1、阶段质量检测( 二) 圆锥曲线与方程考试时间 ：120 分钟 试卷总分： 160 分二题 号 一15 16 17 18 19 20 总分得 分一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分将答案填在题中的横线上)1(江苏高考)双曲线 1 的两条渐近线的方程为_x216 y292(四川高考改编)抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2 1 的渐近线的距离是y23_3(辽宁高考)已知 F 为双曲线 C： 1 的左焦点， P，Q 为 C 上的点若 PQ 的长x29 y216等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则PQF 的周长为_4已知动圆 P 与定圆 C：(x2)
2、2y 21 相外切，又与定直线 l：x1 相切，那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是_5两个焦点为(2,0)且过点 P 的椭圆的标准方程为 _(52， 32)6已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，AF2，则BF _.7已知椭圆 C： 1(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，x2a2 y2b2连接 AF，BF.若 AB10，BF 8，cos ABF ，则 C 的离心率为 _458抛物线 yx 2 上到直线 2xy4 距离最近的点的坐标是_9设点 P 是双曲线 1(a0，b0) 与圆 x2y 22a 2 的一个交点，F 1，F 2 分别是双
3、x2a2 y2b2曲线的左、右焦点，且 PF13PF 2，则双曲线的离心率为_10已知双曲 C1 1(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x 22py(p0)的焦点x2a2 y2b2到双曲线 C1 的渐进线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为 _11(新课标全国卷改编)已知椭圆 E： 1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的x2a2 y2b2直线交 E 于 A， B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为_12若椭圆 1(mn0)和双曲线 1( ab0)有相同的左、右焦点x2m y2n x2a y2bF1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则 PF1PF2
4、的值是_ 13若椭圆 mx2ny 21(m0，n0)与直线 y1x 交于 A、B 两点，过原点与线段AB 的中点的连线斜率为 ，则 的值为_22 nm14(四川高考改编)从椭圆 1(ab0) 上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点x2a2 y2b2F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_ 二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14 分)已知双曲线与椭圆 1 有公共的焦点，并且椭圆的离心率x236 y249与双曲线的离心率之比为 ，求
5、双曲线的方程3716(本小题满分 14 分)已知中心在坐标原点、焦点在 x 轴上的椭圆，它的离心率为 ，32且与直线 xy10 相交于 M、N 两点，若以 MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程17.(本小题满分 14 分)如图，F 1，F 2 分别是椭圆 C： 1( ab0)x2a2 y2b2的左、右焦点，A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点，F 1AF260.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)已知AF 1B 的面积为 40 ，求 a，b 的值318(本小题满分 16 分)已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与 C 相交于A，
6、B 两点，若 |AB|8，求直线 l 的方程19(本小题满分 16 分)( 陕西高考 )已知动点 M(x，y )到直线 l：x4 的距离是它到点N(1,0)的距离的 2 倍(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A，B 两点，若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率20(本小题满分 16 分)如图，设椭圆的中心为原点 O，长轴在x 轴上，上顶点为 A，左、右焦点分别为 F1，F 2，线段 OF1，OF 2 的中点分别为 B1，B 2，且AB 1B2 是面积为 4 的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过 B1 作直线交椭圆于
