1、,习题一3.设A,B为两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,问 (1)在什么条件下,P(AB)取到最大值,最大值是多少? (2)在什么条件下,P(AB)取到最小值,最小值是多少?,A,B,AB,B,A,一、等可能概型,二、几何概率,第四节 等可能概型（古典概型）,一、等可能概型（古典概型）,1. 定义,例1. 掷一钱币. S=H, T , N(S)=2特点:(1)2个事件出现的机会均等.(2)2个事件以外没有了.(3)每次试验,2个事件只出现1个.,例2. 掷一骰子. S=1,2,3,4,5,6, N(S)=6特点:(1)6个事件出现的机会均等.(2) 6个事件以外没有了.(3)每次试
2、验, 6个事件只出现1个.,例3.袋中有五个球,三红,记作1,2,3;二白,记作(4),(5)任取二球,共有多少种可能结果?S=12, 13, 1(4), 1(5), 23, 2(4), 2(5), 3(4), 3(5), (4)(5) N(S)=10 特点:(1)10个事件出现的机会均等.(2)10个事件以外没有了.(3)每次试验,10个事件只出现1个.,设试验E的样本空间由n个样本点构成,A为 E的任意一个事件 , 且包含 m 个样本点,则事件 A出现的概率记为:,2.古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,3.古典概型的基本模型之一摸球模型,(1) 无放回地摸球,问题1 设
3、袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中 无放回地摸二次,每次摸出1只球,求这2只球都是白球 的概率.,解,基本事件总数为n=,A所包含基本事件的个数为m=,(2) 有放回地摸球,问题1(改) 设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋 中有放回地摸球2次,每次摸出1只球,求这2只球都 是白球的概率.,解,基本事件总数为n=66,A所包含基本事件的个数为m=44,问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求:前2 次摸到黑球,第3 次摸到红球的概率?,分析,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,第3次摸到红球,4种,(2) 有放回地摸球,摸球模型的应用,骰子问题 掷3颗均匀骰子,求 1)点数
4、之和为4的概率. 2)点数之和不超过4的概率. 解:设A=“点数之和为4”, B=“点数之和不超过4”,古典概型的基本模型之二-盒子模型又称球放入杯子模型,(1)杯子容量无限,问题1 把4个球放到3个杯子中去,求第1、2 个杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子 可放任意多个球. 分析:每个球放到3个杯子的任一个,有3种放法.,4个球放到3个杯子的所有放法 即:基本事件总数,设A=“第1、2个杯子中各有两个球”, A所含基本事件个数 因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为,(2) 每个杯子只能放一个球,问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子 只能放一个球,求第1至第4个杯子各放一个球
5、的 概率.,解,第1至第4个杯子各放一个球的概率为,模型的应用,分房问题 将甲、乙、丙3人等可能地分配到3间房中去,每间房人数不限,试求每个房间恰有1人的概率.,生日问题 某班有20个学生都是同一年出 生的, 求有10 个学生生日是1月1日、另外10 个 学生生日是12月31日的概率.,解,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,例1 设有N 件产品,其中有D件次品 ,今从中任 取n件,问其中恰有 件次品的概率是多 少?,在N件产品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法 共有,于是所求的概率为,例2 在12000的整数中随机地取一个数,问取到 的整数既不能被6整除 ,又不能被8整除的概率是 多少?
