1、解密 23 概 率高考考点命题分析 三年高考探源 考查频率古典概型2018 课标全国52017 课标全国182016 课标全国182015 课标全国4几何概型概率的主要内容是古典概型和几何概型，高考就是围绕这两个知识点命制试题的.对于几何概型，一般是在选择题或者填空题中考查.古典概型的考查既可能在选择题或者填空题中单独考查，也可能在解答题中和其他概率、统计知识结合起来综合考查.2017 课标全国42016 课标全国8考点 1 古典概型题组一 古典概型的概率求解调研 1 从 中任取三个数,则这三个数能构成三角形的概率为A B53 10C D2 2【答案】B【解析】从 中任取三个数有：(1,2,3
2、),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有 10 种不同的取法，其中能构成三角形的有：(2,3,4), (2,4,5),(3,4,5),共有三种不同的取法，所以，这三个数能构成三角形的概率为 .技巧点拨在选择题或者填空题中利用枚举计数的方法考查古典概型，或结合排列、组合计数的方法考查古典概型，在解答题中常和概率、统计的其他知识结合考查古典概型和概率的性质.题组二 用随机模拟估计概率调研 2 规定：投掷飞镖 3 次为一轮，若 3 次中至少两次投中 8 环以上为优秀.根据以往经验，某选手投
3、掷一次命中 8 环以上的概率为 .现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率： 用计算机产生 0到 9 之间的随机整数，用 0,1 表示该次投掷未在 8 环以上，用 2,3,4,5,6,7,8,9 表示该次投掷在 8 环以上，经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683031 257 393 527 556 488 730 113 537 989据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为A BC D【答案】D【解析】由所给数据可知， 组数据中有 组 191，031，113 不是优秀，其余 组是优秀，所以可
4、以拿20317到优秀的概率为 ，故选 D17考点 2 几何概型题组一 几何概型的概率求解调研 1 在区间 ， 上随机取一个数 x，则 sin xcos x1， 的概率是6 2 2A B12 34C D38 58【答案】B【解析】由 sin xcos x sin(x )1， ，得 sin(x )1，24 2 22 4因为 x ， ，所以在区间 ， 内，满足 sin(x ) ，1 的 x0， ，6 2 6 2 4 22 2故所求的概率为 .故选 B2 02 6 34调研 2 中， ,在线段 上任取一点 ，则 的面积小于 的概ABC PAB率是A B1 13C D23 5【答案】C调研 3 一只蚊子
5、在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是_【答案】 6【解析】设正方体的棱长为 ，其体积 ，2a易知内切球直径为 ，其体积为 ，利用几何概型的概率计算公式，结合题意可得这只蚊子安全飞行的概率是 .216VP题组二 随机模拟的应用调研 4 下图是 2002 年 8 月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作周髀算经中有详细的记载.若图中大正方形 的边长为 5，小正方形的边长为 2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域随机投掷 个点，有 个点落在中间的圆内，由此可估计 的近
6、似值为A B254mn 4mnC D 25【答案】D【解析】 小正方形的边长为 ，圆的半径为 ，圆的面积为 ，21又 大正方形的边长为 ，正方形的面积为 ，525由几何概型的概率计算公式可得 ，故选 D 1 （陕西省四校联考 2019 届高三高考模拟）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为大于 8 的偶数的概率为A B 19C D16 4【答案】B【解析】将先后两次的点数记为有序数实数对 ，则共有 个基本事件，其中点数之和为大于 8 的偶数有 ， ， ， ，共 4 个，则满足条件的概率为 413692 （湖南省
7、长沙市雅礼中学、河南省实验中学 2018 届高三联考）某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为A B10 16C D5 5【答案】B【解析】由题意，此人在 50 分到整点之间的 10 分钟内到达，等待时间不多于 10 分钟，所以概率.故选 B106P3 （广西百色市 2019 届高三摸底调研考试）如下图，在边长为 4 的正方形内有区域 （阴影部分所示） ，现从整个图形中随机取一点，若此点取自区域 外的概率为 0.4，则区域 的面积为A4 B9 C9.6 D6.4【答案】C【解析】设区域 的面积约为
8、，由几何概型可知 ，解得 ，故选 C.4 （五省优创名校 2019 届高三联考）袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率
9、为A B19 318C D2 5【答案】C5 （广东省中山一中等七校联合体 2019 届高三第二次（11 月)联考）一个体积可忽略不计的小球在边长为2 的正方形区域内随机滚动，则它在离 4 个顶点距离都大于 1 的区域内的概率为 A B4 4C D12 2【答案】B【解析】由题意，以四个顶点为圆心，1 为半径作圆，得到四个 的圆的面积为 ，14又由边长为 2 的正方形的面积为 ，4S根据面积比的几何概型可得概率为 ，故选 B.6 （山东省青岛市 2019 届高三 9 月期初调研检测）有一底面半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O 为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点
