1、2.2.2 椭圆的几何性质1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质.(重点)2.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.(难点)基础初探教材整理 椭圆的几何性质阅读教材 P31P 33 例 1 以上部分，完成下列问题 .1.椭圆的简单几何性质焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2范围 axa 且by bbxb 且aya顶点 (a,0)，(0，b) (b,0)，(0，a)轴长 长轴长2a，短轴长2b焦点 (c,0) (0，c)焦距 F1F22c对称性 对称轴 x 轴、y 轴，对称中心(0,0)离心率 e
2、 (0e 1)ca2.椭圆的离心率1.判断正误：(1)椭圆 1(ab0) 的长轴长等于 a.( )x2a2 y2b2(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 ac .( )(3)椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆.( )【解析】 (1).椭圆 1(ab0) 的长轴长等于 2a.x2a2 y2b2(2).椭圆上的点到焦点的距离的最大值为 ac ，最小值为 ac .(3).离心率 e 越小 c 就越小，这时 b 就越接近于 a，椭圆就越圆.ca【答案】 (1) (2) (3)2.椭圆 1 的离心率是_.x216 y225【导学号：24830029】【解析】 由方程可知a225，a5，c 2a 2b 2
3、25169，c3，e .ca 35【答案】 35质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型已知椭圆方程求其几何性质已知椭圆 x2( m3)y 2m(m0)的离心率 e ，求 m 的32值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.【精彩点拨】 把椭圆方程标准化 利用离心率求 m 的值 求 a，b，c 求性质【自主解答】 椭圆方程可化为 1.x2m y2mm 3m 0，m ，mm 3 mm 2m 3 mm 3即 a2m，b 2 ，c .mm 3 a2 b2 mm 2m 3由 e 得 ，m1.32 m 2m
4、 3 32椭圆的标准方程为 x2 1.y214a1， b ，c .12 32椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点分别为 F1 ，F 2 ；( 32，0) ( 32，0)四个顶点分别为 A1(1,0) ，A 2(1,0)，B 1 ，B 2 .(0， 12) (0，12)用标准方程研究几何性质的步骤将椭圆方程化为标准形式焦点位置求出 a，b，c写出椭圆的几何性质再练一题1.求椭圆 9x2 16y2144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标 . 【解】 把已知方程化成标准方程 1，于是 a4，b3，c x216 y29 ， 椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 8 和 2b6，离心率 e 16
5、 9 7ca，74两个焦点坐标分别是( ，0)，( ，0)，7 7四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0) ，(0，3)，(0,3).由椭圆的几何性质求方程(1)已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为32_.(2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为 ，则椭圆的标准方程为_.3【精彩点拨】 解决问题的关键是根据已知条件求出 a2 和 b2.【自主解答】 (1)设椭圆 G 的标准方程为 1(ab0)，半焦距为x2a2 y2b2c，则Error! Error!b2a 2
6、c 236279，椭圆 G 的方程为 1.x236 y29(2)由已知Error!Error! 从而 b29，所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x212 y29 x29 y212【答案】 (1) 1 (2) 1 或 1.x236 y29 x212 y29 x29 y2121.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法.2.根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数” ，一般步骤是：(1) 求出 a2，b 2 的值； (2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程.再练一题2.直线 x2y20 过椭圆 1 的左焦点 F1 和一个顶点 B，则椭圆x2a2 y2b2的方程为_.【
7、解析】 直线 x2y 2 0 与 x 轴的交点为(2,0)，即为椭圆的左焦点，故 c2.直线 x2y20 与 y 轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故 b1.故 a2b 2c 25，椭圆方程为 y 21.x25【答案】 y 21x25求椭圆的离心率(1)椭圆 1( ab0)的半焦距为 c，若直线 y2x 与椭x2a2 y2b2圆的一个交点 P 的横坐标恰为 c，则椭圆的离心率为_. 【导学号：24830030】(2)已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到 x 轴的距离等于短半轴长的 ，则椭圆的离心率为_.23【精彩点拨】 (1)求出点 P 的坐标，利用点 P 在椭圆上其坐标满足椭圆的方程
8、构建关于离心率 e 的方程，解方程可得离心率 .(2)在焦点三角形 PF1F2 中利用椭圆的定义与勾股定理得到 a，b 的关系式，可求离心率；或仿照(1)题的做法也可以求解.【自主解答】 (1)依题意有 P(c,2c)，点 P 在椭圆上，所以有 1，c2a2 4c2b2整理得 b2c2 4a2c2a 2b2，又因为 b2a 2c 2，代入得 c46a 2c2a 40，即 e46e 210，解得 e232 (32 舍去)，从而 e 1.2 2 2(2)方法一：设焦点坐标为 F1(c,0)，F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为 (c， b).在 RtMF1F2 中，F 1F M
9、F MF ，即 4c2 b2MF ，23 2 2 21 49 21而 MF1MF 2 b2a，整理，得 3c23a 22ab.4c2 49b2 23又 c2a 2b 2 3b2a. .b2a2 49e2 1 ，e .c2a2 a2 b2a2 b2a2 59 53法二：设 M ，代入椭圆方程，得 1，(c，23b) c2a2 4b29b2 ， ，即 e .c2a2 59 ca 53 53【答案】 (1) 1 (2)253求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 e 求解.若已知 a，b 或 b，c 可借助ca于 a2b 2c 2 求出 c 或 a，再代入公式 e 求解
