1、3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示1理解平面的法向量的概念， 会求平面的法向量(重点)2会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直(重点)3理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题(难点)基础初探教材整理 1 平面的法向量与向量表示阅读教材 P102P 103“例 1”，完成下列问题1平面的法向量已知平面 ，如果向量 n 的基线与平面 垂直，则向量 n 叫做平面 的法向量或说向量 n 与平面 正交2平面的向量表示设 A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，适合条件 n0 的点 MAM 的集合构成的图形是过空间内一点 A 并且与 n 垂直的平面这个式子称为一个平面的向量表示式3
2、两平面平行、垂直的判定设 n1，n 2 分别是平面 ， 的法向量，则(1) 或 与 重合n 1n 2；(2)n 1n 2n 1n2 0.1若直线 l 的方向向量 a(1,0,2)，平面 的法向量为 n(2,0，4) ，则( )Al BlCl Dl 与 斜交【解析】 n (2,0， 4)2(1,0,2)2a，na，l .【答案】 B2若平面 ， 的法向量分别为 a(2，1,0)，b(1，2,0)，则 与 的位置关系是 ( )A平行 B垂直C相交但不垂直 D无法确定【解析】 a b2200， ab，.【答案】 B教材整理 2 三垂线定理及其逆定理阅读教材 P104 第 5 行P 105 第 2 行
3、内容，完成下列问题1正射影已知平面 和一点 A，过点 A 作 的垂线 l 与 相交于点 A，则 A就是点 A 在平面 内的正射影，简称射影2三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直，则它也和这条斜线垂直3三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若 a 是平面 的一条斜线，直线 b 垂直于 a 在 内的射影，则 ab.( )(2)若 a 是平面 的斜线，平面 内的直线 b 垂直于 a 在平面 内的射影，则 ab.( )(3)若 a 是平面 的斜线，直线 b，且 b 垂
4、直于 a 在另一个平面 内的射影，则 ab.( )(4)若 a 是平面 的斜线，b，直线 b 垂直于 a 在平面 内的射影，则ab.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型利用平面法向量证明平行关系已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2， E，F 分别是 BB1，DD 1的中点，求证：(1)FC1平面 ADE；(2)平面 ADE平面 B1C1F.【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解【自主解答】 (1)建立如图所示空间直角坐标系
5、 Dxyz，则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1) ， B1(2,2,2)，所以 (0,2,1) ， (2,0,0)， (0,2,1)FC1 DA AE 设 n1(x 1，y 1，z 1)是平面 ADE 的法向量，则 n1 ，n 1 ，DA AE 即Error!得Error!令 z12，则 y11，所以 n1(0，1,2)因为 n1220，FC1 所以 n1.FC1 又因为 FC1平面 ADE，所以 FC1平面 ADE.(2) (2,0,0)，设 n2(x 2，y 2，z 2)是平面 B1C1F 的法向量由C1B1
6、 n2 ，n 2 ，FC1 C1B1 得Error!得Error!令 z22，得 y21，所以 n2(0，1,2)，因为 n1n 2，所以平面 ADE平面 B1C1F.用向量方法证明空间平行关系的方法线线平行设直线 l1，l 2的方向向量分别是 a，b，则要证明 l1l2，只需证明 ab，即 akb(kR) 线面平行(1)设直线 l 的方向向量是 a，平面 的法向量是 u，则要证明 l，只需证明 au，即 au0.(2)根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可(3)证明一条直线 l 与一个平面 平行，只需证明 l 的方向向量能用平面 内两个不共线向量线性表示即可
7、面面平行(1)转化为相应的线线平行或线面平行(2)求出平面 ， 的法向量 u，v，证明 uv 即可说明 .再练一题1在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E ，F，G，H，M，N 分别是正方体六个表面的中心，证明：平面 EFG平面 HMN.【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 2，则 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M (1,2,1)，N(0,1,1) (0，1,1)，EF (1,0,1)，EG (0,1， 1)，HM (1,0，1)HN 设 m( x1，y 1，z 1)，n (x 2，y 2，z 2)分别是平面 EFG 和 H
