1、市质检数学（文科）试题 第 1 页（共 13 页） 保密 启用前 泉州市 2019 届 普通 高中毕业班 第一次 质量检查 文 科 数 学 2019.2 三、解答题：共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答 第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （ 12 分） ABC 的内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc.已知 5b ， s i n 2 s i na b A b A C . （ 1）证明： ABC 为等腰三角形 ； （ 2） 点 D 在边 AB 上， 2AD BD ， 17CD ，求
2、AB . 【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理等 解三角形的 基础知识 ， 考查推 理论证能力与运算求解能力等 ， 考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等 ，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理 、数学运算及数学建模等 核心素养的关注 【试题简析】 解法一：（ 1） ABC 中， s i n 2 s i n 2 s i na b A b A C b B ， 1 分 由正弦定理 sin sinabAB ， 4 分 得： 22a a b b ， 整理得： 20a b a b ， 5 分 因为 20ab，所以 ab ， 所以 ABC 为等腰三角形 . 6 分（
3、 2）设 BD x ，则 2AD x ， 由余弦定理，得： 24 1 7 2 5c o s2 2 1 7xCD A x ， 2 1 7 2 5c o s2 1 7xCD B x ， 9 分 因为 CDA CDB ，所以 224 1 7 2 5 1 7 2 52 2 1 7 2 1 7xxxx ， 10 分 解得： 2x ，所以 6AB . 12 分 市质检数学（文科）试题 第 2 页（共 13 页） CBDA解法二：（ 1） ABC 中， s i n 2 s i n 2 s i na b A b A C b B ， 1 分 由正弦定理，得： 2( s i n s i n ) s i n 2 s
4、 i nA B A B， 4 分 化简得： ( s i n 2 s i n ) s i n s i n 0A B A B ， 又因为 , 0,AB ，所以 sin 2 sin 0AB， 所以 sin sinAB ， 5 分 所以 AB ，或 AB（舍去） ， 所以 ABC 为等腰三角形 . 6 分 （ 2）取 AB 中点 E ，连接 CE ，由（ 1）得， ABC 为等腰三角形，所以 CE AB ， 8 分 设 BD x ， 则 2AD x ， 32BE x ， 12DE x ， 9 分 由勾股定理得 : 221317 2522xx ， 11 分 解得： 2x ，所以 6AB . 12 分 E
5、CBDA解法三：（ 1）同解法一； （ 2）因为 2AD BD ，所以 1233CD CA CB， 7 分 所以 2 2 21 4 49 9 9CD CA CA CB CB ，所以 2 5 4 45 5 c o s 2 5 1 79 9 9B CA ， 8 分 所以 7cos 25BCA， 9 分 由余弦定理，得： 2 72 5 2 5 2 5 5 3 625AB ， 11 分 市质检数学（文科）试题 第 3 页（共 13 页） 所以 6AB . 12 分 解法四：（ 1）同解法一；（ 2）作 /DF AC 交 BC 于 F ， 2AD BD ， 则 1533DF AC， 2 1033CF A
6、B ， 7 分 由余弦定理，得： 2 2 2c o s 2C D C F D FD C F C D C F ， 9 分 所以1 0 0 2 5171 9 1 799c o s10 852 1 73D CF . 10 分 由余弦定理，得： 2 1 9 1 72 5 1 7 2 1 7 5 485BD ， 11 分 所以 2BD ，所以 6AB . 12 分 FCBDA18 （ 12 分） 如图，在四棱锥 ABCDP 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， 2 PDPA ， 6PB PC. （ 1）证明：平面 PAD 平面 ABCD ； （ 2）若点 E 为线段 PA 的中点，求 E 到平面
7、 PBC 的距离 . EPCDA B【命题意图】 本小题主要考查直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，体积的求解 ，点到面的距离 等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的关注 【试题简析】 市质检数学（文科）试题 第 4 页（共 13 页） 解法一：（ 1） 正方形 ABCD 边长为 2，所以 AB AD ， 2AB ， 1 分 因为 2PA ， 6PB ，所以 2 2 2PA AB PB，所以 AB PA ， 2 分 ,PAAD 平面 PAD ， PA AD A
