1、3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量1理解直线的方向向量和平面的法向量(重点)2会用待定系数法求平面的法向量(难点)3平面法向量的设法(易错点)基础初探教材整理 1 直线的方向向量阅读教材 P99 上半部分，完成下列问题我们把直线 l 上的向量 e(e0)以及与 e 共线的非零向量叫做直线 l 的方向向量已知直线 l 过 A(3,2,1)，B(2,2,2)，且 a(2,0，x)是直线 l 的一个方向向量，则 x_.【解析】 ( 1,0,1)，由题意知，a ，则存在实数 ，使 a ，AB AB AB 即(2,0， x)( 1,0,1)，即Error! 2，x2.【答案】
2、 2教材整理 2 平面的法向量阅读教材 P99 中间部分，完成下列问题如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ，那么称向量 n垂直于平面 ，记作 n.此时，我们把向量 n 叫做 平面 的法向量1平面 内一条直线 l 的方向向量为 a(2,3，1)，平面 的法向量为n( 1,1，m) ，则 m_.【解析】 易知 an0，即 23m0，解得 m1.【答案】 12已知 A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面 ABC 的法向量为_. 【导学号：09390079】【解析】 设平面 ABC 的法向量为 n(x，y ，z )，则Error!令 x1，则 y1，z0，即 n(
3、1,1,0)，则平面 ABC 的一个法向量为(1,1,0)【答案】 (1,1,0)(答案不惟一)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型直线的方向向量及其应用(1)已知直线 l1 的一个方向向量为(7,3,4)，直线 l2 的一个方向向量为(x， y,8)，且 l1l 2，则 x_，y_.(2)在空间直角坐标系中，已知点 A(2,0,1)，B(2,6,3)，P 是直线 AB 上一点，且满足 AP PB32，则直线 AB 的一个方向向量为 _，点 P 的坐标为_【精彩点拨】 (1)利用两直线的方向向量共
4、线求解；(2) 即是直线 AB 的一个方向向量，利用 求点 P 的坐标AB AP 35AB 【解析】 (1)由 l1l2 可知，向量(7,3,4)和(x，y,8)共线，所以 ，解得 x14 ，y 6.x 7 y3 84(2) (0,6,2)是直线 AB 的一个方向向量AB 由 APPB32，得 .AP 35AB 设 P(x，y，z) ，则(x2，y，z1) (0,6,2)，35即 x20， y ，z1 2 ，185 35解得 x2，y ，z ，185 115所以直线 AB 的一个方向向量是(0,6,2) ，点 P 的坐标为 .(2，185，115)【答案】 (1)14 6 (2)(0,6,2)
5、 (2，185，115)1应注意直线 AB 的方向向量有无数个，哪个易求求哪个2利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置求平面的法向量如图 321，ABCD 是直角梯形，ABC90 ，SA 平面ABCD， SA ABBC1 ，AD ，求平面 SBA 与平面 SCD 的法向量12图 321【精彩点拨】 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量 n，再利用待定系数法求解【自主解答】 AD ，AB，AS 是三条两两垂直的线段， 以 A 为原点，以， ， 的方向为 x 轴，
6、y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，AD AB AS 则 A(0,0,0)，D ，C(1,1,0)，S(0,0,1)， 是平面 SBA 的法向量，(12，0，0) AD (12，0，0)设平面 SCD 的法向量 n(1，u)，有 n ，n ，则DC DS n (1 ，u) 0， .DC (12，1，0) 12 12n (1，u) u0，u ， n .DS ( 12，0，1) 12 12 (1， 12，12)1利用待定系数法求平面法向量的步骤2求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量(2)取特值：在求 n 的坐标时，可令 x，y ，z 中
7、一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量(3)注意 0：提前假定法向量 n(x，y ，z)的某个坐标为某特定值时 ，一定要注意这个坐标不为 0.再练一题1已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M ，N 分别为 BB1，C 1D1 的中点，建立适当的坐标系，求平面 AMN 的一个法向量【解】 以 D 为原点，DA，DC，DD 1 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系( 如图所示) 设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，则 A(1,0,0)，M ，N .(1，1，12) (0，12，1) ， .AM (0，1，12) AN ( 1，12，1)设平面 AMN 的一个法向量为 n(
8、x，y ，z )，Error!令 y2，x3，z4，n ( 3,2，4).证明平面的法向量在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点图 322求证： 是平面 ADE 的法向量D1F 【精彩点拨】 要证明 是平面 ADE 的法向量，只需证明 D1F平面D1F ADE 即可【自主解答】 如图，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD 1 分别为 x，y ，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则D(0,0,0)，D 1(0,0,1)，A(1,0,0)，E ，F ，(1，1，12) (0，12，0)所以 ( 1,0,0)， ， ，所AD D1F (0，12，
9、1) AE (0，1，12)以 ( 1,0,0) 0，AD D1F (0，12， 1) 0，AE D1F (0，1，12)(0，12， 1)所以 ， ，又 ADAEA，AD D1F AE D1F 所以 平面 ADE，D1F 从而 是平面 ADE 的法向量D1F 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.再练一题2如图 323 所示，已知 PA矩形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是AB，PC 的中点图 323(1)指出直线 MN 的一个以 A 为起点的方向向量；(2)若PDA45 ，求证： 为平面 PCD 的