8、MN 的法向量，由Error!得Error!令 x11，得 m(1 ，1，1) 由Error!得Error!令 x21，得 n(1，1，1)于是有 mn ，即 mn，故平面 EFG平面 HMN.利用向量证明线面垂直如图 3214 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E ，F 分别是B1B，DC 的中点，求证：AE平面 A1D1F.图 3214【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A1D1F 的法向量，然后证明 与法向量共线AE 【自主解答】 如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)，E ，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1
9、)，F ，(1，1，12) (0，12，0) ，AE (0，1，12) (1,0,0)， .A1D1 D1F (0，12， 1)设平面 A1D1F 的法向量 n(x，y ，z)，则 n 0，n 0，A1D1 D1F 即Error!解得 x0，y2z.令 z1，则 n(0,2,1)又 ，n2 .AE (0，1，12) AE n ，即 AE平面 A1D1F.AE 1坐标法证明线面垂直有两种思路方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为 0.方法二：(1)建立空间直角坐标系
10、；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行2使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决再练一题2如图 3215，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB AD1，AA 12，点 P为 DD1 的中点，求证：直线 PB1平面 PAC.图 3215【证明】 依题设，以 D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则 C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B 1(1,1,2)，于是 ( 1,1,0) ， (1,0,1) ， (1,1,1)，CA CP PB1 (1,1,0)(1
11、,1,1)0，CA PB1 (1,0,1)(1,1,1)0，CP PB1 故 ， ，即 PB1CP，PB 1CA，CP PB1 CA PB1 又 CPCAC，且 CP平面 PAC，CA平面 PAC.故直线 PB1平面 PAC.三垂线定理及其逆定理的应用在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求证：A 1C平面 BDC1.图 3216【自主解答】 在正方体中，AA 1平面 ABCD，所以 AC 是 A1C 在平面ABCD 内的射影，又 ACBD，所以 BDA1C.同理 D1C 是 A1C 在平面 CDD1C1 内的射影所以 C1DA1C.又 C1DBDD，所以 A1C平面 BDC1.1三垂线定理
12、及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法” ，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明2当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是“一定二找三证” ，即“一定”是定平面和平面内的直线， “二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影， “三证”是证直线垂直于射影或斜线再练一题3正三棱锥 PABC 中，求证： BCPA .【证明】 如图，在正三棱锥 PABC 中，P 在底面 ABC 内的射影 O 为正三角形 ABC 的中心，连接 AO，则 AO 是 PA 在底面 ABC 内的射影，且BCAO，所以 BCPA.探究共研型利用向量证明
13、面面垂直探究 1 如何用向量法判定两个平面垂直？【提示】 只需求出两个平面的法向量，再看它们的法向量的数量积是否为 0 即可探究 2 在四面体 ABCD 中，AB平面 BCD，BCCD ，BCD90，ADB30，E，F 分别是 AC，AD 的中点，求证：平面 BEF平面 ABC.【提示】 建系如图，取 A(0,0，a)，则易得 B(0,0,0)，C ，D (0， a,0)，(32a，32a，0) 3E ，F .(34a，34a，a2) (0，32a，a2)BCD90，CDBC.又 AB平面 BCD， ABCD.又ABBCB ， CD平面 ABC， 为平面 ABC 的一个法向CD ( 32a，3
14、2a，0)量设平面 BEF 的法向量 n(x ，y，z)，由 n 0，EF 即(x，y，z) 0，有 xy .( 34a，34a，0)由 n 0，即( x，y，z ) 0，BF (0，32a，a2)有 ay z0z y.32 a2 3取 y1，得 n(1,1， )3n (1,1， ) 0，CD 3 ( 32a，32a，0)n ，CD 平面 BEF平面 ABC.如图 3217 所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABBC，ABBC2，BB 11，E 为 BB1 的中点，证明：平面 AEC1平面AA1C1C.图 3217【精彩点拨】 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面
