1、【考纲要求】（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.；（3）了解抛物线的简单应用；（4）理解数形结合的思想【命题规律】抛物线是历年高考命题的重点热点，考查抛物线的定义、标准方程，常与求参数和最值等问题相结合；考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题；多与平面向量交汇考查抛物线的定义、方程与几何性质预计 2019 年高考对抛物线的考查会以抛物线的定义与标准方程、几何性质、直线与抛物线位置关系三个为考点为主，在客观题中进行考查，难度中等偏低也可能以解答题出现在大题，综合考查直线与抛物线的位置关系及与
2、其它知识的交汇【典型高考试题变式】（一）抛物线的定义及应用【例 1】 【2014 全国新课标卷】已知抛物线 C： 的焦点为 F，准线为 ，P 是 上一点，Q 是直线xy82llPF 与 C 得一个焦点，若 ，则 （ ）FQP4A B C D27325【答案】B【方法技巧归纳】涉及到抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线（焦点）的距离问题求解，如根据抛物线定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解 （三）抛物线的几何性质【例 3】 【2016 新课标卷】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两
3、点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|= ，|DE|= ，则 C 的焦点 到准线的距离为425A2 B4 C6 D8【答案】B【方法技巧归纳】 （1）涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离，常可相互转化；（2）应用抛物线几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性【变式 1】 【变为抛物线通径的应用】已知点 在抛物线 ： 上，且点 到 的准线的距0(,)PxyW24yxPW离与点 到 轴的距离相等，则 的值为( )Px0xA B1 C D223【答案】B【解析】因为点 到 的准线的距离与点 到 轴的距
4、离相等，所以点 是抛物线 通径的一个端点，PWPxPW所以 ，故选 B 012px【变式 1】 【变为非探索性问题即证明定点问题】过抛物线 ： 的焦点 的直线交抛物线CF于 两点，且 两点的纵坐标之积为 ,AB, 4（1）求抛物线 的方程；C（2）已知点 的坐标为 ，若过 和 两点的直线交抛物线 的准线于 点，求证：直线 与 D(4,0)DBPAPx轴交于一定点 【答案】 （1） ；（2） 4yx1(,0)【解析】 （1）抛物线的焦点为 ，故可设直线 的方程为 ，pFAB2pxmy由 ，得 ， 设 ，则 ， ，由 ，可得 21yp240p2抛物线 的方程为 C24x【变式 2】 【变为探索点的
5、位置】已知抛物线 C 的标准方程为 ，M 为抛物线 C 上一动点，为其对称轴上一点，直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时， MON 的面积为 18（1）求抛物线 C 的标准方程；（2）记 ，若 t 值与 M 点位置无关，则称此时的点 A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由【答案】 （1） ；（2）无关，证明见解析yx【解析】 （）由题意， ， ，6p抛物线 C 的标准方程为 21yx3 【山东省青岛市 2019 届高三 9 月期初调研】已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，垂直 于点 分别为 ， 的中
6、点， 与 轴相交于点 ，若 ，则 等于（ ） A B 1 C 2 D 4【答案】B【解析】4已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线 上的点 作 于点 ，若，则 =( )A 6 B 12 C 24 D 48【答案】C【解析】如下草图：作 AB 垂直于 x 轴，垂足为 B，5 【内蒙古赤峰二中 2019 届高三上学期第二次月考】如图，过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点 、 ，交其准线 于点 ，若点 是 的中点，且 ，则线段 的长为（ ）A 5 B 6 C D 【答案】C【解析】设 A、B 在准线上的射影分别为为 M、N，准线与横轴交于点 H，则 FH=p，由于点 F 是 AC 的中点，|AF
7、|=4，AM=4=2p，p=2 ，设 BF=BN=x，则则 ，即 ，解得 x= ，故答案为：C6已知抛物线 （ ）与双曲线 （ ， ）有相同的焦点 ，点 是两条曲线的一个交点，且 轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（ ）A B C D 【答案】B7 【河南省信阳高级中学 2019 届高三第一次大考】已知抛物线 的焦点为 ,其准线与双曲线相交于 、 两点,若 为直角三角形,其中 为直角顶点,则A 6 B C D 【答案】D【解析】抛物线的准线是 ，代入双曲线方程得， ， ， 是直角三角形，它是等腰直角三角形， ，解得 故选 D 11过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 ，