10、一个法向量MN 【解】 (1)取 PD 的中点 E，连结 NE，AE，因为 N 是 PC 的中点，所以 NEDC，NE DC.12又 DCAB，DCAB ，AM AB，12所以 AM CD，AM CD.12 12所以 NEAM，NEAM.所以四边形 AMNE 是平行四边形，所以 MNAE.所以 为直线 MN 的一个以 A 为起点的方向向量AE (2)证明：在 RtPAD 中， PDA45 ，所以 APAD，所以 AEPD，又因为 MNAE，所以 MNPD.因为 PA平面 ABCD，所以 PACD，又因为 CDAD，PAADA，所以 CD平面 PAD，因为 AE平面 PAD，所以 CDAE.又因
11、为 MNAE，所以 CDMN，又因为 CDPD D，所以 MN平面 PCD.所以 为平面 PCD 的一个法向量MN 探究共研型方向向量与法向量的特征探究 1 如何正确地判断直线的方向向量？【提示】 (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：不能为零向量；与该直线平行或重合(2)与直线 l 平行的任意非零向量 a 都是直线的方向向量，且直线 l 的方向向量有无数个(3)给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，就可以确定惟一一条过点 A 且平行于向量 a 的直线(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，
12、但它们的方向不一定相同，还可能相反探究 2 过空间任意一定点 P，能否作出平面 的法向量？能作几条？【提示】 由于过空间任意一点 P，有且仅有一条直线 PO 垂直于平面 ，因此，过空间任意一点都能作出平面 的法向量由于直线 PO 的方向向量有无数个，因此，过点 P 的平面 的法向量也有无数个探究 3 求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？【提示】 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了探究 4 依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？【提示】 不惟一利用待定系数法
13、求平面法向量时，由于方程组Error!有无数组解，因此法向量有无数个求解时，利用赋值法，只要给 x，y ，z 中的一个赋特殊值(常赋值1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0) 不能作为法向量探究 5 利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？【提示】 (1)两直线的方向向量共线(垂直) 时，两直线平行(垂直)(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行(3)两个平面的法向量共线(垂直) 时，两平面平行(垂直 )根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系(1)平面
14、 ， 的法向量分别是 u(1,1，2)， ；(3，2， 12)(2)直线 l 的方向向量 a (6,8,4) ，平面 的法向量 u .(2，2， 1)【精彩点拨】 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系【自主解答】 (1)u ( 1,1，2)， ，(3，2， 12)u(1,1，2) 3210，u，故 .(3，2， 12)(2)u (2,2，1)，a(6,8,4)，ua(2,2 ， 1)(6,8,4)121640，ua，故 l 或 l.再练一题3根据下列条件，判断相应的线、面位置关系(1)直线 l1，l 2 的方向向量分别是 a(1，3，1)，b(8,2,2)；(2)平面 ， 的法
15、向量分别是 u(1,3,0)， (3 ，9，0)【解】 (1)a(1，3，1)，b(8,2,2) ，ab8620，ab，即 l1l2.(2)u (1,3,0)，( 3，9,0) ，3u，u，即 .构建体系1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若向量 是直线 l 的一个方向向量，则向量 也是 l 的一个方向向量( )AB BA (2)若向量 a 是直线 l 的一个方向向量，则向量 ka 也是直线 l 的一个方向向量( )(3)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反( )(4)一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量( )(5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量( )【答
16、案】 (1) (2) (3) (4) (5)2若点 A(0,1,2)，B(1,0,2)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为_. 【导学号：09390080】【解析】 ( 1，1,0) ，即为 l 的一个方向向量AB 【答案】 (1，1,0)3若向量 a(x, 2,1)，b(1，y,3)都是直线 l 的方向向量，则xy_.【解析】 据题意可知，a b，故存在实数 ，使 a b，即(x,2,1) (1，y,3)，即 x，2 y,13 ，解得 ，y6，x ，x y 6 .13 13 13 193【答案】 1934若直线 l ，且 l 的方向向量为 (m,2,4)，平面 的法向量为 ，(12，
17、1，2)则 m 为_【解析】 ( m,2,4) ，(12，1，2)Error!m 1.【答案】 15如图 324，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC 90，ABBCBB 11，求平面 ABC1 的一个法向量图 324【解】 法一：设平面 ABC1 的一个法向量为 n(x，y,1)B (0,0,0)，A(0,1,0)，C 1(1,0,1)， (0,1,0) ， (1,0,1)，BA BC1 则Error!解得 x1，y0， n(1,0,1)法二：设平面 ABC1 的一个法向量为 n(x，y ，z )B(0,0,0)，A(0,1,0) ，C 1(1,0,1)， (0,1,0)， (1,0,1)，BA BC1 则Error!令 z1，则 x1，y 0， n(1,0,1)我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)
