1、第 2 课时 椭圆方程及性质的应用1掌握直线与椭圆的位置关系2通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题( 重点 )3能利用椭圆的有关性质解决实际问题(难点)基础初探教材整理 1 点与椭圆的位置关系阅读教材 P40P 41 内容，完成下列问题设点 P(x0，y 0)，椭圆 1(ab0)x2a2 y2b2(1)点 P 在椭圆上 1；x20a2 y20b2(2)点 P 在椭圆内 1；x20a2 y20b2(3)点 P 在椭圆外 1.x20a2 y20b2已知点(2,3)在椭圆 1 上，则下列说法正确的是 _x2m2 y2n2点( 2,3)在椭圆外； 点(3,2) 在椭圆上；点(
2、 2，3) 在椭圆内； 点(2，3) 在椭圆上【解析】 由椭圆的对称性知点(2，3)也在椭圆上【答案】 教材整理 2 直线与椭圆的位置关系1直线与椭圆的位置关系及判定直线 ykxm 与椭圆 1(ab0)联立Error!消去 y 得一个一元二x2a2 y2b2次方程位置关系 解的个数 的取值相交 两解 0相切 一解 0相离 无解 02.弦长公式设直线 ykxb 与椭圆的交点坐标分别为 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，则|AB|x1x 2| |y1y 2|.1 k21 1k2判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)点 P(2,1)在椭圆 1 的内部( )x24 y29(2)过椭圆外一点
3、一定能作两条直线与已知椭圆相切( )(3)过点 A(0,1)的直线一定与椭圆 x2 1 相交( )y22(4)长轴是椭圆中最长的弦( )【答案】 (1) (2) (3) (4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型直线与椭圆的位置关系已知椭圆 4x2y 21 及直线 yxm，问 m 为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？ 【导学号：25650053】【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系【自主解答】 将 yx m 代入 4x2y 21，消去 y 整理得 5x22mxm 210.4m 220
4、(m 21) 2016m 2.当 0 时，得 m ，直线与椭圆相切52当 0 时，得 m ，直线与椭圆相交52 52当 0 时，得 m 或 m ，直线与椭圆相离52 521直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的， 的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系2有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解再练一题1已知椭圆的方程为 x2 2y22.(1)判断直线 yx 与椭圆的位置关系；3(2)判断直线 yx2 与椭圆的位置关系；(3)在椭圆上找一点 P，使 P
5、到直线 yx2 的距离最小，并求出这个最小距离【解】 (1)由 Error!得 3x24 x40.3(4 )24340，3直线 yx 与椭圆相切3(2)由Error!得 3x28x60.6443680，直线 yx2 与椭圆相离(3)由(1)、(2)知直线 yx 与椭圆的切点 P 满足条件，由(1)得 P 的坐标3为 ，( 233，33)最小距离 d .|2 3|2 2 62直线与椭圆的相交弦问题已知椭圆 1 和点 P(4,2)，直线 l 经过点 P 且与椭圆交于x236 y29A、B 两点. 【 导学号：25650054】(1)当直线 l 的斜率为 时，求线段 AB 的长度；12(2)当 P
6、点恰好为线段 AB 的中点时，求 l 的方程【精彩点拨】 (1)设直线方程联立方程组利用弦长公式求解；(2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用【自主解答】 (1)由已知可得直线 l 的方程为 y 2 (x4)，12即 y x.12由Error!可得 x218 0，若设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)则 x1x 20，x 1x218.于是|AB| x1 x22 y1 y22x1 x22 14x1 x2252 x1 x22 4x1x2 6 3 .52 2 10所以线段 AB 的长度为 3 .10(2)法一：设 l 的斜率为 k，则其方程为 y2k (x4)联立Error!消去 y 得
7、(14k 2)x2(32k 216k )x(64k 264k20) 0.若设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，32k2 16k1 4k2由于 AB 的中点恰好为 P(4,2)，所以 4，x1 x22 16k2 8k1 4k2解得 k ，且满足 0.12这时直线的方程为 y2 (x4)，12即 y x4.12法二：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有Error!两式相减得 0，x2 x2136 y2 y219整理得 kAB ，y2 y1x2 x1 9x2 x136y2 y1由于 P(4,2)是 AB 的中点，x1x 28，y 1y 24，于是 kAB ，