7、 P，Q 两点，使 PB2QB 2，求PB 2Q 的面积答 案阶段质量检测( 二) 圆锥曲线与方程1解析：令 0，解得 y x.x216 y29 34答案：y x342解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为 y x，所以所求距3离为 .| 31 0|1 3 32答案：323解析：由题意因为 PQ 过 双曲线的右焦点(5,0) ，所以 P，Q 都在双曲线的右支上，则有FP PA6， FQQA6，两式相加，利用双曲线的定义得 FPFQ28，所以PQF 的周长为 FPFQ PQ44.答案：444解析：设 P(x，y)，动圆 P 在直线 x1 的左侧，其半径等于 1x，则 PC
8、1x1，即 2x .x 22 y2y28x.答案：y 28x5解析：两个焦点为(2,0)，椭圆 的焦点在 x 轴上，且 c2.设椭圆的标准方程为 1(a b0)，x2a2 y2b2Error!，解得 a210，b 26.椭圆 的 标准方程为 1.x210 y26答案： 1x210 y266解析：设点 A，B 的横坐标分别是 x1，x2，则依题意有，焦点 F(1,0)，AF x1 12，x 11，直线 AF 的方程是 x1，故 BFAF2.答案：27解析：在ABF 中，AF 2AB 2BF 22AB BFcosABF10 28 22108 36，45则 AF6.由 AB2AF 2BF 2 可知，
9、 ABF 是直角三角形，OF 为斜边 AB 的中线，cOF 5.设椭圆的另一焦点为 F1，因 为点 O 平分 AB，且平分 FF1，所以四边形 AFBF1AB2为平行四边形，所以 BFAF 18.由椭圆的性质可知 AFAF 1142aa7，则 e .ca 57答案：578解析：设 P(x，y)为抛物线 上任意一点， 则 P 到直线的距离d ，|2x y 4|5 |2x x2 4|5 |x 12 3|5当 x1 时，d 取最小值 ，此时 P 的坐标为(1,1) 35答案：(1,1)9解析：由Error!得 PF13a， PF2a，设F 1OP，则POF 2180，在PF 1O 中，PF OF O
10、P 22OF 1OPcos ，21 21在OPF 2 中，PF OF OP 22OF 2OPcos(180) ，2 2由 cos(180) cos 与 OP a，2得 c23a 2，e .ca 3aa 3答案： 310解析：双曲线 C1： 1(a0，b0)的率心率为 2. 2， b a.双x2a2 y2b2 ca a2 b2a 3曲线的渐近线方程为 xy0.抛物线 C2：x22py (p0)的焦点 到双曲线的渐近线的距3 (0，p2)离为 2.| 30p2|2p 8.所求的抛物 线方程为 x216y.答案：x 216y11解析：因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1， 1)，所以直线 AB
11、 的方程为 y (x3) ，代12入椭圆方程 1 消去 y，得 x2 a2x a2a 2b20，x2a2 y2b2 (a24 b2) 32 94所以 AB 的中点的横坐标为 1，32a22(a24 b2)即 a22b 2，又 a2b 2c 2，所以 bc3.所以 E 的方程为 1.x218 y29答案： 1x218 y2912解析：取 P 在双曲线的右支上，则Error!Error!PF1PF2( )( )m a.m a m a答案：ma13解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点( x0，y0)由Error!得(mn)x 22nxn10x1x 2 ，x0 .y0 .2nm n
12、 nm n mm n又 ， ， .y0x0 22 mn 22 nm 2答案： 214解析：由已知，点 P(c， y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P .ABOP，kABk OP，即 ，则 bc， a2b 2c 22c 2，则 ，即该椭圆( c，b2a) ba b2ac ca 22的离心率是 .22答案：2215解：在椭圆 1 中，焦点坐 标为(0， )，x236 y249 13离心率 e ，137设双曲线的方程为 1(a0，b0)，y2a2 x2b2Error!解得Error!双曲 线 的方程为 1.y29 x2416解：设椭圆方程为 1(ab0) ，x2a2 y2b2e ，a24b 2，即 a2
