1、第二章 单自由度系统,本章主要内容 1无阻尼自由振动 2能量法 3. 有阻尼自由振动 4. 简谐激励作用下的强迫振动 5. 简谐激励强迫振动理论的应用 6. 非简谐激励作用下的系统响应,本章重点与难点 1. 建立无阻尼自由振动运动方程、求解 2. 能量法 3. 简谐激励作用下的强迫振动运动方程、求解 4简谐激励强迫振动理论的应用 5非周期激励作用下的系统响应,2.1概述,1单自由度系统理论模型2叠加原理 几个激励函数共同作用产生的总响应是各个响应函数的总和。,2.2无阻尼自由振动,一物理模型,二、数学模型,三方程求解,令 ，代入运动方程，得,设,方程的解取决于,（系统的特征方程 或频率方程）,
2、，,（系统的特征值或固有值）,方程特解,，,通解,应为共轭复数,所以,则,对于确定的初始条件，单自由度无阻尼自由振动的通解为,1、线性系统自由振动振幅的大小，只决定于初始条件和系统本身的固有频率,2、线性系统自由振动的频率，只决定于系统本身参 数与初始条件无关，叫系统的固有频率或无阻尼固有 频率。,结论：,2.3能量法,系统的动能T与势能U之和称为系统的机械能。在没有阻尼的情形下，系统没有能量损失，机械能将守恒，即,常量,应用上式可得到系统的运动方程和固有频率。,某一时刻,位移为,，速度为,，,当系统的动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大。若把势能的基点取为平衡位置，则该点的势能为零，
3、为最小值，动能为最大。而在速度为零的一点上，动能为零，势能最大。动能和势能的最大值相等，即这一关系是求无阻尼振动系统固有频率的重要准则。,例：如图所示系统作简谐振动，求系统的固有频率 （答案）,例：如图所示，质量为 ，半径为 的圆柱体，在半径为 的圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。,2.4有阻尼自由振动,阻尼产生的根源有多种，不同的来源产生的阻尼力其变化规律也不相同。常见是一种粘性阻尼，其阻尼力与物体运动速度大小成正比，方向与速度方向相反。,一物理模型,二数学模型,三方程求解,设,代入有阻尼自由振动方程式，得系统的特征方程或 频率方程,方程的两个根（特征值或固
4、有值）,方程的通解,由施加于系统的初始条件确定。,特征值,取决于,当其为零时，有,临界阻尼系数,阻尼比,利用系统的阻尼比和无阻尼固有频率可以将有阻尼自由振动方程写为,有三种可能情形：,1,或,（欠阻尼或弱阻尼）,2,或,（临界阻尼）,3,或,（ 大阻尼）,2.5 简谐激励作用下的强迫振动,一简谐激励力作用下的强迫振动,1物理模型,2数学模型,3方程求解,方程的通解由两部分构成：对应的齐次方程的通解和非齐次该方程的一个特解。,对于欠阻尼系统，齐次方程的通解为,方程的特解为,方程的解,结论：,1.系统发生的运动是频率为 的简谐振动 和频率为 的简谐振动 的组合运动；2.由于阻尼的存在， 和 的合成
5、运动也只在有限的时间内存在，这一振动过程叫做瞬态振动或过渡过程 3.系统持续的振动只有与外激励力有关的响应 ，叫做稳态振动、稳态响应或强迫振动。,在谈到强迫振动时，通常都是指稳态响应， 系统稳态响应的表达式为,在简谐激励力的作用下，系统将产生一个与激励力相同频率的简谐振动，但滞后一个相角 。这是线性振动理论的一个重要结果。,强迫振动的性质和特点：,1. 强迫振动的振幅和相角与初始条件无关，只决定于构成系统的物理参数和激励力的特点。 2. 强迫振动的振幅,放大因子随频率比变化的曲线,阻尼对振幅的影响很小,阻尼对振幅的影响很小,当系统中存在阻尼时，振幅是有 限的，其出现最大值时的频率为,3强迫振动
6、和激励力之间的相位差,相位差随频率比变化的曲线,二旋转不平衡质量引起的强迫振动,1物理模型,2数学模型,3方程求解,放大因子,放大因子和相位差与频率比的关系曲线,当转速继续增加直到机器的振幅达 到稳定状态，测得此时的振幅为,系统产生共振,（1）试求系统的阻尼比,（2）若,求当转速,时机器的振动幅值。,三基础运动引起的强迫振动,1物理模型,2数学模型,3方程求解,放大因子,放大因子和相位差与频率比的关系曲线,与,无关。,满载时为,空载时为,满载时其相对阻尼比,道路简化为简谐波形，表示为,，,求汽车的拖车在满载和空载时的振幅之比。,2.6简谐激励强迫振动理论的应用,减振措施：1抑制振源强度2消振3
7、隔振,一积极隔振,积极隔振是把振源与地基隔离开来以减小它对 周围的影响而采取的措施。,1.物理模型,2.评价指标,经弹簧传递给地基的力,经阻尼传递给地基的力,传递地基的力的最大值或振幅,评价积极隔振效果的指标是力传递系数,二消极隔振,消极隔振是为了减少外界的振动对设备的影响而采取的隔振措施，,1物理模型,2评价指标,隔振后系统稳态响应振幅为,评价消极隔振效果的指标为位移传递系数,位移传递系数和力传递系数的表达式完全一样。因此，在设计 积极隔振装置或消极隔振装置时所遵循的准则是相同的。,令,叫做传递系数,传递系数随阻尼比和频率比变化的关系曲线,不论阻尼比为多少，只有在,才有隔振效果；,对于某个给
8、定的,当阻尼比减小时， 传递系数也减小,2.7非简谐激励作用下的系统响应,一周期激励作用下的强迫振动对于线性系统，叠加原理成立，即各激励力共同作用所引起的系统稳态响应为各激励力单独作用时引起的系统各稳态响应的总和。因此对于线性系统在受到周期激励作用时，系统稳态响应的计算就很简单。把该周期激励展成傅立叶级数，把级数的每一项看作一简谐激励，确定其稳态响应；把所有简谐稳态响应加起来，就得到系统对周期激励的稳态响应。,二非周期激励作用下的系统响应,（单位脉冲）,对于弱阻尼系统，在初始条件,下的自由振动为,引入脉冲响应函数 ， 则系统对 时作用的脉冲力的响应可表示为,考虑初始条件,系统的通解,1,欠阻尼或弱阻尼,（有阻尼固有频率）,方程的解,2,方程的解,3,方程的解,平衡位置为势能零点,
