1、耀华实验学校 2018-2019 学年上学期期末考试卷高二港澳台数学试题本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。1选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知 ABC 中， ，则 = sin:si1:23ABC:abcA. B. C. D. 2:331（2）设 ，集合 是奇数集，集合 是偶数集。若命题 ，则（ xZ:,2pxAB）A B.:,2pxB:,C D.
2、2px（3）动点 到点 及点 的距离之差为 ，则点 的轨迹是 （ ）P)0,1(M),3(NPA 双曲线 B 双曲线的一支 C 两条射线 D 一条射线（4） “1x2”是“x2”成立的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（5）设 a,b,cR, 且 ab,则( )A.acbc B. C.a2b2 D.a3b31ab（6）设首项为 ，公比为 2/3 的等比数列 的前 项和为 ，则（ ）1nnS（A） （B） （C） （D）2nSa32nS43a32nna（7）若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是 ( )A B C D0,0,（8）抛物线
3、 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（ ）24yx213yx（A） （B） （C） （D）123213（9）设等差数列 的前 项和为 ，若 , , ，则 （ nanS21m0mS31m）A. B. C. D. 3456（10）已知锐角 的内角 的对边分别为 ， ，ABC,abc23osc0A， ，则 （ ）7a6cb（A） （B） （C） （D）10985（11）已知椭圆 的右焦点 ，过点 的直线交 于 ，:E)0(12bayx )0,3(FEA两点，若 的中点坐标为 ，则 的方程为（ ）B,EA. B. C. D. 136452yx12736yx1827yx1982yx（12）如图,在长方体
4、ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA 1=1,则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分（13）不等式 的解集为 . 0)2(1x（14）设 满足约束条件 ，则 的最大值为_。,y013yx2zxy（15）已知 是等差数列， ，公差 ， 为其前 项和，若 、 、 成等naadnS1a25比数列，则 8S（16）已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并且与圆2:(1)Mxy2:(1)9NxyPM内切，圆心 的轨迹为曲线 ，则 的方程为 .NPC三解答题：共 70 分17 小题 10 分；18，19
5、，20，21，22 小题 12 分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤17.（10 分）当 x1 时，求函数 y x 的最小值。1x 118.（12 分）已知 有两个不等的负根， 无实根，2:10pxm2:4()10qxmx若 为真， 为假，求 m 的取值范围.pq19.（12 分）ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB.(1)求 B. (2)若 b=2,求ABC 面积的最大值.20.（12 分）如图, 在直三棱柱 - ABC 中, AB AC, AB = AC=2, A = 4, 点 D 是 1ABC1BC 的中点.(1)求异面直线 与 所
6、成角的余弦值;1ABCD(2)求平面 与平 面 AB 所成二面角的正弦值.121.（12 分）设 为数列 的前项和，已知 ，2 ， NnSna01annSa1（）求 ， ，并求数列 的通项公式；() 求数列 的前 项和。1a222.( 12 分)设椭圆 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F 且与 x 轴垂直21(0)xyab3的直线被椭圆截得的线段长为 . 43() 求椭圆的方程; () 设 A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆 交于 C, D 两点. 若 , 求 k 的值. 8CD高二港澳台数学答案一、选择题： BCDADDDBCDDD13 . 14.
7、 3 15. 64 16. .三.解答题： 17.（10分）18.（12 分）已知 有两个不等的负根，无实根，若 为真， 为假，求 m 的取值范围.【解析】见世纪金榜课本相关页19.（12 分）ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB.(1)求 B. (2)若 b=2,求ABC 面积的最大值.【解析】(1)因为 a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCs inB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即 cosBsinC=sinCsinB,因为 sinC0,所以 tanB=1,解得 B=
8、(2)由余弦定理得: b2=a2+c2-2accos ,即 4=a2+c2- ac,由不等式得 a2+c22ac,当且仅当 a=c 时,取等号,所以 4(2- )ac,解得 ac4+2 ,所以ABC 的面积为 acsin (4+2 )= +1.所以ABC 面积的最大值为 +1. 20.（12 分）如图, 在直三棱柱 - ABC 中, AB AC, AB = AC=2, A = 4, 点 D 是 BC 的中点.(1)求异面直线 与 所成角的余弦值;(2)求平面 与平面 AB 所成二面角的正弦值.【解析】(1)以 A 为坐标原点, 建立如图所示的空间 直角坐标系 A-xyz, 则 A(0, 0,
9、0), B(2, 0, 0), C(0, 2, 0), D(1, 1, 0), (0, 0, 4), (0, 2, 4), 所以 =(2, 0, -4), =(1, -1, -4).因为 所以异面直线 与 所成角的余弦值成角的余弦值为(2)设平面 的法向量为 = (x, y, z), 因为 =(1, 1, 0), =(0, 2, 4), 所以 =0, =0，即 x+y=0 且 y+2z =0, 取 z =1, 得 x =2,y=-2, 所以, =(2, -2, 1)是平面 的一个法向量.取平面 A B 的一个法向量为 =(0, 1, 0), 设平面与与平面 AB 所成二面角的大小为 .由|co
10、s |= 得 sin =，因此, 平面 与平面 AB 所成二面角的正弦值为21.（12 分）设 为数列 的前项和，已知 ，2 ， N（）求 ， ，并求数列 的通项公式；() 求数列 的 前 项和。【解析】（ ）令 ，得 ，因为 ，所以 ，令 ，得 ，解得 。当 时，由，两式相减，整理得 ，于是数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以， 。()由(I )知 ，记其前 项和为 ，于是 -得 从而22.( 12 分)设椭圆 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . () 求椭圆的方程; () 设 A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 , 求 k 的值. 【解析】()设 由 知 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 代入椭圆方程有 解得 于是 解得 又 ，从而 ，所以椭圆方程为 . ()设 ，由 得直线 CD 的方程为 由方程组消去 y，整理得可得 因为 所以由已知得 ，解得
