 树数组,三、存储结构,I data ch1m,2、动态的多重链表。由于树中结点可以有多个元素，所以可以用多重链表来描述比较方便。所谓多重链表，就是每个结点由数据域和n(n 为树的度)个指针域共n+1个域组成，其表示方法如下：Const n=树的度；Type treetype=no
6、de； 结点类型node=recorddata：datatype； 数据域next：array1n of treetype；指向各儿子的指针域end；Var root：treetype； 根结点指针,1、家族的统计一已知某个村子中人员关系，统计该村子中含有几个家族，并求出每个家族中的祖先的编号。输入： 第一行：n：该村子人的数量；（n=10000） 以下若干行：每行两个结点编号：i，j：i是j的父结点(I,j=1000)。 输出： 第一行：该村中家族的数量。 第二行：依次输出每个家族中祖先的编号（从小到大）。 样例输入： 9 1 2 2 3 4 6 4 5 7 8 9 1 9 4,四、简单的应
7、用举例:,输出： 2 7 9,分析： father:array110000 of integer; fatheri:记录i的父亲结点。 初始时：fatheri=0; 读入：i ，j 执行：fatherj:=i; 最后统计 fatheri=0的结点，即是老祖宗结点。 时间复杂度：O( n ),已知一个家族中各成员之间的关系，并知道其中有唯一的祖先。完成下列要求。,输入： 第一行：n（人数），m（关系数）。 以下m行；每行两个人x和y，表示y是x的儿子。 输出： 第一行：祖先（树根）：root。 第二行：儿子最多的成员max。 第三行：max的儿子。,样例输入： 8 7 4 1 4 2 1 3 1
8、 5 2 6 2 7 2 8,样例输出： 4 2 6 7 8,2、家族的统计二（treea.pas）,const maxn=100; typetreetype=recordfather:integer;父结点num:integer;儿子个数child:array1maxn of integer;end; vartree:array1maxn of treetype;n,m:integer;procedure init;var e,i,j,k,x,y:integer;beginassign(input,a.in);reset(input);fillchar(tree,sizeof(tree),0
9、);readln(n,m);for i:=1 to m dobeginreadln(x,y);treey.father:=x;inc(treex.num);treex.childtreex.num:=y;end;end;,function root:integer;var i:integer;beginfor i:=1 to n doif treei.father=0 thenbegin root:=i; exit; end;end;procedure find;var k,i,max:integer;begink:=1; max:=0;for i:=1 to n doif treei.num
10、max thenbegin k:=i; max:=treei.num; end;writeln(k);for i:=1 to max-1 do write(treek.childi, );writeln(treek.childmax);end; BEGINinit;writeln(root);find; END.,一、二叉树的理论知识 1、二叉树的定义:二叉树（binary tree）是每个结点最多有两个孩子，且其子树有左右之分的有序树。 二叉树的递归定义和基本形态二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空，或者满足以下条件： 有一个特定的结点称为根； 余下的结点分为互不相交的子集L和R，其中L
11、是根的左子树；R是根的右子树；L和R又是二叉树；,二叉树,二叉树和树的区别： 、树的每一个结点可以有任意多个孩子，而二叉树中每个结点的孩子数不能超过2； 、树的子树可以不分次序（除有序树外）；而二叉树的子树有左右之分。,2、下图列出二叉树的五种基本形态：,空二叉树,只有一个根,只有左孩子,只有右孩子,有左右孩子,3、二叉树的两个特殊形态 满二叉树： 如果一棵深度为K的二叉树，共有2K-1个结点，即第I层有2I-1的结点，称为满二叉树。(a) 完全二叉树：如果一棵二叉树最多只有最下面两层结点度数可以小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则称此二叉树为完全二叉树（例如下图(b
