1、空间向量与立体几何一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1. 与向量（-3，-4 ，5）共线的单位向量是 （ ）（A） （ ）和（ ） ； （B） （ ） ；32,1032,10532,105（C ） （ ）和（ ） ； （D） （ ） ；,5, 2,2. 在下列命题中：若向量 共线，则向量 所在的直线平行；,ab,ab若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面；,ab若三个向量 两两共面，则向量 共面；,c,c已知是空间的三个向量 ，则对于空间的任意一个向量 总存在实数 x,y,z 使得,c p；其中正确的命题的个数是 （ ）pxaybz（A）0 （B）1 （C）2 （D）33.
2、已知 A、B、C 三点不共线，点 O 为平面 ABC 外的一点，则下列条件中，能得到 M平面ABC 的充分条件是 （ ）（A） ； （B） ；1OM13MOABC（C ） ； （D）24. 已知点 B 是点 A（3，7，-4）在 xOz 平面上的射影，则 等于 （ ）2()（A） （9，0，16） （B）25 （C）5 （D ）135. 设平面 内两个向量的坐标分别为（1，2 ，1） 、 （-1，1，2 ） ，则下列向量中是平面的法向量的是（ ）A（-1，-2 ，5 ） B（-1,1,-1） C（1, 1,1） D（1，-1，-1）6. 如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 AB=
3、 BB1，则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为 （ ） （A）6 0 （B）9 0 （C ）105 （D）757. 到定点 的距离小于或等于 1 的点集合为（ ）,0A. B.22|1xyzyz22,|xyzyzC. D., 18. 已知 均为单位向量,它们的夹角为 60,那么 等于（ ）ab 3abA B C D471019. 在平面直角坐标系中 , ,沿 x 轴把平面直角坐标系折成 120的二面角后,(2,3)()A则线段 AB 的长度为（ ） A B C D224210. 已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“ ”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充
4、分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题（每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上）11. 若空间三点 A（1 ，5，-2） ，B（2 ，4，1） ，C（p,3,q+2）共线，则 p=_,q=_。12. 设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点，DEAB 于 E(如图)现将ADE 沿 DE 折起，使二面角 ADE B 为 45，此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点B，则 M、N 的连线与 AE 所成角的大小等于_ 13. 如图， PA平面 ABC，ACB=90且PA=AC=BC=a 则异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值等于_；14.已知 ， ， ，
5、若 共同作用于一123Fijk23Fijk345Fijk123,F物体上，使物体从点 M（1 ， -2，1 ）移动到 N（3，1 ，2 ） ，则合力所作的功是 .三、解答题（本大题共四个小题，15 题 11 分，16 题 11 分，17 题 12 分，共 24 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）15. 设向量 并确定 的关系，使3,54,8,abab， 计 算 ,轴垂直abz与16. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 1，P、 Q 分别是线段 AD1 和 BD 上的点，且D1P：PA=DQ ： QB=5：12，（1 ） 求线段 PQ 的长度；（2 ） 求证 PQAD；
6、 （3 ） 求证：PQ/平面 CDD1C1；17. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 ，E，F 分别是 AD，PC 的中点 2（）证明：PC 平面 BEF；（）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。D CBAE NMBNMD CA18. 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1, 且 SA底面 ABCD,若边 BC 上存在异于 B,C 的一点 P,使得 .PSD(1)求 a 的最大值;(2)当 a 取最大值时, 求异面直线 AP 与 SD 所成角的大小;(3)当 a 取最大值时, 求平面
7、SCD 的一个单位法向量 n及点 P 到平面 SCD 的距离.参考答案1-5 AABBB 6-10 BACBB11. 3， 2 12. 13. 14. 14 315. 解： （9,15,-12 ）-(4,2,16)=(5,13,-28)(,54)2(,18)ab(3,5,-4) (2,1,8)=6+5-32=-21由 ()(0,1(3,4) (0,1480即当 满足 0 即使 与 z 轴垂直.,48ab16. 解：以 D 为坐标原点。DA、DC、DD 1 分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为 1，所以 D（0，0 ，0） ，D 1（0，0 ，1） ，B （1，
8、1，0） ，A（1，0 ，0） ，P、Q 分别是线段 AD1 和 BD 上的点，且 D1P：PA=DQ： QB=5：12，P ，Q（52(,)7） ， ，所以5,01752(,)7（1 ） ；3|1PQ（2 ） ， ，PQAD；(,0)DA0DA（3 ） ， ， ，又 平面(0,1)DC1(0,) 15217PQDC1,DCCDD1C1，PQ 平面 CDD1C1， PQ/ 平面 CDD1C1；17. 解法一 （）如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 算在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系。AP=AB=2,BC=AD=2 2,四边形 ABCD 是矩形。A，B，C，D 的坐标为 A
9、(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 2,0)，D(0，2 2，0)，P(0,0,2)又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，E(0， 2，0),F(1， 2，1)。 =（2，2 2，-2 ）PC=（-1， 2，1） =（ 1,0, 1） ， =-2+4-2=0， =2+0-2=0，EFPCBFEF ， ，PCBF,PCEF,BF EF=F,PC平面 BEFPCB（II ）由（I）知平面 BEF 的法向量平面 BAP 的法向量设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 ，则 =45， 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45解法二 （I）连接 PE，EC 在 PA=AB=CD, A
10、E=DE, PE= CE, 即 PEC 是等腰三角形，又 F 是 PC 的中点，EFPC,又 ，F 是 PC 的中点，BFPC.又18. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设 P(a,x,0). (0x2)(1) ,1PSax,20PDax由 得: 2()即: 2()0xx当且仅当 x=1 时,a 有最大值为 1.此时 P 为 BC 中点;(2) 由(1)知: (1,)(,21)APSD 0cos, ,5A异面直线 AP 与 SD 所成角的大小为 1cos.ar(3) 设 是平面 SCD 的一个法向量, 1,nxyz (,0)(,21)SDC由 得110212xxDCnyzySA取 (,)n平面 SCD 的一个单位法向量 150,(,),5n又 在 方向上的投影为(0,1)CPn,15nCP点 P 到平面 SCD 的距离为 5.