8、 ， 3 分 所以 AB 平面 PAD ， 4 分 因为 AB 平面 ABCD ， 5 分 所以 平面 PAD 平面 ABCD . 6 分 （ 2） 取 AD 中点 F ，连接 PF ， CF ， 因为 2 PDPA ， 2AD ， 所以 PF AD ， 1PF ， 7 分 平面 PAD 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD AD ， PF 平面 PAD ， （写两个即给分） 8 分 所以 PF 平面 ABCD ， 9 分 又因为 2ABCS ， 所以 1 1 2213 3 3P A B C A B CV S P F ， （ 体积公式 ） 10 分 在 PBC 中， 2BC ， 6P
9、B PC，所以 5PBCS ， 记点 A 到平面 PBC 的距离为 d ， 23 31P A B C P B CV S d ， 所以 255d ， （ 计算 ） 11 分 又因为点 E 为线段 PA 的中点， 点 E 到平面 PBC 的距离为 55 . 12 分 EPFCDA B解法二：（ 1）取 AD 中点 F ，连接 PF ， CF ， 正方形 ABCD 边长为 2，所以 1DF ， 5CF ， 又因为 6PC ，所以 2 2 2PF CF PC，所以 PF CF ， 1 分 又因为 2 PDPA ，所以 PF AD ， 2 分 ,CF AD 平面 ABCD ， AD CF F ， 3 分
10、 所以 PF 平面 ABCD ， 4 分 PF 平面 PAD ， 5 分 市质检数学（文科）试题 第 5 页（共 13 页） 所以 平面 PAD 平面 ABCD . 6 分 （ 2）同解法一 . 19（ 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，圆 22:4O x y与 y 轴正、负半轴分别交于点 ,AB 椭圆 以 AB 为短轴，且离心率为 32 （ 1） 求 的方程 ； （ 2） 过点 A 的直线 l 分别与圆 O ，曲线 交于点 M ， N （异于点 A ） 直线 ,BMBN 分别与 x 轴交于点 ,CD 若 | | | |NC ND ，求 l 的方程 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程、直
11、线斜率、直线与圆锥曲线的交点等基础知识；考查运算求解、逻辑推理能力；考查数形结合思想、转化化归思想；导向对数学运算、直观想象、逻辑推理素养的关注 【试题简析】 解法一：（ 1） 依题意，椭圆的焦点在 x 轴 设 的方程为 221xyab 1 分 依题意， 2b ， 32ca 3 分 又 2 2 2a b c， 4 分 求得 2 16a ，故 的方程为 22116 4xy 5 分 （ 2）依题意， (0,2)A ， (0, 2)B ， 设直线 :2l y kx（ 0k ） 6 分 市质检数学（文科）试题 第 6 页（共 13 页） 联立 :2l y kx与 22:116 4xy ，得 22(1
12、4 ) 1 6 0k x kx ， 7 分 设 11( , )Nx y ，依题意，1 21614kx k ， 21 22814ky k 8 分 依题意， BMAM ，kkkk lAMBM 111 ， 9 分 故 1:2BM y xk ，点 ( 2 ,0)Ck 10 分 若 | | | |NC ND ，则 NC BNkk 11 分 即22222 8 2 8 21 4 1 41 6 1 621 4 1 4kkkkk （ 0k ），解得 1120k 即存在 11:220l y x ，使得 | | | |NC ND 12 分 解法二：（ 1） 同解法一； （ 2）依题意， (0,2)A ， (0, 2
13、)B ，设直线 :2l y kx（ 0k ） 6 分 联立 :2l y kx与 22:116 4xy ，得 22(1 4 ) 1 6 0k x kx ， 7 分 设 11( , )Nx y ，依题意，1 21614kx k ， 21 22814ky k 8 分 依题意， BMAM ，kkkk lAMBM 111 ， 9 分 故 1:2BM y xk ，点 ( 2 ,0)Ck 10 分 同理 可得， 1:24BN y xk ，点 ( 8 ,0)Dk ， 若 | | | |NC ND ，则 ,CD中点的横坐标等于点 N 的横坐标， 即216 2 81 4 2k k kk （ 0k ） ， 11 分
14、 解得 1120k 即存在 11:220l y x ，使得 | | | |NC ND 12 分 市质检数学（文科）试题 第 7 页（共 13 页） 解法三：（ 1） 同解法一； （ 2）依题意， (0,2)A ， (0, 2)B ，设直线 :2l y kx（ 0k ） 6 分 联立 :2l y kx与 22:116 4xy ，得 22(1 4 ) 1 6 0k x kx ， 7 分 设 11( , )Nx y ，依题意，1 21614kx k ， 21 22814ky k 8 分 依题意， BMAM ，kkkk lAMBM 111 ， 9 分 故 1:2BM y xk ，点 ( 2 ,0)Ck
