1、14.4 万有引力与天体运动一、考点聚焦12万有引力定律 21万有引力定律的应用人造地球卫星的运动（限于圆轨道） 22宇宙速度 二、知识扫描1万有引力定律：（1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比（2）表达式： r 为两质点或球心间的距离；G 为万有引力恒量（1798 年由英国物理21mF学家卡文迪许利用扭秤装置测出） 21/067.kgmN（3）适用条件：适用于两个质点或均匀球体2万有引力定律的应用（1）行星表面物体的重力：重力近似等于万有引力（2）重力加速度：表面重力加速度： 202RGMgmRG轨道上的重力加速度：
2、 22hh3天体的运动（1）运动模型：天体运动可看成是匀速圆周运动 其引力全部提供向心力（2）人造地球卫星：由 可得： r 越大，v 越小22rvmMGGM由 可得： r 越大， 越小23由 可得： r 越大，T 越大rTr222由 可得： r 越大，a 向 越小向maMG2 2GM向4宇宙速度（1）第一宇宙速度：v=7.9km/s可理解成：是发射卫星进入最低轨道所必须具有的最小速度是卫星进入轨道正常运转的最大环2绕速度，即所有卫星的环绕速度均小于 7.9km/s（2）第二宇宙速度：v=11.2km/s（3）第三宇宙速度：v=16.7km/s三、好题精析例 1从地球上发射的两颗人造地球卫星 A
3、 和 B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为 RARB=41，求它们的线速度大小之比下面是某同学的一种解法，请判断其解法是否正确若是正确的，请你作出评价；若是错误的，请分析其出错的原因并给出正确的解答解：卫星绕地球作匀速圆周运动所需的向心力 F 向 =mg=m Rv2设 A，B 两颗卫星的质量分别为 mA、m B，则mAg=mA Rv2mBg=mB 2由、得 = 2BAvR124BARv解析这种解法不对错在没有考虑重力加速度与高度有关根据万有引力定律知道：mAgA=G (1)2AM地mBgB=G 2BR地由(1)/得， gA= gB162BA16可见，该同学把 A、B 两卫星的重力加速度 gA，
4、g B 当作相同的 g 来处理是不对的正确解答：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有G =mA 2RM地 v2G =mB 2地23由/，得 = 2BAvR21ABRv点评物体的重力和地球对该物体的万有引力可认为相等，由此可计算出重力加速度的值，由结果可知，随着物体位置的提高，重力加速度随之减小，物体置于高度不同的位置，它的重力要发生变化例 2在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星它们围绕两球连线上的某一点作圆周运动由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变已知两星质量分别为 M1 和 M2，相距 L，求它们的角速度解：如图 4-4-1 所示，设 M1 的轨
5、道半径为 r1，M 2 的轨道半径为 r2，由于两星绕 O 点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为 ，根据牛顿第二定律有：而2121GrL212GrL12rL以上三式联立解得： 12()点评：双星之间的万有引力是一对相互作用力，分别提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们能在引力作用下不相互靠近而保持距离不变，且角速度相同；这类双星模型在列方程时要注意：用万有引力定律时两颗星之间的距离与向心加速度中星球作匀速圆周运动的轨道半径不等例 3某星球自转的周期为 T，在它的两极处用弹簧秤称得某物重为 W，在赤道上称得该物重为W，求该星球的平均密度 解析在星球的两极物体受星球的引力与弹簧的弹力作用，因该处
6、的物体无圆运动，处于静止状态，有 FGMmR引 2又 ，代入式后整理得 V4334GRm在星球赤道处，物体受星球的引力与弹簧的弹力作用，物体随星球自转做圆运动，所以FWmTR引 2又 引FWT2 整理后得： R()24 32WG()点评题目中弹簧秤称得物重 W 与 W，实质上是弹簧秤的读数，即弹簧的弹力，它不一定等于万有引力，另外还要判断出物体在两极和赤道处的意义，才能想到用牛顿第二定律列方程，因此做题时正确地阅读题目弄清它的物理含义对解题十分重要例 4如图 4-4-2 所示为宇宙中有一个恒星系的示意图， A 为该星系的一颗行星，它绕中央恒星 O 运M1 M2O图 4-4-14行轨道近似为圆，
7、天文学家观测得到 A 行星运动的轨道半径为 R0，周期为 T0（1）中央恒星 O 的质量是多大？（2）长期观测发现，A 行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔 t0 时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是 A 行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行轨道与 A 在同一平面内，且与 A 的绕行方向相同） ，它对 A 行星的万有引力引起 A 轨道的偏离根据上述现象及假设，你能对未知行星 B 的运动得到哪些定量的预测解析（1）设中央恒星质量为 M，A 行星质量为 m，则有 解得： 0220)(RTmG2034GTR（2）如图 4-4-3 所示，由题意可知：
8、 A、B 相距最近时， B 对 A 的影响最大，且 每隔 t0 时间相距最近设 B 行星周期为 TB，则有：10Tt解得： 0tB该 B 行星的质量为 m，运动的轨道半径为 RB，则有BRTMG22)(由、可得： 3200)(TtB点评本题的难点是运动模型的建立，A、B 相距最近时， B 对 A 的影响最大是一个重要的隐含条件，在时间 t0 内 A、B 运动的物理量间的关系是列方程的一个重要依据，做这种题型时要注意认真读题，挖掘出这些条件本题中根据周期可求出角速度；根据 B 行星运动的半径可求出 B 行星的线速度和向心加速度例 5某网站报道：最近南亚某国发射了一颗人造环月卫星，卫星的质量为 1