13、b.32椭圆 方程 为 1.x24b2 y2b2把直线方程代入并化简，得 5x28x44b 20.设 M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1x 2 ，x1x2 (44b 2)85 15y1y2(1x 1)(1x 2)1(x 1x 2) x1x2 (14b 2)15由于 OMON，x1x2y 1y20.解得 b2 ，a2 .58 52椭圆 方程 为 x2 y21.25 8517解：(1)由题意可知， AF1F2为等边三角形， a2c ，所以 e .12(2)法一：a 24c 2，b23c 2，直线 AB 的方程为 y (xc)3代入椭圆方程 3x24y 212c 2，得 B .(85c， 3
14、35c)所以|AB| | c0| c.1 385 165由 SAF1B |AF1|AB|sin F1AB a c a240 ，解得 a10，b5 .12 12 165 32 235 3 3法二：设 ABt.因为|AF 2|a ，所以|BF 2|ta.由椭圆定义 BF1BF 22a 可知，BF 13at .由余弦定理得(3at) 2a 2t 22atcos 60可得，t a.85由 SAF1B a a a240 知，12 85 32 235 3a10，b5 .318解：抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，当直 线 l 斜率不存在时，|AB| 4，不合题意设直线 l 的方程为 yk(x1)，
15、代入 y24x，整理得 k2x2(2k 24)x k 20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 k0，则 x1x 2 .2k2 4k2由抛物线定义知，|AB| AF|BF|x 11x 21x 1x 22，x1x 228 ，即 28.2k2 4k2解得 k1.所以直线 l 的方程为 y( x1)，即 xy10，xy 10.19解：(1)设 M 到直线 l 的距离为 d，根据题意 d2| MN|.由此得|4x| 2 ，x 12 y2化简得 1，x24 y23所以，动点 M 的轨迹方程为 1.x24 y23(2)法一：由题意， 设直线 m 的方程 为 ykx3，A(x1，y1)，B(x
16、2，y2)将 ykx3 代入 1 中，x24 y23有(34k 2)x2 24kx240，其中 (24k)2424(34k 2)96(2 k23)0，故 k2 .32由根与系数的关系得，x1x 2 ，24k3 4k2x1x2 .243 4k2又因为 A 是 PB 的中点，故 x22x 1，将代入 ，得x1 ，x ，8k3 4k2 21 123 4k2可得 2 ，且 k2 ，( 8k3 4k2) 123 4k2 32解得 k 或 k ，32 32所以直线 m 的斜率为 或 .32 32法二：由题意，设直线 m 的方程为 ykx3， A(x1，y1)，B(x2，y2)A 是 PB 的中点，x1 ，
17、x22y1 .3 y22又 1，x214 y213 1，x24 y23联立 ，解得Error!或Error!即点 B 的坐标为(2,0)或(2,0)，所以直线 m 的斜率为 或 .32 3220解：(1)设所求椭圆的标准方程为 1( ab0)，右焦点为 F2(c,0)x2a2 y2b2因AB 1B2 是直角三角形且| AB1|AB 2|，故B 1AB2为直角，从而|OA| |OB 2|，即 b .c2结合 c2a 2b 2 得 4b2a 2b 2，故 a25b 2，c2 4b2，所以离心率 e .ca 255在 RtAB1B2 中，OAB 1B2，故SAB1B2 |B1B2|OA|OB 2|O
18、A|12 bb 2，c2由题设条件 SAB1B24 得 b24，从而 a25b 220.因此所求椭圆的标准方程为 1.x220 y24(2)由(1)知 B1(2,0) ，B2(2,0)由 题意，直线 PQ 的倾斜角不 为 0，故可设直线 PQ 的方程为 xmy2，代入 椭圆方程得(m25)y 24my 160.(*)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1，y2 是方程(*)的两根，因此 y1y 2 ，y1y2 .4mm2 5 16m2 5又 ( x1 2，y1)， (x 22， y2)，所以BB (x 12)(x 22) y1y22P(my 1 4)(my24)y 1y2(m 21) y1y24m( y1y 2)16 16 16m2 1m2 5 16m2m2 5 ，16m2 64m2 5由 PB2QB2，知 0，BP2Q即 16m2640，解得 m2.当 m2 时，方程(*) 化为 9y28y160.故 y1 ，y2 ，|y1y 2| ，4 4109 4 4109 8109PB2Q 的面积 S |B1B2|y1y 2| .12 16109当 m2 时，同理可得(或由 对称性可得) PB2Q 的面积 S .16109综上所述，PB 2Q 的面积为 .16109