15、 10 分 同理可得， 1:24BN y xk ，点 ( 8 ,0)Dk ， 若 | | | |NC ND ，得 222 2 2 22 2 2 21 6 2 8 1 6 2 8( 2 ) ( ) ( 8 ) ( )1 4 1 4 1 4 1 4k k k kkkk k k k （ 0k ） ， 11 分 解得 1120k 即存在 11:220l y x ，使得 | | | |NC ND 12 分 20 （ 12 分 ） 鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏 小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户 当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼
16、卷都会在农历十二月底进行一次性采购 .小张把去年年底采购鱼卷的数量 x （单位：箱）在 100,200) 的 客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成下表： 采购数 x （单位：箱） 100,120)120,140) 140,160) 160,180) 180,200) 客户数 10 10 5 20 5 （ 1）根据表中的数据，在答题卡上补充完整这些数据的频率分布直方图，并 估计采购数在 168 箱以上（含 168箱）的“熟客”人数； 市质检数学（文科）试题 第 8 页（共 13 页） 采购量频率 /组距0. 0250. 0200. 0150. 0100. 005200180160140
17、120100（ 2）若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的 58 ，估算小张去年年底总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （ 3）由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为 20 元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷 ，则需把每箱售价下调 2 至 5 元，且每下调 m 元 (2 5)m ，销售量可增加 1000m 箱，求小张在今年年底收入 Y （单位：元）的最大值 【 命题意图 】 本小题主要考查频率分布直方图，二次函数的最值；考查了学生利用统计知识解决
18、实际问题的 能力；考查学生的阅读理解能力，信息提取能力，抽象概括能力；考查统计思想、数形结 合思想， 体现基础性与应用性，导向对数据分析素养、 直观想象 素养的关注 【试题简析】 解 ： （ 1） 由表一数据，补出直方图如下： （ 补对一个矩形给 1 分 ） 2 分 采购量频率 /组距0. 0250. 0200. 0150. 0100. 005200180160140120100根据上图，可知，采购数量在 168 以上的客户数量为： 1 8 0 1 6 85 0 2 0 ( 0 .0 0 5 0 .0 2 0 ) 1 720 （人） （ 列式与计算各 1 分 ） 4 分 （或由表一可得： 1
19、8 0 1 6 85 2 0 1 720 （人） 4 分 （ 2）由图一可知，去年年底 “熟客 ”所采购的鱼卷总数大约为： 1 1 0 1 0 1 3 0 1 0 1 5 0 5 1 7 0 2 0 1 9 0 5 7 5 0 0 （箱） ， （ 列式与计算各 1 分 ） 6 分 所以小张去年年底总的销售量为 57500 120008 （箱） . 7 分 （ 3）若没有在网上出售鱼卷，则今年年底小张的收入为 12000 20 240000 （元） ； . 8 分 若小 张在网上出售鱼卷，则今年年底的总销售量为 12000 1000m （箱）， 市质检数学（文科）试题 第 9 页（共 13 页）
20、 每箱的利润为 20m （元） ， 9 分 则小张在今年年底收入 ( 2 0 ) (1 2 0 0 0 1 0 0 0 )Y m m 10 分 1 0 0 0 ( 2 0 )(1 2 )mm 21 0 0 0 ( 8 2 4 0 )mm 21 0 0 0 ( 4 ) 2 5 6 2 5 6 0 0 0m （元） . 11 分 又因为 256000 240000 ，所以小张在今年年底收入的最大值可达到 256000 （元） . 12 分 21 （ 12 分） 已知 函数 xaxxaxf ln)( 22 （ 1）讨论 ()fx的单调性； （ 2） 若 )(xf 有两个大于 1的零点， 求 a 的取
21、值范围 【命题意图】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值 、零点 等问题 ， 考查 抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力 ， 考查 函数与方程思想、 化归与转化思想、分类与整合思想 、数形结合思想、有限与无限思想 ，体现综合性、应用性与创新性，导向对发展数学抽象、 逻辑推理 、 直观想象、 数学运算 以及数学建模 等 核心素养的关注 【试题简析】 解 ： （ 1） fx的定义域 为 0, ， 2 1( ) 2f x a x a x 1 分 222 1 ( 2 1 ) ( 1 )a x a x a x a xxx ， (i)当 0a 时， 0)( xf ，所以 )(xf 在 ,