12、)）,(a),(b),4、二叉树的三个主要性质 性质1：在二叉树的第i（1）层上，最多有2i-1个结点 性质2：在深度为k(k1)的二叉树中最多有2k-1个结点。 性质3：在任何二叉树中，叶子结点数总比度为2的结点多1。 n0=n2+1 (设n0为二叉树的叶结点数；n2为二叉树中度为2的结点数),设n0为二叉树的叶结点数；n1为二叉树中度为1的结点数；n2为二叉树中度为2的结点数，显然n=n0+n1+n2 （1） 由于二叉树中除了根结点外，其余每个结点都有且仅有一个分支进入。设 b为二叉树的分支个数，n=b+1 （2） 所有这些分支同时又为度为1和度为2的结点发出的。因此又有b=n1+2n2
13、(3),（3）代入（2）得出 n=n0+n1+n2 (1) n=b+1 (2) b=n1+2n2 (3) n=n1+2n2+1 (4) 比较（1）和（4），得出n0=n2+1,即叶子数比度为2的结点数多1。,例题：如果一棵m度的树中有N1个度为1的顶点，N2个度为2的顶点，N3个度为3的顶点，Nm个度为m的顶点，求该树中叶子顶点个数。,分析：设叶子结点数为N0所有结点数为n，边数(分支）为b，则有：n=b+1 (1)又：n= N0+N1+N2+NM (2)b= N1+2N2+3N3+M*NM (3)(2),(3)代入（1）得出：N0 =N2+2N3+3N4+(M-1)NM+1,1、(NOIP9
14、)一个高度为h 的二叉树最小元素数目（ ）。 A） 2h+1 B） h C） 2h-1 D） 2h E） 2h-1 2、(NOIP8)按照二叉数的定义，具有3个结点的二叉树有（ ）种。A）3 B）4 C）5 D）63、(NOIP7).一棵二叉树的高度为h，所有结点的度为0，或为2，则此树最少有( )个结点A)2h-1 B)2h-1 C)2h+1 D)h+14、将一棵有100个结点的完全二叉树从根结点这一层开始，每一层从左到右依次对结点进行编号，根结点的编号为1，则编号为49的结点的左孩子的编号为 A 98 B 99 C 97 D 505、有n个结点并且其高度为n的二叉树的数目是 A、n B、
15、2n C、 2n-1 D、 2(n-1),B,C,B,A,D,6、 (NOIP8)设有一棵k叉树，其中只有度为0和k两种结点，设n 0 ，n k ，分别表示度为0和度为k的结点个数，试求出n 0 和n k之间的关系（n 0 = 数学表达式，数学表达式仅含n k 、k和数字）。,设结点总数为n，则： n=n0+nk 除了根结点外，其余每个结点都有且仅有一个分支进入: n-1=k*nk 所以：n0=(k-1)*nk+1,二、二叉树的存储结构 二叉树的存储结构有两种形式 、顺序存储结构 、链式存储结构,1、顺序存储结构将每个结点依次存放在一维数组中，用数组下标指示结点编号，编号的方法是从根结点开始编
16、号1，然后由左而右进行连续编号。每个结点的信息包括 一个数据域（data）； 三个指针域，其中有父结点编号（prt）、左儿子结点编号（lch）和右儿子结点编号（rch）。,Const m=树中结点数上限； Type node=record 结点类型data：datatype； 数据值prt，lch，rch：integer；父结点、左儿子、右儿子编号end；treetype=array1m of node； 二叉树的顺序表类型Var Tree：treetype； 二叉树,2、链式存储结构动态数据结构（指针）。由于二叉树中每个结点通常包括数据元素和两个分支。因此二叉树对应的二重链表中每个结点应有三
17、个域： 值域： data 左指针域： lch 右指针域： rch 这种链表也称为二叉链表。二叉链表头指针bt指向二叉树的根结点,例如用下图（b）所示的二叉链表存储二叉树（下图（a）,Typebitrpetr=bnode； 结点指针类型benode=record 结点类型data：datatype； 值域lch，rch：bitreptr； 左指针域和右指针域end；Varbt： bitreptr； 头指针,三、二叉树的遍历(访问)二叉树的遍历是指按照一定的顺序不重复地访问二叉树中的每一个结点。如果用L、D、R分别表示左子树、根结点、右子树，则有3种遍历方法：DLR、LDR、 LRD 这三种遍历规
18、则分别称为先（前）序遍历、中序遍历和后序遍历（以根为标准）。,1、先（根）序遍历： DLR 前序遍历的规则如下： 若二叉树为空，则退出；否则：访问处理根结点；前序遍历左子树；前序遍历右子树；a b d e h i c f g,2、中序遍历： LDR 中序遍历的规则如下：若二叉树为空，则退出；否则：中序遍历左子树；访问处理根结点；中序遍历右子树； 若中序遍历上图中的二叉树，可以得到如下的中序序列：d b h e i a f c g,3、后序遍历： LRD 后序遍历的规则如下：若二叉树为空，则退出；否则：后序遍历左子树；后序遍历右子树；访问处理根结点；若后序遍历上图中的二叉树，可以得到如下的后序序