15、的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量 n1，n 2，证明 n1n20.【自主解答】 由题意得 AB，BC，B 1B 两两垂直以 B 为原点，BA，BC ，BB 1 分别为x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A(2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ，(0，0，12)则 (0,0,1)， (2,2,0)， (2,2,1)， .AA1 AC AC1 AE ( 2，0，12)设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)则Error!Error!令 x11，得 y11.n 1(1,1,0)设平面 AEC1 的一个法向量为 n
16、2(x 2，y 2，z 2)则Error!Error!令 z24，得 x21，y 2 1.n2(1，1,4)n1n211 1(1)040.n1n2，平面 AEC1平面 AA1C1C.1利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直2向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化” ，降低了思维难度再练一题4在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 CC1 的中点，
17、证明：平面 B1ED平面 B1BD.【证明】 以 DA，DC，DD 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ， (1,1,1)，(0，1，12) DB1 ，设平面 B1DE 的法向量为 n1(x， y，z )，则 xyz0 且DE (0，1，12)y z 0，令 z2，则 y1，x 1， n1(1,1，2)同理求得平面 B1BD12的法向量为 n2(1 ，1,0)，由 n1n20，知 n1n2，平面 B1DE平面 B1BD.构建体系1已知 (2,2,1) ， (4,5,3)，则平面 ABC 的一个单位法
18、向量为( )AB AC A. B( 13， 23， 23) ( 13，23， 23)C. D( 13，23，23) (13，23，23)【解析】 设平面 ABC 的法向量为 n(x，y ，z )，则有 Error!取 x1，则y2，z 2.所以 n(1，2,2)由于|n |3，所以平面 ABC 的一个单位法向量可以是 .( 13，23， 23)【答案】 B2已知直线 l 的方向向量是 a(3,2,1)，平面 的法向量是 u(1,2，1) ，则 l 与 的位置关系是 ( )Al BlCl 与 相交但不垂直 Dl 或 l【解析】 因为 au3410，所以 au.所以 l 或 l.【答案】 D3已知
19、点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果(2 ，1，4)， (4,2,0)， (1,2， 1)AB AD AP 对于结论：APAB；APAD； 是平面 ABCD 的法向量；AP .AP BD 其中正确的是_(填序号)【解析】 由于 122(1)(1)(4)AP AB 0， ( 1) 422(1)00，所以 正确AP AD 【答案】 4如图 3218，已知 PO平面 ABC，且 O 为ABC 的垂心，则 AB 与PC 的关系是_. 【导学号：15460075】图 3218【解析】 O 为ABC 的垂心，COAB.又OC 为 PC 在平面 ABC 内的射影，由三垂线定理知 ABPC.
20、【答案】 垂直5在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 垂直于底面ABCD， PD DC，E 是 PC 的中点，作 EFPB 于点 F.求证：(1)PA平面 EDB；(2)PB平面 EFD.【证明】 建立如图所示的空间直角坐标系D 是坐标原点，设 DCa.(1)连接 AC 交 BD 于 G，连接 EG，依题意得 D(0,0,0)，A(a,0,0)，P (0,0，a)，E .(0，a2，a2)因为底面 ABCD 是正方形，所以 G 是此正方形的中心，故点 G 的坐标为 ，所以 .(a2，a2，0) EG (a2，0， a2)又 (a,0，a)，所以 2 ，这表明 PAEG
21、.PA PA EG 而 EG 平面 EDB，且 PA平面 EDB，所以 PA平面 EDB.(2)依题意得 B(a，a,0)， (a，a，a)， ，PB DE (0，a2，a2)所以 0 0，所以 ，即 PBDE.PB DE a22 a22 PB DE 又已知 EFPB，且 EF DEE，所以 PB平面 EFD.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1已知平面 的法向量为 a(1,2，2)，平面 的法向量为b( 2，4 ，k )，若 ，则 k( )A4 B4 C5 D5【解析】 ， ab，ab282k0.k5.【答