10、.ca(2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助于 a2b 2c 2，转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围.再练一题3.点 F 为椭圆 1(ab0)的一个焦点，若椭圆上存在点 A 使 VAOFx2a2 y2b2为正三角形，那么椭圆的离心率为_.【解析】 由题意，可设椭圆的焦点坐标为(c,0) ，因为 AOF 为正三角形，则点 在椭圆上，代入得 1，即 e2 4，得(c2，32c) c24a2 3c24b2 3e21 e2e242 ，解得 e 1.3 3【
11、答案】 13探究共研型直线与椭圆的综合应用探究 1 已知直线 ykxm 和椭圆 1(ab 0)，如何判断直线与椭x2a2 y2b2圆的位置关系？【提示】 由Error! 得(a 2k2b 2)x22kma 2xa 2(m2b 2)0，设该二次方程的判别式为 ，若 0，则直线与椭圆有两个交点；若 0，则直线与椭圆有一个交点；若 0，则直线与椭圆没有交点.探究 2 如果直线与椭圆有两个交点，那么直线与椭圆交点的横坐标与探究 1 中得到的关于 x 的二次方程有什么关系？【提示】 探究 1 中得到的关于 x 的二次方程(a 2k2b 2)x22kma 2x a2(m2b 2)0 的两个根分别是直线与椭
12、圆交点的横坐标.探究 3 设直线与椭圆有两个交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，线段 AB 的中点为 M，那么如何求线段 AB 的长和 M 的坐标？【提示】 方法一：解方程(a 2k2b 2)x22kma 2xa 2(m2b 2)0，可得x1，x 2，由 y kxm 可得 y1，y 2，即得 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)的坐标，然后利用两点间距离公式和中点坐标公式可求线段 AB 的长和 M 的坐标.方法二：根据韦达定理，采取“设而不求”思路解决问题.即 AB x1 x22 y1 y22 x1 x22 kx1 m kx2 m2 x1 x22 kx1 kx22 1 k2
13、x1 x22 ，1 k2 x1 x22 4x1x2点 M 的坐标可直接利用韦达定理求解.上述两种方法，第一种方法运算太过繁琐，一般采用第二种方法求解此类问题.已知点 A(0，2) ，椭圆 E： 1(ab0)的离心率为x2a2 y2b2，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 ，O 为坐标原点.32 233(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点.当OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【自主解答】 (1)设 F(c,0)，由条件知， ，得 c .又 ，2c 233 3 ca 32所以 a2，b 2a 2c 2 1.故 E 的方程为 y 21.x2
14、4(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：y kx 2，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2).将 ykx2 代入 y 21 中，得(14k 2)x216kx120.x24当 16(4k 23)0，即 k2 时，由根与系数的关系得：34x1x 2 ，x 1x2 .16k4k2 1 124k2 1从而|PQ | |x1x 2|k2 1 .4k2 1 4k2 34k2 1又点 O 到直线 PQ 的距离 d .2k2 1所以OPQ 的面积 SOPQ d|PQ| .12 44k2 34k2 1设 t，则 t0，S OPQ .4k2 34tt2 4 4t 4t因为 t 4，当且仅当 t2，即 k 时
15、等号成立，且满足 0.4t 72所以，当OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y x2 或 y x2.72 72椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其它章节知识结合考查，如不等式、三角函数及平面向量，特别是与直线方程，解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧.再练一题4.已知椭圆 1(ab0)的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距x2a2 y2b2 32离为 2.(1)求该椭圆的方程；(2)若 P 是该椭圆上的一个动点， F1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，求 PF1 的最大值与最小值.PF2 【解】 (1)设椭圆的半焦距为
16、c，由题意 ，且 a2，得ca 32c ， b1 ，3所求椭圆方程为 y 21.x24(2)设 P(x，y)，由(1)知 F1( ，0)，F 2( ，0)，3 3则 ( x，y)( x，y)PF1 PF2 3 3x 2y 23x 2 3 x22，(1 x24) 34x2,2， 当 x0，即点 P 为椭圆短轴端点时， 有最小值2；当 x2，即点 P 为椭圆长轴端点时， 有PF1 PF2 PF1 PF2 最大值 1.构建体系1.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，则 C 的方程12是_.【解析】 由题意知 c 1，e ，所以 a2， b2a 2c 23.故所求椭ca
17、12圆方程为 1.x24 y23【答案】 1x24 y232.已知椭圆 1 有两个顶点在直线 x2y 2 上，则此椭圆的焦点坐x2a2 y2b2标是_.【导学号：24830031】【解析】 直线 x2y2 过(2,0)和(0,1) 点， a2，b1，c ，椭圆3焦点坐标为( ，0).3【答案】 ( ，0)33.若椭圆 x2 my21 的焦点在 y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍 .则 m 的值为_.【解析】 将原方程变形为 x2 1.由题意知y21ma2 ，b 21，a ， b1.1m 1m 2，m .1m 14【答案】 144.已知椭圆 1(ab0) 的两焦点为 F1、F 2，以 F1F2 为
18、边作正三角形，x2a2 y2b2若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_.【解析】 设过左焦点 F1 的正三角形的边交椭圆于 A，则 AF1c，AF 2c，有 2a (1 )c，3 3e 1.ca 21 3 3【答案】 135.当 m 取何值时，直线 l：yx m 与椭圆 9x216 y2144.(1)无公共点；(2) 有且仅有一个公共点； (3)有两个公共点.【解】 由Error! 消去 y 得，9x 216(xm) 2144，化简整理得，25x 232mx16m 21440，(32m) 24 25(16m2144) 576m 214 400.(1)当 5，直线 l 与椭圆无公共点. (2)当 0 时，得 m5，直线 l 与椭圆有且仅有一个公共点.(3)当 0 时，得5m5，直线 l 与椭圆有两个公共点.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