8、98364 12于是直线 AB 的方程为 y2 (x4)，12即 y x4.121求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联立，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长一定要熟记公式的形式并能准确运算2解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)是椭圆 1(
9、ab0)上的两个不同的点，M(x 0，y 0)是线段 AB 的x2a2 y2b2中点，则Error!由，得 (x x ) (y y )0，变形得1a2 21 2 1b2 21 2 ，即 kAB .y1 y2x1 x2 b2a2x1 x2y1 y2 b2a2x0y0 b2x0a2y0再练一题2椭圆 1(ab0)的离心率为 ，且椭圆与直线 x2y80 相交x2a2 y2b2 32于 P， Q，且 |PQ| ，求椭圆的方程. 【导学号： 25650055】10【解】 e ，b 2 a2.32 14椭圆方程为 x24y 2a 2.与 x2y80 联立消去 y，得 2x216x64a 20，由 0 得
10、a232，由弦长公式得 10 642(64 a 2)54a236 ，b 2 9.椭圆的方程为 1.x236 y29探究共研型椭圆中的最值(或范围)问题探究 在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？【提示】 (1)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围(2)解决椭圆 1(ab0) 中的范围问题常用的关系有x2a2 y2b2axa ，by b ；离心率 0e 1；一元二次方程有解，则判别式 0.已知椭圆 C：x 22y 2
11、4.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的最小值【精彩点拨】 (2)中，设 A，B 坐标 0| AB|化为关于 x1 的函数OA OB 求最值【自主解答】 (1)由题意，椭圆 C 的标准方程为 1，x24 y22所以 a24，b 22，从而 c2a 2b 22.因此 a2，c .2故椭圆 C 的离心率 e .ca 22(2)设点 A，B 的坐标分别为 (t,2)，(x 0，y 0)，其中 x00.因为 OAOB，所以 0，OA OB 即 tx02y 00，解得 t .2y0x0又 x 2y 4，2
12、0 20所以|AB| 2(x 0t) 2(y 02) 2 2(y 02)(x0 2y0x0)2x y 4x 4 4(0x 4)20 204y20x20 20 4 x202 24 x20x20 x202 8x20 20因为 4(01 Bm1 且 m 3Cm3 Dm0 且 m3【解析】 由Error! 得(m 3) x24mxm0.由 0 且 m 3，得 m1 且 m3，又m0，m 1 且 m3.【答案】 B3椭圆 1 截直线 yx 所得弦长为_ x24 y22【解析】 联立两方程得Error!代入得 3x24，x .233代入得Error! 或Error!两交点坐标为 A ，(233，233)B
13、 ，( 233， 233)弦长|AB| .(233 233)2 (233 233)2 463【答案】 4634若过椭圆 1 内一点 (2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方x216 y24程是_. 【导学号：25650057】【解析】 设弦两端点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 1， 1，x2116 y214 x216 y24两式相减并把 x1x 24， y1y 22代入得 ，所求直线方程为 y1 (x2)，即 x2y40.y1 y2x1 x2 12 12【答案】 x 2y 405如图 215，已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 1 的下焦点，交椭圆y28 x24于 A， B 两点，求弦 AB 的长图 215【解】 令点 A，B 的坐标分别为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)由椭圆方程知 a28，b 24，c 2，a2 b2椭圆的下焦点 F 的坐标为 F(0，2)，直线过点 B(2,0)和点 F(0，2)，直线 l 的方程为 yx2.将其代入 1，化简整理得 3x24x40，y28 x24x1x 2 ，x 1x2 ，43 43|AB| x2 x12 y2 y12 2x2 x12 2x1 x22 4x1x2 .2(43)2 4( 43) 823
