1、山西大学附中20182019 学年高二第二学期 2 月（总第一次）模块诊断数学（理）试题时间：120 分钟 考试范围：（必修二、选修 1-1） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1双曲线 的虚轴长为（ ）142xyA B C D342到两定点 、 的距离之差的绝对值)0,(1F),(2 等于 的点6的轨迹为（ ）MA椭圆 B线段 C双曲线 D两条射线3已知 ，则 是 的( ),ba”“1a2bA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4若直线 与圆 有公共点，则实数 取值范围是（ ）0yx)(2yxaA B C D1,3,13,5设 是
2、两个不同的平面， 是两条不同直线，则下列结论中错误的是（ ）、 nm、A若 ，则 /nm，B若 ，则 与 所成的角相等/、 C若 ，则 ， /D若 ，则，6若命题 ，则 为（ ）21,0ooxp： pA B,x21,0xC D2107已知 ， 是双曲线 的两个焦点，且直线 是该双曲线的一条渐),4(1F),(Cxy3近线，则此双曲线的标准方程为（ ）A B C D2yx142yx132x128已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范2mm是（ ）A 或 B12C D 或219过双曲线 左焦点 的弦 长为 ，则 （ 为右焦点）的周长是（ 96yx1FA62ABF） A B C D14281
3、0已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 作倾斜角为 的直线交抛物xy2： l o60线于 两点（点 在第一象限） ，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，则 的， MAF面积为（ ）A B C D3234811如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则下列判断中，正确1BAP1BC命题的个数是（ ）三棱锥 的体积不变； 平面 ；PD1/A平面 平面 ； 与 所成角的范围是 1112,3A 个 B 个 C 个 D 个43212已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，过椭圆 的右焦点作)0(2bayx： BC轴的垂线交直线 于点 ，若直线 的斜率是直线 的斜率的 倍，其中 为坐xAOAkO标原点，且 ，则
4、椭圆 的离心率 的取值范围为（ ）5keA B C D14， 41， 15， 510，二、填空题题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知向量 ， ，若 ，则 )5,2(),3(yxDAB/xy14已知两条直线 ，则 与 的距离为 201 lyxl： 1l215若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是_by b16已知有公共焦点 的椭圆和双曲线的离心率分别为 ，点 为两曲线的一个公共21,F21,eA点，且满足 ，则 的值为_ oA9021e三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17 （本小题满分 10 分）已知圆 外有一点 ，过点 作直6)(yxM： ),4(线
5、 l(1)当直线 与圆 相切时,求直线 的方程；l l(2)当直线 的倾斜角为 时,求直线 被圆 所截得的弦长o13518 （本小题满分 12 分）已知函数 ，求：293)(2xxf（1）函数 的图象在点 处的切线方程；)(xfy0,（2） 的单调递减区间f19 （本小题满分 12 分）如图，四边形 是矩形， 平面 ， 为 的中ABCDPABCDMPA点（1）求证： 平面 ；/PCBM（2）若 ， ，求2A3直线 与平面所成角的正弦值20 （本小题满分 12 分）已知长度为 的线段 的两个端点 分别在 轴和 轴上运动，4AB,xy动点 满足 ，记动点 的轨迹为曲线 PAB3PC（1）求曲线 的
6、方程；C（2）设不经过点 的直线 与曲线 相交于两点 若直线 与)1,0(Htxy2NM,H的斜率之和为 ，求实数 的值Nt21 （本小题满分 12 分）如图，底面 是边长为 的正方形， 平面 ，ABCD3DEABC， ， 与平面 所成的角为 DECF/F3Eo45（1）求证：平面 平面 ；A（2）求二面角 的余弦值B22 （本小题满分 12 分）已知椭圆 的焦点为 ，且椭圆 过点 ，C)0,15(,(C)1,4(M直线 不过点 ，且与椭圆交于不同的两点 mxyl： MBA（1）求椭圆 的标准方程；C（2）求证：直线 与 轴总围成一个等腰三角形BA,x1选择题1. A 2.D 3.A 4.C
7、5.D 6.B 7.A 8.D 9.D 10.C11. B 12.B二填空题12. _45_； 14._ _； 15._1 ，3 _；16._2_.三简答题17已知圆 外有一点 ，过点 作直线 16)(22yxM： )2,4(Al(1)当直线 与圆 相切时,求直线 的方程；l l(2)当直线 的倾斜角为 时,求直线 被圆 所截得的弦长o35M1 （ 1） 或 ； （2） .【详解】（1）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，满足题意. 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，则 ，解得 ，此时直线 的方程为 所以直线 的方程为 或（2）当直线 的倾斜角为 时，直线 的方程为 ，即
