1、第八章 刚体的基本运动,刚体的平动刚体的定轴转动转动刚体上各点的速度和加速度角速度、角加速度的矢量表示； 速度、加速度的矢量积表示,8.1,刚 体 的 平 动,定义:在刚体运动的过程中，刚体内任一直线的方向始终不变，即其方向始终与原来的方向平行。具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的平行移动，简称平动。直线与曲线。(与原位置平行,振动筛),定理：当刚体平动时，刚体内各点的轨迹形状都相同，且在同一瞬时各点都具有相同的速度和加速度。,因此，研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内任一点的运动。,刚 体 平 动,例：曲柄连杆滑块机构，试判断连杆的运动形式,O,A,B,C,R,v,P,P,P,8.2,刚
2、体 的 定 轴 转 动,一、转动特征、转动方程,在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，则刚体的运动称为刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。(平面上为定点),如图，角 称为位置角。,当刚体转动时，角 是时间t的单值连续函数，即,这就是刚体的转动方程。(开门),刚体上任意一点的轨迹都为圆。,8.2,刚 体 的 定 轴 转 动,二、角速度、角加速度,刚体绕定轴转动的角速度等于其位置角对时间的一阶导数，用 表示，即,角速度的单位为弧度/秒（rad/s）。,工程上常用转速n来表示刚体的转动快慢。 n的单位是转/分（r/min）， 与n的转换关系为,工程上常用转速n
3、来表示刚体转动的快慢。n的单位是转/分(r/min)， 与n的转换关系为,刚体绕定轴转动的角加速度等于其角速度对时间的一阶导数，用 表示，即,角速度:描述刚体转动快慢的物理量, =d/dt=2n/60 其中n是转速 角加速度:描述角速度变化快慢的物理量, =d /dt 当与同向时，加速转动，当与反向时，减速转动。 与是刚体的物理量,不是哪一点的. 当=0时,刚体匀速转动,8.2,刚 体 的 定 轴 转 动,例1,物块以匀速v0 沿水平直线平动。杆OA可绕O轴转动，杆保持紧靠在物块的侧棱上，如图。已知物块的高度为h，试求OA杆的转动方程、角速度和角加速度。,解：建立如图的直角坐标。则,故OA杆的
4、转动方程为,角速度为,角加速度为,( 角从零递增),8.3,转动刚体上各点的速度和加速度,当刚体绕定轴转动时，距转轴r的任一点M是以轴上的O点为圆心，r为半径作圆周运动，如图。,建立如图的自然坐标，则动点M的自然坐标形式的运动方程为,动点速度的大小为,方向如图。,即：转动刚体上任一点速度的大小等于该点到转轴的距离与刚体角速度的乘积。,动点的切向加速度为,方向如图。,即：转动刚体上任一点的切向加速度的大小等于该点到转轴的距离与刚体角加速度的乘积。,8.3,转动刚体上各点的速度和加速度,动点的法向加速度为,方向如图。,即：转动刚体上任一点的法向加速度的大小等于该点到转轴的距离与刚体角速度平方的乘积
5、。,动点的全加速度的大小及其与半径的偏角为,由以上可知：转动刚体内任一点的速度和加速度都与该点到转轴的距离成正比，但全加速度与半径所成的偏角与转动半径无关，即：在同一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径都有相同的偏角。,8.3,转动刚体上各点的速度和加速度,定轴转动刚体的速度和加速度分布图如下图所示。,8.3,转动刚体上各点的速度和加速度,例2,一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程为本 ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。,解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为,求
6、当t=1s时，则为,因此轮缘上任一点M的速度和加速度为,方向如图所示。,8.3,转动刚体上各点的速度和加速度,例2,M点的全加速度及其偏角为,如图。,现在求物体A的速度和加速度。因为,上式两边求一阶及二阶导数，则得,因此,曲柄O1A=O2B=4r，以绕O1轴转动，轮2可绕O轴转动，轮1与轮2半径为r，接触处无滑动，求；轮1、2边缘上任意点的速度、加速度。,O,A,B,M,1,2,8.3,转动刚体上各点的速度和加速度,例3,齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知,、 、 、 ，求 、 。,解：因啮合点无相对滑动，所以,由于,于是可得,即,8.3,转动刚体上各点的速度
7、和加速度,通常称主动轮与从动轮角速度或角加速度之比为传动比，记为 ，由上例可知,即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们节圆半径成反比。,由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故,即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们的齿数成反比。,8.4,角速度、角加速度的矢量表示速度、加速度的矢量积表示,角速度的矢量表示：如图。,角速度矢量 从转轴上任一点画出，其长度按比例尺由 决定，指向由右手法则确定。,以 表示Z轴的单位矢量，如图，则,对上式求导，则的角加速度矢量,如图。,角速度矢量和角加速度矢量均为滑动矢量。当二者方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相反时，刚体越转越慢。,8.4,角速度、角加速度的矢量表示速度、加速度的矢量积表示,如图，在轴线上任选一点O为原点，动点的矢径用 表示，则点M的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示，即,将上式对时间求一阶导数，有,即,于是,如图所示。,8.4,角速度、角加速度的矢量表示速度、加速度的矢量积表示,综上所述：转动刚体上任一点的速度等于刚体的角速度矢量与该点矢径的矢量积；任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢量与该点矢径的矢量积；任一点的法向加速度等于刚体的角速度矢量与该点速度的矢量积。,15.6,动力学普遍定理综合应用,
