1、第七中学 2019 届高三一诊模拟考试数学（文）试题（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 是虚数单位，则复数 （ ）i13iA. B. C. D.22i42i2.设集合 ， ，则 （ ）|xA|0xBABA. B. C. D.1,21,21,21,23.函数 的图象大致是（ ）lnyxA. B.C. D.4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）
2、.当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（ ）A. B.C. D.5.执行下边的算法程序，若输出的结果为 120，则横线处应填入（ ）A. B. C. D.6kk6kk6.设实数 满足 ，则 的最大值是（ ）,xy2410y1xA.-1 B. C.1 D.2327.“ ”是“ ”的（ ）2loglabaA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为（ ）4,7a3,4b2abA.2 B.-2 C. D.259.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上，且21Cyx： FlMCNl，若 ，则 的值
3、为（ ）0FNM4A. B.2 C. D.3325210.设 分别是 的内角 的对边，已知,abcABC,，则 的大小为（ ）sinsinacAA. B. C. D.3060120511.已知正三棱锥的高为 6，内切球（与四个面都相切）表面积为 ，则其底面边长为（ 16）A.18 B.12 C. D.3412.已知函数 （其中 ）的最小正周期为 ，函数sinfx0，若对 ，都有 ，则 的最小正值为（ 34gxffxR3gx）A. B. C. D.323453二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.某学校初中部共 120 名教师，高中部共 180 名教师，其性别比例如图
4、所示，已知按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有 6 人，则工会代表中男教师的总人数为_.14.已知圆 与 轴相切，圆心在 轴的正半轴上，并且截直线 所得的弦长为Cyx10xy2，则圆 的标准方程是_.15.已知 均为锐角，且 ，则 的最小值是,cos3costan_.16.若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是_.23,0xfa a三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.17.正项等比数列 中，已知 ， .na3426a求 的通项公式； n设 为 的前 项
5、和， ，求 . S41lognnbSN25850+bb18.“黄梅时节家家雨” “梅雨如烟暝村树” “梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续 25 天左右的梅雨季节，如图是江南 镇 20092018 年梅雨季节的降雨量（单位： ）的频率分布直方图，试用Qm样本频率估计总体概率，解答下列问题：“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计 镇明年梅雨季节的降雨量； Q“江南梅雨无限愁”. 镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅20092018 年的亩产量（
6、 /亩）与降雨量的发生频数（年）如 列联表所示（部分数kg2据缺失）.请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？（完善列联表，并说明理由）.亩产量降雨量 20,410,240,5合计600 2601合计 1020PKk0.50 0.40 0.25 0.15 0.100.455 0.708 1.323 2.072 2.703（参考公式： ，其中 ）22nadbcKdnabcd19.已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .210xyab22,0A求椭圆的标准方程；过点 的动直线 交椭圆于另一点 ，设 ，过椭圆中心 作直线 的垂线交 AlB2,0DOBD于点 ，求证： 为定值.
7、lCOBC20.如图，在多面体 中， 和 交于一点，除 以外的其余各棱长均为 2.DEAEC作平面 与平面 的交线 ，并写出作法及理由； CDEABl求证： ； BDCE若平面 平面 ，求多面体 的体积. AABCDE21.已知函数 ，其中 为常数.sin2cos2fxxa若曲线 在 处的切线斜率为-2，求该切线的方程； y求函数 在 上的最小值. fx0,请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标 系中，曲线 的参数标方程为 （其中 为参数，且 ） ，xOyC1xtytt0t在以 为极点、 轴的非负半轴为极轴的
8、极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线的极坐标方程为 .lsin23求曲线 的极坐标方程； C求直线 与曲线 的公共点 的极坐标. lP23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ，且 .21fx,abcR若 ，求 的最小值； abcfff若 ，求证： . x21xa第七中学 2019 届高三一诊模拟考试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：CADBABDCAB二、填空题13.12 14. 15. 16. 239xy23,三、解答题17.解： 设正项等比数列 的公比为 ，则 na0q由 及 得 ，化简得 ，解得 或 （舍34a264q232q1去）.所以 的通项公
9、式为 .n 312,nnaN由 得， . 12nnS414loglog2nnnbS所以 .2585017+=8501b18.解： 频率分布直方图中第四组的频率为 . 1.204301所以用样本平均数估计 镇明年梅雨季节的降雨量为Q.150.20.435.40.358m根据频率分布直方图可知，降雨量在 200400 之间的频数为.7进而完善列联表如图.亩产量降雨量 200400 之间 200400 之外 合计600 2 2 4605 1 6合计 7 3 10.2215801.327346K故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足 75%.而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该
10、种植乙品种杨梅.19.解： 因为椭圆的离心率 ，且 ，所以 . 2cea2c又 .故椭圆的标准方程为 .22bac214xy设直线 的方程为 （ 一定存在，且 ）. l2xtyt0t代入 ，并整理得 .24xy24y解得 ，于是 .2Bt2Btxty又 ，所以 的斜率为 .,0D224ttt因为 ，所以直线的方程为 .OCBytx与方程 联立，解得 .2xty42,Ct故 为定值.22248168tBCtt20.解： 过点 作 （或 ）的平行线，即为所求直线 . EABCDl和 交于一点， 四点共面.又 四边形 边长均相等.AD, ABCD四边形 为菱形，从而 . /又 平面 ，且 平面 ，
11、平面 .BEE/ E平面 ，且平面 平面 ， .AABCDl/ABl证明：取 的中点 ，连结 ， . ， ， ， ODOBAE.ODE又 ， 平面 ， 平面 ，故 .BAE BB又 四边形 为菱形， .又 ， 平面 .CD AEC ACE又 平面 ， .E解： 平面 平面 ， 平面 . ABO B故多面体 的体积 .BCD12232EACDEADAEVV21.解： 求导得 ，由 解得 . cosinfxxa fa1a此时 ，所以该切线的方程为 ，即 为所求.2f2yx20xy对 ， ，所以 在 区间内单调递减. 0,xsin0fxf0,（1）当 时， ， 在区间 上单调递减，故aax .min
12、fxf（2）当 时， ， 在区间 上单调递增，故0fxffx 0,.min04fxf（3）当 时，因为 ， ，且 在区间 上单afafafx0,调递增，结合零点存在定理可知，存在唯一 ，使得 ，且 在0,x0f上单调递增，在 上单调递减.故 的最小值等于 和 中0,x0,xf4fa较小的一个值.当 时， ，故 的最小值为 .4afffx0f当 时， ，故 的最小值为 .00a综上所述，函数 的最小值 .fxmin4,afx22.解： 消去参数 ，得曲线 的直角坐标方程 . tC242xyx将 ， 代入 ，得 .cosxysin24xycosin所以曲线 的极坐标方程为 .C2co将 与 的极坐标方程联立，消去 得 . l 24cos23sin展开得 .2 223cossincoicoi因为 ，所以 .023tatan10于是方程的解为 ，即 .3tan6代入 可得 ，所以点 的极坐标为 .si22P2,623.解： 由柯西不等式得， （当且仅当 时 1133abcabc13abc取等号） ，所以 ，即22 72fff的最小值为 ；fabc7因为 ，所以 1x2 1ffaxaxa，故结论成立.12xa