8、圆心 到直线 的距离为 . 所以直线 被圆 所截得的弦长18已知函数 f（x ） +（a1）x+1，a R（1）当 a1 时，求 f（x ）的单调区间；（2）若 f（x）在区间（ 1，4）上单调递减，在（6，+）上单调递增，求 a 的取值范围【解答】解：（1）因为 f（ x）x 2ax+（a1） ，所以当 a1 时，f（x ）x 2+x2，解 f（x）0 得 x2 或 x1；f （x ）0 得2x1，即 f（x）在（ ，2）与（1，+）上单调递增，在（2，1）上单调递减（6 分）（2）由（1）知 f（x ）x 2ax+（a1）（x1）x（a1） ，因为 f（x）在区间（ 1，4）上单调递减，在
9、（6，+）上单调递增，所以当 1x4 时，f（x）0；当 x6 时，f （x ）0；所以 4a16，解得 5a7（12 分）19如图，四边形 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD，M 为 PA 的中点（）求证：PC平面 BDM；（）若 PAAB 2 ，BD ，求直线 BM 与平面 PAC 所成角的正弦值【详解】（）设 AC、 BD 交于点 O，连接 OM因为四边形 ABCD 为矩形，所以点 O 是 AC 的中点，因为 M 为 PA 的中点，所以 ， （）如图建立空间直角坐标系，由题意可得 ， ，则 设平面 PAC 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，即 ，则 ，所以直线 BM 与平面 PAC 所
10、成角的正弦值为 20已知长度为 4 的线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，动点 P 满足 3，记动点 P 的轨迹为曲线 C（）求曲线 C 的方程；（）设不经过点 H（0，1）的直线 y2x+t 与曲线 C 相交于两点 M，N若直线 HM 与 HN的斜率之和为 1，求实数 t 的值【解答】解：（）设 P（x，y ） ，A（m ，0） ，B（0，n） ， ，（x，yn）3（mx，y）（3m3x，3y） ，即 ， ，|AB| 4，m 2+n216， ，曲线 C 的方程为： ；（）设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，由 ，消去 y 得，37x2+36tx+9
11、（t 21）0，由（36t） 24379（ t21）0，可得 ，又直线 y2x+t 不经过点 H（0，1） ，且直线 HM 与 HN 的斜率存在，t1，又 ， ，k HM+kHN4 1，解得 t3，故 t 的值为 3211如图，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，DE平面ABCD， CFDE，DE 3 CF，BE 与平面 ABCD 所成的角为 45（1）求证：平面 ACE平面 BDE；（2）求二面角 FBE D 的余弦值【解答】 （1）证明：DE 平面 ABCD，AC平面 ABCDDEAC又底面 ABCD 是正方形，ACBD ，又 BDDE D ，AC平面 BDE，又 AC平面 ACE，平
12、面 ACE平面 BDE（2）以 D 为坐标原点，DA、DC、DE 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz，BE 与平面 ABCD 所成的角为 45，即EBD 45，DEBD AD3 ，CF DE A（3，0，0） ，B（3，3，0） ，C （0，3，0） ，E（0，0，3 ） ，F（0，3， ） ， （3，0， ） ， （0，3，2 ） ，设平面 BEF 的一个法向量为 （x，y，z） ，则 ，即 ，令 z3 ，则 （2，4，3 ） 又 AC平面 BDE， （3，3，0）为平面 BDE 的一个法向量cos 二面角 FBE D 为锐角，二面角 FBE D 的余弦值为 22 （1
13、6 分）已知椭圆 C 的焦点为（ ，0） ， （ ，0） ，且椭圆 C 过点 M（4，1） ，直线 l：y x +m 不过点 M，且与椭圆交于不同的两点 A， B（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求证：直线 MA，MB 与 x 轴总围成一个等腰三角形【解答】解：（1）设椭圆 C 的标准方程为 ，由椭圆的定义可得 ， ，b 2a 2155，因此，椭圆 C 的标准方程为 ；（2）设点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，将直线 l 的方程代入椭圆方程，消去 y 并化简得5x2+8mx+4m2200，由韦达定理可得 ， ，直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，所以，64m 220（4m 220）16（25m 2）0，解得5m5，所以，直线 MA、MB 的斜率都存在且不为零，设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1、k 2，则 ，故原命题成立