10、O 的距离大于 l 的概率为A B13 23C D4 14【答案】B【解析】设点 P 到点 O 的距离小于 1 的概率为 P1，由几何概型，得 P1 ，13故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率 P1 .故选 B.27 （湖南省三湘名校教育联盟 2019 届高三第一次大联考）在区间-2,2上随机取一个数 b,若使直线与圆 有交点的概率为 ，则 a =A B14 12C1 D2【答案】B【解析】因为直线 与圆 有交点，yxb2ya所以圆心到直线的距离 ， ，又因为直线 与圆 有交点的概率为 ，yxb2ya12，故选 B. 8 （江苏省南师大附中 2019 届高三年级第一学期期中考试）将一颗质
11、地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和大于 9 的概率是_【答案】【解析】抛掷一个骰子两次，基本事件有 种，其中符合题意的有：，共六种，故概率为 .6139 （陕西省西安中学 2019 届高三上学期期中考试）2017 年 10 月 18 日至 10 月 24 日，中国共产党第十九次全国代表大会 简称党的“ 十九大” 在北京召开 一段时间后，某单位就“ 十九大”精神的领会程度随机抽取 100 名员工进行问卷调查，调查问卷共有 20 个问题，每个问题 5 分，调查结束后，发现这 100名员工的成绩都在 内，按成绩分成 5
12、 组：第 1 组 ，第 2 组 ，第 3 组 ，第4 组 ，第 5 组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第 3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第 3，4，5 组共选取 6 人对“十九大”精神作深入学习求这 100 人的平均得分 同一组数据用该区间的中点值作代表 ；求第 3，4，5 组分别选取的作深入学习的人数；若甲、乙、丙都被选取对“ 十九大”精神作深入学习，之后要从这 6 人随机选取 2 人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率【答案】 （1）87.25；（2）3，2， ；（3） .【解析】 这 100 人的平均得分为：
13、.第 3 组的人数为 ，第 4 组的人数为 ，第 5 组的人数为 ，故共有 60 人，用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结果为 甲、乙 、 甲、丙 、 甲、丁 、 甲、戊 、 甲、己 、乙、丙 、 乙、丁 、 乙、戊 、 乙、己 、 丙、丁 、 丙、戊 、 丙、己 、丁、戊 、 丁、己 、 戊、己 ，共 15 种情况，其中甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取有 12 种情况，故甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率为1（2018 新课标全国文科）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的
14、概率为A B0.6 0.5C D0.4 0.3【答案】D【名师点睛】应用古典概型求概率的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件 ；第二步，分别求出基本事件的总数 与所求事件 中所包含的基本事件个数 ；第三步，利用公式求出事件 的概率.2（2017 新课标全国文科）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A B14 8C D24【答案】B【解析】不妨设正方形边长为 ，由图形的对称性可知，太极图中黑、白部分面积相等，即各占圆面积a的一半由几何概型概率的计算公式得
15、，所求概率为 ，选 B【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中， “等可能” 一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关3（2016 新课标全国文科）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概
16、率为A B710 58C D38 310【答案】B【解析】因为红灯持续时间为 40 秒,所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ，40158故选 B【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法4（2015 新课标全国文科）如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1,2345中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为A 0 B 15C 1 D 20【答案】C【解析】从 1,2,3,4,5 中任
17、取 3 个不同的数，共有 10 种不同的取法，其中的勾股数只有 3,4,5，故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种，故所求概率为 10，故选 C【名师点睛】求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.5（2017 新课标全国文科）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于
18、25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15 ） 15，20 ） 20，25 ） 25，30） 30，35） 35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，Y写出 的所有可能值，并估计 大于零的概率 Y（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