6、,解 设A =“取到的数能被6整除”, B=“取到的数能被8整除”, 则所求概率为,故所求概率为,设A =“取到的数能被6除”, B=“取到的数能被8整除”,解,（1）总的选法种数为,最小号码为5的选法种数为,故最小号码为5的概率为,（2）最大号码为5的选法种数为,故最大号码为5的概率为,例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已 知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的， 问是否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站的接待时间没有规定,且各来 访者在一周的任一天中去接待站是等可能的,基本事件总数 n=712 设A=“12次接待来访者都是在周二、周四”A所包含基本事件数 m=212
7、则12次接待来访者都是在周二、周四的概率为,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的， 从而可知接待时间是有规定的.,解,例6. 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.,设A=“至少有2人生日相同” 64个人生日各不相同的概率为,故64 个人中至少有2人生日相同的概率为,解,即:有无限多个结果，而又有等可能性的场合，可用几何方法来解决。,古典概型要求样本空间具有有限性与等可能性，这两个性质使我们成功地解决了古典概率的定义和计算问题。其中等可能性更重要，它使问题得到简化。因此人们想在保留等可能性的前提下,取消“有限性”的限
8、制。,二.几何概型,3. 设事件A是S的某个区域,它的面积为SA,则向区域S上随机投掷一点,该点落在区域A的概率可定义为4.假定样本空间S可用一线段或空中某个区域表示,并且向S上随机投掷一点的含义如前,则事件A的概率仍可用 确定,只不过把S, SA理解为长度或体积即可.,几何方法的要点:1.设样本空间S是平面上某个区域,它的面积记为S,2.向区域S上随机投掷一点,其含义是指该点落入S内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例,而与这部分区域的位置和形状无关.,二、几何概率,定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且 任意一点落在度量（长度, 面积, 体积）相同的 子区域是等可能的,则事
9、件A的概率可定义为,（其中S是样本空间的度量， 是构成事件A的子区域的度量）这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几何概率.,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.,例1 甲、乙两人相约在7:00 到8:00这段时间内, 在某地点会面. 先到的人等候另一个人20分钟 , 过时离去.设每人在7:00到8:00这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求:甲、乙两人能会面的概率.解.设A=“两人能会面”,求P(A),（在规定时间内到达规定地点是等可能的） 设x=“甲到达的时刻” 0x60 y=“乙到达的时刻” 0y60 样本空间S就是正方形，基本事
10、件就是正方形内的无穷多点,相当于面积 S=60 设A=“两人能会面” 能会面|x-y|20,即 -20x-y20, x-20yx+20, 即: 若甲先到，则y-x20，yx+20. 若乙先到，则x-y20，yx20.,解（1）假设：圆周长为100cm，阴影部分位于圆周上每一弧长为2cm，则指针落在阴影上的概率,即:参加一次游戏不用花钱的概率为4%,说明: 参加此游戏的人 得奖的概率很小。 从平均意义上说：,大约需转动25次,花费25元,才有可能得1次1元奖。 大约需转动625次,花费625元,才可能得1次10元奖。 大约需转动15625次,花费15625元,才可能得1次100元奖。 大约需转动
11、39万多次,花费390625元。才可能得1次500元奖。 由小概率原理可知,只参加一次游戏,几乎不可能得奖。,小结,最简单的随机现象,古典概型 几何概型,古典概率 几何概率,三、全概率公式,四、逆概率公式,第五节 条 件 概 率,一、条件概率,二、乘法定理,一、条件概率 例1:盒中有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的，木质球中3个是红色的，7个是蓝色的。现从中任取一球.求：P(蓝色球)P(玻璃球) P(蓝玻璃球),解：,改题 已知取到蓝色球,求它是玻璃球的概率 已知取到玻璃球,求它是蓝色球的概率,解:(1),(2),设:A=“取到蓝色球”B=“取到
12、玻璃球”,1.定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，称,是A发生的条件下，B发生的条件概率,同理 P(B)0，称,是B发生的条件下，A发生的条件概率,2.如何求条件概率P(B|A)方法一，从定义出发 即：在原来的样本空间S中先算出 P(AB)、P(A)，再求P(B|A).方法二，从缩减的样本空间SA中来 计算B发生的概率 .,如引例1.求P(玻璃|蓝色),方法一,方法二,例2 将一枚均匀的钱币掷两次，观察其出现正、反面的情况， 设： A=“至少有一次出现反面”B=“两次抛出同一面” 求P(B|A)， P(A|B),S=HH，HT，TH，TT N(S)=4 A=HT，TH，TT N(A)=3
13、B=HH，TT N(B)=2 AB=TT N(AB)=1,设： A=“至少有一次出现反面”, B=“两次抛出同一面”. 解法一(从定义出发),设H=“正面” T=“反面”,解法二 (从缩减的样本空间中求),S=HH，HT，TH，TT N(S)=4 A=HT，TH，TT N(A)=3 B=HH，TT N(B)=2 AB=TT N(AB)=1,3. 性质,例3.某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个20岁的这种动物，问：它能活到25岁以上的概率是多少?解：设A=“能活20岁以上”B=“能活25岁以上” 求,解：设A=“能活20岁以上”B=“能活25
14、岁以上”,求,P(A)=0.8，P(B)=0.4， BA B=AB , P(AB)=P(B),二.乘法定理,推广 三事件A、B、C乘积的概率的乘法公式,P(ABC)=P(A)P(B|A) P(C|AB)(3),PABC=P(AB)C=P(AB) P(C|AB),=P(A) P(B|A) P(C|AB),公式(3)是三事件A、B、C乘积的概率的 乘法公式,n个事件A1，A2，An乘积的概率的乘法公式,P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)有限个事件乘积的概率等于这些事件概率的乘积，其中每一事件的概率是在它前面一切事件都已发生的条件下的条件概率,
