1、,微积分A,刻苦 勤奋 求实 创新,在平面内任取一个定点O，叫做极点，引一条射线ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度 的正方向(通常取逆时针方向)，对于平面内任意一点M，用 r表示线段OM的长度， 表示从ox到OM的角度叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对 就叫做点M的极坐标，表示为 。这样建立的坐标系叫做极坐标系。,O,x,极坐标系的定义：,规定：当点M在极点时，它的极坐标为， 可以取任意值。,D,E,F,G,A,B,C,o,极坐标系下点与极坐标的对应关系,例：在极坐标系下，写出A、B、C、D、E、F、 G各点的极坐标。,角 也可以取负值，如：,D,E,F,G,A,B,C,o,在一
2、般情况下，极径都是取正值，但是在某些必要的情况下，也允许取负值。当 时，点 的位置可以按以下规则确定：作射线OP，使 ，在OP的反向延长线上取一点M，使 ，点M就是坐标为 的点。,O,M,x,当 时， 写出A、B、C、D、E、F、G各点极坐标。,D,E,F,G,A,B,C,o,例如:,1）定义：在极坐标系中，曲线可以用含有 、 这两个变数的方程 来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程。,一,极坐标系下，曲线与方程的对应关系,2）说明：方程的每一个解为坐标的点都是曲线上的点；曲线上每一个点的无穷多个坐标中，至少有一个坐标满足方程。,和求直角坐标方程类似，就是把曲线 看作适 合某种条件的点的集合或轨
3、迹，将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的关系式 表示出来，就得到曲线的极坐标方程。,二 、求曲线的极坐标方程的方法和步骤：,O,x,1、直线的极坐标方程 例：求极坐标系下，经过定点 且关于极轴的倾斜角为 的直线 方程（其中 为定值）,解：如图，设所求直线上任一点 ，与极轴所在直线交于N点，连接OM、OP,O,x,N,在 中，由正弦定理得：,即 方程 （定值）,当 时， 代入方程:,O,x,方程化为,（定值),当 时，代入方程方程化为 （定值）,O,x,当 表示极点时， 代入方程,即 或 若允许 ，则 方程可写为：,O,x,在 中，由余弦定理：,解：如图，设所求圆上任一点 ，,例：求极坐标系下，
4、以定点 为圆心，为半径的圆的方程。,2、圆的极坐标方程,即为所求圆方程。,当圆心 表示极点时，代入则圆方程化为：,当圆心在极轴上，且圆经过极点时，,O,x,则圆方程化为,即：,设圆锥曲线上任一点 ，设,整理得：,x,K,A,F,B,3、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程,如图建立坐标系，,称此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程,(允许 表示整个双曲线),x,F,y,表示椭圆,表示抛物线,表示双曲线右支,例：确定方程 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。,x,O,P,解：,极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程。
5、为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。,把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。设M是平面内任一点，它的直角坐标为 极坐标是 ，从点M作 ，由三角函数 定义，可得出 之间的关系。,x,y,O,y,M,N,x,(1),(2),1、极坐标和直角坐标的互化公式：,公式(1)是用极坐标表示直角坐标的表达式 公式(2)是用直角坐标表示极坐标的表达式在一般情况下，由 确定极角 时， 可根据点M所在的象限取最小正角。,(1),(2),2、极坐标与直角坐标互化公式的应用,例1、,解：,例2、,解：,例3、,解：,例4、,解：,x,O,另解：,Good,Bye,感谢同学们！,