22、案】 D2已知平面 的一个法向量是 (2，1,1)，则下列向量可作为平面 的一个法向量的是( )A(4,2 ，2) B(2,0,4)C(2，1，5) D(4，2,2)【解析】 ， 的法向量与 的法向量平行，又 (4，2,2)2(2， 1,1)，故应选 D.【答案】 D3已知 (1,5 ，2)， (3,1，z)，若 ， (x1，y ，3)，AB BC AB BC BP 且 BP平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为( )A. ， ，4 B ， ，4337 157 407 157C. ， 2,4 D4， ，15407 407【解析】 ， 0，即 352z 0，得 z4，AB BC AB BC 又
23、 BP平面 ABC， ， ，BP AB BP BC 则Error!解得 Error!【答案】 B4已知平面 内有一个点 A(2，1,2)， 的一个法向量为 n(3,1,2)，则下列点 P 中，在平面 内的是( )A(1， 1,1) B (1，3，32)C. D(1， 3，32) ( 1，3， 32)【解析】 对于 B， ，AP ( 1，4， 12)则 n (3,1,2) 0，AP ( 1，4， 12)n ，则点 P 在平面 内AP (1，3，32)【答案】 B5设 A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件 n0 的点AM M 构成的图形是( )A圆 B直线 C平面 D线段【解析】
24、M 构成的图形经过点 A，且是以 n 为法向量的平面【答案】 C二、填空题6已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量 u(1，3，z)，向量 v(3 ，2,1)与平面 平行，则 z_.【解析】 由题意知 uv，uv36z0，z9.【答案】 97已知 a(x, 2，4)，b(1，y,3)，c(1 ，2，z )，且 a，b，c 两两垂直，则( x，y ，z)_.【解析】 由题意，知Error!解得 x64 ，y 26， z17.【答案】 (64，26，17)8若 A ，B ，C 是平面 内的三点，设平面(0，2，198) (1， 1，58) ( 2，1，58) 的法向量 a( x，y
25、，z)，则 xyz_. 【导学号：15460076】【解析】 因为 ，AB (1， 3， 74) ，AC ( 2， 1， 74)又因为 a 0，a 0，AB AC 所以Error!解得Error!所以 xyz yy 23(4)23 ( 43y)【答案】 23(4)三、解答题9.如图 3219，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB ，AF1，M 是线段 EF 的中点求证：AM平面 BDF.2图 3219【证明】 以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A( ，2，0)，B (0， ，0) ，D( ，0,0) ，F( ， ，1)，M .2 2 2 2 2
26、(22，22，1)所以 ， (0, ，1)， ( ， ，0)AM ( 22， 22，1) DF 2 BD 2 2设 n(x，y，z)是平面 BDF 的法向量，则 n ，n ，BD DF 所以Error! Error!取 y1，得 x1，z .2则 n(1,1， )2因为 .AM ( 22， 22，1)所以 n ，得 n 与 共线2AM AM 所以 AM平面 BDF.10底面 ABCD 是正方形，AS平面 ABCD，且 ASAB，E 是 SC 的中点求证：平面 BDE平面 ABCD.【证明】 法一 设 ABBCCDDAAS1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则 B(1,0,0)，D(0,1
27、,0)，A(0,0,0) ，S(0,0,1)，E .(12，12，12)连接 AC，设 AC 与 BD 相交于点 O，连接 OE，则点 O 的坐标为 .(12，12，0)因为 (0,0,1) ， ，AS OE (0，0，12)所以 .所以 OEAS.OE 12AS 又因为 AS平面 ABCD，所以 OE平面 ABCD.又因为 OE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABCD.法二 设平面 BDE 的法向量为 n1(x，y ，z)，因为 ( 1,1,0)， ，BD BE ( 12，12，12)所以Error!即 Error!令 x1，可得平面 BDE 的一个法向量为 n1(1,1,0)因为 AS
28、平面 ABCD，所以平面 ABCD 的一个法向量为 n2 (0,0,1)AS 因为 n1n20，所以平面 BDE平面 ABCD.能力提升1如图 3220，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，以 D 为原点建立空间直角坐标系，E 为 BB1 的中点， F 为 A1D1 的中点，则下列向量中，能作为平面 AEF的法向量的是( )图 3220A(1， 2,4)B(4,1，2)C(2，2,1)D(1,2 ，2)【解析】 设平面 AEF 的一个法向量为 n(x ，y ，z )，正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，则 A(1,0,0)，E ，F .(1，1，12) (12，0，1)故 ， .