22、0 单调递减； 2 分 (ii)当 0a 时，令 0)( xf ，得 ax 10 ，令 0)( xf ，得 ax 1 ； （ 未写暂不扣分 ） 3 分 所以 )(xf 在 a1,0单调 递减， 在 ,1a单调递增； 4 分 (iii)当 0a 时，令 0)( xf ，得 ax 210 ， 令 0)( xf ，得 ax 21 ； 所以 )(xf 在 a21,0单调 递减， 在 ,21a单调递增 5 分 （ 2） 由 （ 1） 可得若函数 )(xf 有两个大于 1的零点，则 0a ； 6 分 市质检数学（文科）试题 第 10 页（共 13 页） (i)当 0a 时，需2(1) 0,11( ) ln
23、 0,1 1,f a afaaa 无解； 7 分 (ii)当 0a 时，需 2(1 ) 0 ,13( ) ln 2 0 ,241 1,2f a afaaa 得 02143 ae ； 8 分 且当 02143 ae 时， )(xf 在 a21,1 递减， 0)21()1( aff ，所以 )(xf 在 a21,1 有一个零点； 9 分 因为2 2 2 2 21 1 1 1 1 1( ) l n l nf a a a a a a ， 下证 ln 0xx： 令 lng x x x ， 111 xgx xx ，当 01x时， 0gx ， 函数递减；当 1x 时， 0gx ，函数递增；所以 1 1 ln
24、 1 0g x g ， 即 ln 0xx， 10 分 所以2 2 21 1 1( ) ln 0f a a a ，211( ) ( ) 02ffaa ， 又 )(xf 在 ,21a递增， 所以 )(xf 在 ,21a有一个零点； 11 分 综上， a 的取值范围 为341 ,02e 12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 选修 44 ：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 :l y kx 的倾斜角为 ，曲线 22: ( 1) ( 1) 8C x y 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立
25、极坐标系 （ 1）求 l 和 C 的极坐标方程； （ 2）若 l 与 C 交于 ,AB两点，求 AO BO 的取值范围 市质检数学（文科）试题 第 11 页（共 13 页） 【命题意图】本小题主要考查 直线、 圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 ，极坐标极角的几何意义 ， 直线与圆的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，体现基础性与综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数 学运算等核心素养的关注 【试题简析】 解法一： （ 1）直线 l 的极坐标方程为 () R ，（ 未注明 R ，扣 1 分 ） 2 分 将 c o s , sinxy 代入
26、 22 2 2 6 0x y x y 中， （ 两公式各 1 分 ） 4 分 得到曲线 C 的极坐标方程为 2 2 c o s 2 s i n 6 0 （ 直写答案不扣中间分 ） 5 分 （ 2）设 1( , )A ， 2( , )B ， 则 12 2 c o s 2 s in ， 12 6 ， 6 分 所以 1 2 1 2| |- | |= | | | |= | |O A O B ， 7 分 = |2 c o s 2 s in | 2 2 | s in ( ) |4 , 8 分 因为 0 ，则 54 4 4 ， 2 sin ( ) 124 ， 9 分 所以 0 | |-| | 2 2OA O
27、B 10 分 解法二： （ 1）同解法一； （ 2） 直线 l 的参数方程为 cossinxtyt （ t 为参数， 0 ）， 6 分 代入 22 2 2 6 0x y x y 中，得到 2 2 c o s - 2 s in 6 0t t t ， 所以 1 2 1 2| |- | |= |t | | t |= | t + t |O A O B ， 7 分 | 2 c o s + 2 sin | 2 2 | sin ( ) |4 , 8 分 因为 0 ，则 54 4 4 ， 2 sin ( ) 124 ， 9 分 所以 0 | | | | 2 2OA OB 10 分 解法 三 ： （ 1）同解法
28、一； （ 2）设 曲线 C 的圆心 C ，半径为 r . 考察图形易知，当直线 l 过 C 时， | |-| |OA OB 取到最大值， 6 分 m a x| |- | | ) = ( r + |O C |) - ( r - |O C |) = 2 |O C |= 2 2 |O A O B（ . 7 分 当直线 l OC 时， | |-| |OA OB 取到最 小 值， 8 分 min| |-| |) =0OA OB（ . 9 分 市质检数学（文科）试题 第 12 页（共 13 页） 所以 0 | | | | 2 2OA OB 10 分 23 选修 45 ：不等式选讲 （ 10 分） 已知函数 ( ) | 1 | | 3 |f x x x （ 1）求 ( ) 3fx 的解集； （ 2）若关于 x 的不等式