9、000kg，环绕周期为1h一位同学对新闻的真实性感到怀疑，他认为，一是该国的航天技术与先进国家相比还有差距，近期不可能发射出环月卫星；再是该网站公布的数据似乎也有问题，他准备用所学知识对该数据进行验证他记不清引力恒量的数值且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径约为地球半径的 ，地球41半径为 6400km，月球表面重力加速度约为地球表面的 ，地球表面的重力加速度可取 2s/m0，他61由上述这些数据经过推导分析，进一步认定该新闻不真实图 4-4-3A O图 4-4-2A O5请你也根据上述数据，运用物理学的知识，写出推导判断过程解析设月球的质量为 M，半径为 r0，卫星的质量为 m，环绕周期
10、为 T，半径为 r，有=m 2r 得 T=2 （1 ）rmrG22)(GMr3在月球表面，有 G =mg 月 得 GM=g 月 r20r20代入（1）式，得 T=2 （2）03月由（2）可知，卫星轨道半径 r 越小，周期 T 则越短，取 r=r0，周期有最小值 TminTmin=2 （3）月g0据题意，r 地 =4r0，g 地 =6g 月 代入（3）式，得T min=2 =2 6/4地地 地地r2T min=2 =23.14 S=6000s=1.7h地地gr3104.63由于环月卫星的周期至少要 1.7h，远大于新闻中环月卫星周期 1h，所以新闻报道中数据有误点评本题牵涉到两颗星球的两颗卫星，
11、由题意，应根据人造环月卫星的周期判断新闻是否真实由于它们的运动模型相同，因而只要研究其中的一个列方程求出通式，再用比值法就很容易地求出人造环月卫星的周期的特点，为判断提供证据四、变式迁移1人造地球卫星的轨道可以是这样的（ ）A与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆B与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆C与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的2如图 4-4-4 所示，离质量为 M、半径为 R、密度均匀的球体表面 R 远处有一质量为 m 的质点，此时 M 对 m 的万有引力大小为 F1，当从 M 中挖
12、去一半径为 r=R/2 的球体时，剩下部分对 m 的万有引力为 F2，求 F1 与 F2 的比值设想把物体放到地球的中心，则此物体此时与地球间的万有引力是多少？mRM图 4-4-46五、能力突破1卡文迪许巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里测出了万有引力恒量的数值，在他的实验装置中，下列哪些措施是为了测量极小的引力而采取的？（ ）A将测量力变为测量力矩B使固定小球的质量尽可能大些C用镜尺法显示扭秤的偏转情况D把实验装置放在恒温箱内2下列说法中正确的是（ ）A因 F=m 2r，所以人造地球卫星轨道半径增大到 2 倍时，向心力将增大到 2 倍B因 F=mv2/r，所以人造地球卫星轨道半径增大到 2
13、 倍时，向心力将减小到原来的 1/2C因 F=GMm/r2，所以人造地球卫星轨道半径增大到 2 倍时，向心力减小为原来的 1/4D仅知道卫星轨道半径变化，无法确定向心力的变化3在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说” ，这种学说认为万有引力常量 G 在缓慢减小根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比（ ）A公转半径 R 较大 B公转周期 T 较小C公转速率 v 较大 D公转角速度 较小4已知第一宇宙速度为 7.90 千米/秒，如果一颗人造卫星距地面的高度为 3 倍的地球半径，它的环绕速度是（ ）A7.90km/s B3.95 km/sC1.98km/s D
14、由于卫星质量不知，所以不能确定5如果有一星球的密度跟地球的密度相同，又已知它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 2倍，则该星球质量与地球质量之比是（ ）A B2 C8 D21 816利用下列哪组数据，可以计算出地球质量（ ）A已知地球半径和地面重力加速度B已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期C已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量D已知同步卫星离地面高度和地球自转周期7地球的公转周期和公转轨道半径分别为 T 和 R；月球的公转周期和公转轨道半径分别为 t 和 r，则太阳质量与地球质量之比为（ ）A B C DtRTr32RtrT32rttrT278地球半径 R=6400km，
15、地面上的重力加速度 g=9.8m/s2，地核的体积约为整个地球体积的 16%，地核的质量约为地球质量的 34%试估算地核的平均密度( 结果取两位有效数字)9两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动地球半径为 R，a 卫星离地面的高度等于 R，b卫星离地面高度为 3R则（1）a、b 两卫星周期之比为 TaT b 是多少？（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则 a 至少经过多少个周期两卫星相距最远？102003 年 10 月 15 日，我国成功发射了“神舟”五号载人宇宙飞船火箭全长 583m，起飞质量为 479.8t，刚起飞时，火箭竖直升空，航天员杨利伟有较强的超重感，仪器显示他对座舱的最大压力达到他体重的 5 倍飞船进入轨道后，21h 内环绕地球飞行了 14 圈，将飞船运行的轨道简化为圆形求点火发射时，火箭的最大推力 （g 取 10m/s2）飞船运行轨道与同步卫星的轨道半径之比