29、AE (0，1，12) AF ( 12，0，1)所以Error!即Error!所以 Error!当 z2 时，n ( 4,1，2)，故选 B.【答案】 B2如图 3221，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 AA1底面A1B1C1，BAC90，ABACAA 11，D 是棱 CC1 的中点，P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点若点 Q 在线段 B1P 上，则下列结论正确的是( )图 3221A当点 Q 为线段 B1P 的中点时，DQ平面 A1BDB当点 Q 为线段 B1P 的三等分点时，DQ平面 A1BDC在线段 B1P 的延长线上，存在一点 Q，使得 DQ平面 A1BDD不存
30、在 DQ 与平面 A1BD 垂直【解析】 以 A1 为原点，A 1B1，A 1C1，A 1A 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得 A1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B(1,0,1)，D ，P(0,2,0)， (1,0,1)， ， (1,2,0)， (0，1，12) A1B A1D (0，1，12) B1P DB1 .设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z )，则Error!取 z2，则(1， 1， 12)x2，y1，所以平面 A1BD 的一个法向量为 n (2,1，2)假设 DQ平面A1BD，且 (1,2,0)(，2 ，0)，
31、则 B1Q B1P DQ DB1 B1Q ，因为 也是平面 A1BD 的法向量，所以 n(2,1，2)与(1 ， 1 2， 12) DQ 共线，于是有 成立，但此方DQ (1 ， 1 2， 12) 1 2 1 21 12 2 14程关于 无解故不存在 DQ 与平面 A1BD 垂直，故选 D.【答案】 D3.如图 3222，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，PD底面 ABCD，且 PD1，若 E，F 分别为 PB，AD 中点，则直线 EF 与平面 PBC的位置关系_图 3222【解析】 以 D 为原点，DA，DC，DP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐
32、标系，则 E ，F ， ，平面 PBC 的(12，12，12) (12，0，0) EF (0， 12， 12)一个法向量 n(0,1,1)， n， n，EF 12 EF EF平面 PBC.【答案】 垂直4如图 3223，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，且ADBC ，ABCPAD90，侧面 PAD底面 ABCD.若PAABBC AD.12图 3223(1)求证：CD平面 PAC；(2)侧棱 PA 上是否存在点 E，使得 BE平面 PCD？若存在，指出点 E 的位置并证明，若不存在，请说明理由【解】 因为PAD90，所以 PAAD.又因为侧面 PAD底面 ABCD，且侧面 P
33、AD底面 ABCD AD，所以 PA底面 ABCD.又因为BAD 90 ，所以AB，AD ，AP 两两垂直分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设 AD 2，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(1) (0,0,1)， (1,1,0)， (1,1,0)，AP AC CD 可得 0， 0，所以 APCD，ACCD.AP CD AC CD 又因为 APACA ，所以 CD平面 PAC.(2)设侧棱 PA 的中点是 E，则 E ， .(0，0，12) BE ( 1，0，12)设平面 PCD 的法向量是 n(x，y，z)，则Error! 因为 (1,1,0)，CD (0,2， 1)，所以Error!取 x1，则 y1，z2，所以平面 PCD 的一个法PD 向量为 n(1,1,2)所以 n (1,1,2) 0，所以 n .BE ( 1，0，12) BE 因为 BE平面 PCD，所以 BE平面 PCD.综上所述，当 E 为 PA 的中点时， BE平面 PCD.