19、列d h i e b f g c a,2）、写出二叉树后序遍历序列,1）、对二叉树从1进行连续编号，要求每个结点的编号大于其左右孩子的编号，同一结点的左右孩子中，其左孩子的编号小于其右孩子的 编号，则可以采取 次序的遍历方法。 A 先序 B中序 C后序 D从根开始的层次,A,1、编程实现：二叉树的遍历（tree1.pas） 建立二叉树，然后实现：输出先序遍历、中序遍历、后序遍历的结果。 输入：第一行：结点个数n。以下行：每行3个数，第一个是父亲，后两个依次为左右孩子。 输出：根及先、中、后序遍历结果。,样例输入： 8 1 2 4 2 0 0 4 8 0 3 1 5 5 6 0 6 0 7 8
20、0 0 7 0 0,样例输出： 3 3 1 2 4 8 5 6 7 2 1 8 4 3 6 7 5 2 8 4 1 7 6 5 3,const maxn=100; typetreetype=recordfather:integer;lch,rch:integer;end; vartree:array1maxn of treetype;n,m,t:integer;procedure init;var f,l,r,i:integer;beginassign(input,tree.in);reset(input);fillchar(tree,sizeof(tree),0);readln(n);for
21、 i:=1 to n dobeginreadln(f,l,r); treef.lch:=l； treef.rch:=r;if l0 then treel.father:=f;if r0 then treer.father:=f;end;end;,function root:integer;var i:integer;beginfor i:=1 to n doif treei.father=0 thenbeginroot:=i;exit;end;end;,方法： 数组顺序存储结构,procedure preorder(t:integer);beginif t0 thenbeginwrite(t,
22、 );preorder(treet.lch);preorder(treet.rch);end;end;procedure inorder(t:integer);beginif t0 thenbegininorder(treet.lch);write(t, );inorder(treet.rch);end;end;,procedure sucorder(t:integer);beginif t0 thenbeginsucorder(treet.lch);sucorder(treet.rch);write(t, );end;end; BEGINinit;t:=root;writeln(t);pre
23、order(t);writeln;inorder(t);writeln;sucorder(t); END.,2、二叉链表先序建立二叉树。(程序实现tree2.pas),用#表示空 输入序列：abd#eh#I#cf#g#,程序实现：写出二叉树的建立(先序)及遍历的递归算法。 program tree(input,output);type btlink=btnode;btnode=recorddata:char;lchild,rchild:btlink;end;var bt:btlink;,procedure precrt(var bt:btlink);var ch:char;beginread(
24、ch);if ch=# then bt:=nilelse beginnew(bt);bt.data:=ch;precrt(bt.lchild);precrt(bt.rchild);end;end;,procedure preorder(bt:btlink);beginif btnil thenbeginwrite(bt.data);preorder(bt.lchild);preorder(bt.rchild);end;end;,procedure inorder(bt:btlink);beginif btnil thenbegininorder(bt.lchild);write(bt.data