8、两点，且直线 的倾斜角 ，点 在 轴上方，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】12 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟】若抛物线 的焦点是 ,准线是 ,点 是抛物线上一点，则经过点 、 且与 相切的圆共（ ）A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 4 个【答案】D【解析】因为点 在抛物线 上，所以可求得 由于圆经过焦点 且与准线 l 相切，所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上又圆经过抛物线上的点 M，所以圆心在线段 FM 的垂直平分线上，故圆心是线段 FM 的垂直平分线与抛物线的交点结合图形知对于点 M(4,4)和(4,4)，线段 FM 的垂直平分线与抛物线都各有两
9、个交点所以满足条件的圆有 4 个故选 D13 【江西省景德镇市第一中学等盟校 2018 届高三第二次联考】已知抛物线 ，过其焦点的直线 交抛物线于 两点，若 ，且抛物线 上存在点 与 轴上一点 关于直线 对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A 4 B 5 C D 6【答案】D【解析】设抛物线与 的准线为 ，如图所示，当直线 的倾斜角为锐角时，分别过点 作 ，垂足为 ，过点 作 交于点 ，则 ， ， ，在 中，由 ，可得 ，轴， ， ，直线方程 ， 由 可得点的 坐标： , ，代入抛物线的方程化简可得： ，该抛物线的焦点到准线的距离为 ，故选 D.14 【福建省龙岩市 2018 届高三下学
10、期教学质量检查】已知以圆 的圆心为焦点的抛物线与圆 在第一象限交于 点， 点是抛物线 ： 上任意一点， 与直线 垂直，垂足为 ，则的最大值为（ ）A 1 B 2 C D 8【答案】A【解析】二、填空题15 【内蒙古赤峰二中 2019 届高三上学期第三次月考】抛物线 的焦点为 F ，已知点 A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足 .过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N，则的最大值为_【答案】1【解析】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得 AF|=|AQ|， |BF|=|BP|在梯形 ABPQ 中，2|MN |=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得， 16 【
11、陕西省咸阳市 2018 年高考 5 月信息专递】如果 是抛物线 上的点，它们的横坐标依次为 ， 是抛物线的焦点 ，若 ，则_【答案】 【解析】抛物线 y2=4x 的焦点为 F（1，0） ，准线为 x=1，根据抛物线的定义，P i（i=1 ，2，3，8）到焦点的距离等于 Pi 到准线的距离，即|P iF|=xi+1，可得|P 1F|+|P2F|+|P8F|=（x 1+1）+（x 2+1）+（x 8+1） =（ ）+8， ， 10+8=18故答案为：1817 【四川省南充高级中学 2018 届高三考前模拟】过点 作直线 交 轴于点 ，过点 作 交轴于点 ，延长 至点 ，使得 ，则 点的轨迹方程为_
12、【答案】【解析】三、解答题18 【河北省衡水金卷 2018 年高三调研卷】已知点 ，过点 作与 轴平行的直线 ，点 为动点在直线 上的投影，且满足 .（1）求动点 的轨迹 的方程；（2）已知点 为曲线 上的一点，且曲线 在点 处的切线为 ，若 与直线 相交于点 ，试探究在 轴上是否存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】(1)设 ，由题得又 ， ，由 ，得 ，即 ，轨迹 的方程为 .19 【湖北省襄阳市 2018 届高三 1 月调研】动点 到定点 的距离之比它到直线 的距离小 1，设动点 的轨迹为曲线 ，过点 的
13、直线交曲线 于 两个不同的点，过点 分别作曲线 的切线，且二者相交于点 .（1）求曲线 的方程；（2）求证： ；（3）求 的面积的最小 值.【答案】() ( ) 见解析；()4【解析】()解：由已知，动点 P 在直线 上方，条件可转化为动点 P 到定点 F(0，1) 的距离等于它到直线距离动点 P 的轨迹是以 F(0，1) 为焦点，直线 为准线的抛物线故其方程为 ()解：由()知，点 M 到 AB 的距离当 k = 0 时，ABM 的面积有最小值 4 20 【湖南省衡阳市第八中学 2019 届高三第三次月考】设椭圆 ，离心率 ，短轴 ，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为 ，（1）求椭圆
14、和抛物线的方程；（2）设坐标原点为 , 为抛物线上第一象限内的点， 为椭圆是一点，且有 ，当线段 的中点在轴上时，求直线 的方程【答案】 （1） , ;(2)【解析】(1) 由 得 ，又有 ，代入 ，解得 所以椭圆方程为 由抛物线的焦点为 得，抛物线焦点在 轴，且 ，抛物线的方程为： 21 【广东省汕头市潮南区 2018 届高考(5 月) 冲刺】已知抛物线 的焦点为 ，过点 垂直于轴的直线与抛物线 相交于 两点，抛物线 在 两点处的切线及直线 所围成的三角形面积为 .(1)求抛物线 的方程；(2)设 是抛物线 上异于原点 的两个动点，且满足 ，求 面积的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】(1)依题意得 ，由 ，得 ，
