1、考点 28 数列的综合问题1数列 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2， ，其相邻的两个 1 被 2 隔开，第 对 1 之间有 个 2，则数列的前209 项的和为（ ）A279 B289 C399 D409【答案】C2已知等比数列 的各项均为正，且 ， ， 成等差数列，则数列 的公比是A B2 C D【答案】C【解析】根据 ， ， 成等差数列得到 = ，再根据数列是等比数列得到 ，因为等比数列 的各项均为正，故得到 解得 或-2（舍去） ，故得到公比为 .故答案为:C.3已知数列 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且 ， ， ，则 （ ）A B19 C 2
2、0 D23【答案】D【解析】,计算得到所以 ,所以 ,故选 D. 4已知等差数列 满足: 且 成等比数列 ,则数列 的前 项和为（ ）A B C 或 D 或【答案】C5设等差数列 的公差 ， ，若 是 与 的等比中项，则 （ ）A2 B3 C6 D8 【答案】B【解析】由于 是 与 的等比中项，所以 ，故 ，将 代入，解得 .故选 B.6对于数列 ，定义 为 的“ 优值”，现已知某数列的“优值” ，记数列 的前 项和为 ，则 （ ）A2022 B1011 C 2020 D1010【答案】B7在各项均为正数的等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，记 是数列 的前 项和，则 （ ）A32 B6
3、2 C27 D 81【答案】B【解析】设各项均为正数的等比数列 的公比为 q,又 ，则 ， ， ， 成等差数列， .即 ， ，由 q0，解得 q=2， .故选：B.8甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数 ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把 乘以 2 后再减去 6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把 除以 2 后再加上 6，这样就可得到一个新的实数 ，对实数 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数 ，当 时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为 ，则 的取值范围是_【答案】9已知 为等比数列， ，且 ， ， 成等
4、差数列，则 _.【答案】16 或-16 【解析】设等比数列 的公比为 ，由 ， ， 成等差数列得 ，即 ， ， ，又 ， 或-16.10已知数列 是由实数构成的等比数列， ，且 成等差数列，则 的公比为_【答案】211已知数列 满足 ，数列 是公比为 2 的等比数列，则_.【答案】【解析】由题可知, ,则 所 以故 所以原式 . 15已知数列 满足对任意的 ，都有 ，且，其中 ， 记 （1）若 ，求 的值；（2）设数列 满足 求数列 的通项公式； 若数列 满足 ，且当 时， ， 是否存在正整数 ，使 ， ， 成等比数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，说明理由【答案】 （1）1011（2）
5、； ， 满足题意16设等比数列 的公比为 q(q 0，q = 1)，前 n 项和为 Sn，且 2a1a3 = a4，数列 的前 n 项和 Tn 满足 2Tn = n(bn - 1)，n N ，b 2 = 1.(1) 求数列 ， 的通项公式；(2) 是否存在常数 t，使得 Sn+ 为等比数列？说明理由；(3) 设 cn = ，对于任意给定的正整数 k(k 2), 是否存在正整数 l，m(k l m), 使得 ck，c 1，c m 成等差数列？若存在，求出 l， m（用 k 表示） ，若 不存在，说明理由.【答案】 （1） ； （2）存在 ，使得 是公比为 的等比数列；（3）存在符合题意.【解析】
6、（1）等比数列a n的公比为 q（q0，q1） ，2a 1a3 a4，则 q 不为常数综上：存在 t 时，使得数列S n 是公比为 q 的等比数列（3）由（1）可知：b n2n3，假设对于任意给定的正整数 k（k2 ） ，存在正整数 l，m （klm） ，使得 ck，c 1，c m 成等差数列则 ，整理得：2m +1 ，取 l2k，则 2m+1（4k +1） （2k+1） ，解得 m4k 2+3k即存在 l2k， m4k 2+3k符合题意17已知数列 ，其中 （1）若 满足 当 ，且 时，求 的值；若存在互不相等的正整数 ，满足 ，且 成等差数列，求 的值（2）设数列 的前 项和为 ，数列 的
7、前 n 项和为 ， ， ，若 ， ，且恒成立，求 的最小值【答案】 （1）81；（2）5（2）由 可知 ,两式作差可得： ，又由 ，可知 故 ，所以 对一切的 恒成立对 ， 两式进行作差可得 ,又由 可知 ，故 又由,所以 ，所以当 时 ,当 时 ,故 的最小值为 5. 19已知数列 中 ， ，（1）求数列 的通项公式；（2） 求证：【答案】 （1） ；（2）见解析20设各项为 正数列 满足： （ 是常数）.（1）判断是否存在 ，使数列 满足对任意正整数 ，有 恒成立？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由.（2）当 ， 时，求数列 前 项和 的表达式.【答案】 （1）存在 ，使 成立； （2）
8、 .21设 是公比大于 1 的等比数列， 为数列 的前 项和已知 ，且 构成等差数列（）求数列 的通项公式；（）令 ,求数列 的前 n 项和 【答案】 （1） （2）【解析】22已知a n是等差数列，b n是等比数列 ，且 b23，b 39，a 1b 1，a 14b 4.(1)求a n的通项公式；(2)设 cn anb n，求数列 cn的前 n 项和.【答案】 （1） ； （2）当 为偶数时， .当 为奇数时， .【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，由 得 ，又 ，解得 .(2)由(1)知 ，因此 .从而数列 的前 项和当 为偶数时， .当 为奇数时，23已知数列 满足
9、 为正常数.（1）求证：对于一切 恒成立；（2）若数列 为等差数列，求 的取值范 围.【答案】(1)见解析(2) 当 时，所以 ,矛盾，舍去，当 时，当 时,有 ，满足题意综上， 的取值范围为 . 25已知等比数列 中， 依 次是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 ，公比 （1）求 ； （2）设 ，求数列 的前 项和【答案】 （1） ;（2） .26设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， .（）求数列 的通项公式；（）求 的最小值及相应的 n 的值；（）在公比为 的等比数列 中， ， ，求 .【答案】 （） ;（）见解析. （） .27设 ， 为正整数，一个正整数数列 ， ， 满足 ，对 ，定义集合 ，数列 ， ， 中的 （ ）是集合 中元素的个数.（I）若数列 ， ， 为 5,3,3,2,1,1，写出数列 ， ， ；（II）若 ， ， ， ， 为公比为 的等比数列，求 ；（III）对 ，定义集合 ，令 是集合 中元素的个数.求证：对 ，均有 .【答案】 （I）数列 ， ， 是 6,4,3,1,1. （II） （III）