25、);inorder(bt.rchild);end;end;,procedure sucorder(bt:btlink);beginif btnil thenbeginsucorder(bt.lchild);sucorder(bt.rchild);write(bt.data);end;end;,beginprecrt(bt);preorder(bt);writeln;inorder(bt);writeln;sucorder(bt);end.,遍历算法的简单变化： 1)设计算法按照从左向右的顺序输出二叉树的叶子结点。,procedure ye(bt:btlink);beginif btnil th
26、enbeginif (bt.lchild=nil)and(bt.rchild=nil) then write(bt.data);ye(bt.lchild);ye(bt.rchild);end;end;,2)设计算法求二叉树中的结点数。,procedure sum(bt:btlink);beginif btnil thenbeginn:=n+1;sum(bt.lchild);sum(bt.rchild);end;end;,3）设计算法求二叉树中度为2的结点数。,procedure sum2(bt:btlink);beginif btnil thenbeginif (bt.lchildnil)an
27、d(bt.rchildnil) then m:=m+1;sum2(bt.lchild);sum2(bt.rchild);end;end;,4）设计算法求二叉树的深度。,function high(bt:btlink):integer;var a,b:integer;beginif bt=nil then high:=0 elsebegina:=high(bt.lchild);b:=high(bt.rchild);if ab then high:=a+1 else high:=b+1;end; end;,3、树的公共祖先： 给定一棵二叉树和两个不同的节点，求出他们最近的公共祖先父节点。已知该二叉
28、树有n个节点，标号1n。(n100) 输入： 第一行两个整数x，y，表示需要计算的节点； 以下若干行，每行两个整数a和b，表示a的父节点是b。 输出： X与y的最近公共祖先root。,输入样例： 9 7 2 1 3 2 4 2 5 3 8 5 9 5 6 4 7 4,输出样例： 2,const maxn=100; varfather,a:array1maxn of integer;x,y:integer;procedure init;var a,b:integer;beginassign(input,treeaaa5.in);reset(input);readln(x,y);while not
29、 eof dobeginreadln(a,b);fathera:=b;end;close(input);end;,procedure find1;var i,j:integer;begini:=x;while i0 dobeginai:=1;i:=fatheri;end;j:=y;while aj1 doj:=fatherj;writeln(j);end; BEGINinit;find1; END.,4、树的路径 给定一棵二叉树和两个不同的节点，求出他们最近的公共祖先父节点。已知该二叉树有n个节点，标号1n。(n100) 输入： 第一行两个整数x，y，表示需要求的节点； 以下若干行，每行两个整
30、数a和b，表示a的父节点是b。 输出： X到y的路径。,输入样例： 9 7 2 1 3 2 4 2 5 3 8 5 9 5 6 4 7 4,输出样例： 9 5 3 2 4 7,const maxn=100; varfather,a,b,c:array1maxn of integer;x,y,root:integer;procedure init;var a,b:integer;beginassign(input,treeaaa4.in);reset(input);readln(x,y);while not eof dobeginreadln(a,b);fathera:=b;end;close(
31、input);end;,procedure find1;var i,j:integer;begini:=x;while i0 dobeginai:=1;i:=fatheri;end;j:=y;while aj1 doj:=fatherj;root:=j;writeln(root);end;,procedure find2;var i,j,k:integer;begini:=0;while xroot do begininc(i);bi:=x;x:=fatherx;end;inc(i); bi:=root; j:=0;while yroot do begininc(j);cj:=y;y:=fat
32、hery;end;for k:=1 to i do write(bk, );for k:=j downto 1 do write(ck, );end;,BEGINinit;find1;find2; END.,四、由二叉树的两种遍历顺序确定树结构 遍历二叉树（如下图）有三种规则： 前序遍历：根左子树右子树；中序遍历：左子树根右子树；后序遍历：左子树右子树根；,结论： 1、已知先序和中序可以确定二叉树 2、已知后序和中序可以确定二叉树例： 先序: abdecf 中序: dbeafc 画出二叉树，写出后序遍历的结果。,2、(NOIP7)已知一棵二叉树的结点名为大写英文字母。 中序遍历： CBGEAF
33、HDIJ 后序遍历：CGEBHFJIDA 则该二叉树的先序遍历的顺序为：,3、中序遍历：DBGEACHFI 后序遍历：DGEBHIFCA 求先序遍历结果,4、(NOIP6)已知，按中序遍历二叉树的结果为：abc 问：有多少种不同形态的二叉树可以得到这一遍历结果，并画出这些二叉树。,1、给出一棵二叉树的 先序遍历：ABCDEFGH 中序遍历：CBEDAGHF 画出此二叉树并写出后序遍历结果。,【例题1】根据两种遍历顺序确定树结构 输入： 二叉树的前序遍历顺序与中序遍历顺序 输出：二叉树的后序遍历顺序 样例： 输入： ABCDEFGH CBEDAGHF 输出： CEDBHGFA,/算法1 var
34、sx,sz:string; procedure work(sx,sz:string);var l,k:integer;beginif sx thenbeginl:=length(sx);k:=pos(sx1,sz);work(copy(sx,2,k-1),copy(sz,1,k-1);work(copy(sx,k+1,l-k),copy(sz,k+1,l-k);write(sx1);end;end; beginreadln(sx);readln(sz);work(sx,sz); end.,/算法2 function work(sx,sz:string):string;var l,k:integ
35、er; left,right:string;beginif sx= then exit() elsebeginl:=length(sx);k:=pos(sx1,sz);left:=work(copy(sx,2,k-1),copy(sz,1,k-1);right:=work(copy(sx,k+1,l-k),copy(sz,k+1,l-k);work:=left+right+sx1;end;end;,Writeln(work(sx,sz);,石子合并问题有n堆石子,每堆有一个重量,每次任选2堆石子合并成1堆,付出的代价为这两堆石子的重量之和,如果把这n堆石子最后合并成1堆石子,怎样合并才能使付出
36、的代价最小,求出最小的代价.,五、最优二叉树(哈夫曼树),显然图(D)所示的合并方法付出的代价最小:54,例如n=5,重量 分别为7、5、2、4、6。,(D) L=6+11+13+24=54 =5*2+2*3+4*3+6*2+7*2=54,1、最优二叉树的定义在具有n个带权叶结点的二叉树中，使所有叶结点的带权路径长度之和（即二叉树的带权路径长度）为最小的二叉树，称为最优二叉树（又称最优搜索树或哈夫曼树），即最优二叉树使达到最小。 wk第k个叶结点的权值； pk第k个叶结点的带权路径长度：第k个结点被合并的次数）,2、最优二叉树的构造方法假定给出n个结点ki(i=1n)，其权值分别为wi(i=1
37、n)。要构造以此n个结点为叶结点的最优二叉树，其构造方法如下：首先，将给定的n个结点构成n棵二叉树的集合F=T1，T2，Tn。其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为wi的根结点ki，其左、右子树均为空。然后做以下两步在F中选取根结点权值最小的两棵二叉树作为左右子树，构造一棵新的二叉树，并且置新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和；在F中删除这两棵二叉树，同时将新得到的二叉树加入F中； 重复、，直到在F中只含有一棵二叉树为止。这棵二叉树便是最优二叉树。以上构造最优二叉树的方法称为哈夫曼（huffmann）算法。,例如：给定五个结点，其权值分别为23 、16、2、18、16。 构造最优
38、二叉树的过程如下： 构造初始集合F，F中各二叉树根结点的权值分别为 23、16，2，18，16（如下图）：,16,18,2,16,23,16,18,2,16,23,23*2+16*3+2*3+18*2+16*2=168,构造费用(生成n-1 个结点的和)=18+34+41+75=168,哈夫曼树带权路径的长度=构造费用,合并石子小Ray在河边玩耍，无意中发现一些很漂亮的石子堆，于是他决定把这些石子搬回家。河滩上共有 n堆石子，小Ray在把石子搬回家之前首先要把这n堆石子合并为一堆石子。已知小Ray每次可以选择其中的两堆石子合并为一堆，合并一次石子他要消耗的体力是两堆石子的数量和。 请计算小Ra
39、y把n堆石子合并成一堆最少消耗的体力值是多少。 【输入：】 第一行：n（=30000）. 第二行：那个用空格隔开的数，分别表示n堆石子的数量。 【输出：】 n堆石子合并成一堆所消耗的最小体力值。 说明:分别用队列和堆两种算法实现。 【样例输入：】 3 1 2 4 【样例输出：】 10,在最优二叉树中非叶结点的度均为2，因此采用顺序存储结构为宜。如果带权叶结点数为n个，则最优二叉树的结点数为2n-1个。 由此得出最优二叉树的数据类型定义 Maxn=30000; n=叶结点数的上限；m=2*n-1； 最优二叉树的结点数Typenode=record 结点类型data： integer； 权值prt
40、，lch，rch：longint;父指针、左、右指针和路径长度end； Vara：array1maxn of longint； 其中a 1n为叶结点，a n+12n-1为中间结点，根为a 2n-1,算法一(hafuman.pas),procedure creat;/创建哈夫曼树var i,j,k:longint;beginsum:=0; /费用m:=2*n-1;for k:=n+1 to m dobegini:=findmin(k-1); ak.lch:=i; ai.prt:=k;j:=findmin(k-1); ak.rch:=j; aj.prt:=k;ak.data:=ai.data+aj
41、.data;sum:=sum+ak.data;end;end;,function findmin(k:longint):longint;/ 在前k个街道中找最小的结点，父结点为0var min,i:longint;beginmin:=maxlongint;for i:=1 to k doif (ai.datamin)and(ai.prt=0) thenbegin min:=ai.data; findmin:=i; end;end;,Sum是所求的费用,时间复杂度： O( n2 ) ，无法完成n=3000,算法二（stone.pas）,设置两个队列：a，b 队列a：保存初始的n个叶结点，从小到大
42、排序。 队列b: 依次放生成的新结点，递增的。 生成结点过程： Mindata=minaopena+aopena+1;bopenb+bopenb+1;aopen+bopen Inc(closedb); Bclosedb=mindata;,采用快速排序；时间复杂度：O（n*long(n) ） 合并的时间复杂度：O（n） 总的时间复杂度：O（ n*long(n) ）,3、哈夫曼编码 使用频率高的采用短的的编码,则总的编码长度便可减少.,例如:在某通讯中只使用abcd四种字符,其出现频率分别为:0.4,0.3,0.2,0.1。请进行哈夫曼编码。使通讯码尽可能的短 并写出信息：bbdaac的编码。,1
43、）.给定一个整数集合3，5，6，9，12，下列二叉树哪个是该整数集合对应的霍夫曼（Huffman）树。 （ ）,2）、已知如图所示的哈夫曼树，那么电文CDAA的编码是 A 110100 B 11011100 C 010110111 D 11111100,3）、若以4，5，6，7,8作为叶子结点的权值构造哈夫曼树，则其带权路径长度是 A 、69 B、 70 C 、 73 D、 68,C,B,A,4）(NOIP6)在有N个叶子节点的哈夫曼树中，其节点总数为（ ） A.不确定 B. 2N-1 C. 2N+1 D. 2N,B,六、树、森林转换成二叉树 1、普通有序树转换成二叉树 普通树为有序树T，将其转化成二叉树T的规则如下：将有序树T中每个结点X的第一个孩子结点转化为二叉树T中对应X的左孩子L，原树T中结点X的第二个孩子转化为二叉树T中L的右孩子R1，原树T中结点X的第三个孩子转化为二叉树T中R1的右孩子R2，依次类推。,转化后的二叉树根结点无右孩子,2、森林转换成二叉树 森林转换成二叉树的方法为将森林中的每棵树转换成相应的二叉树；将各棵树的根相连；以第一棵树为轴心，顺时针粗略地旋转900；,
