1、2019届高三上学期“一诊”模拟考试数学（理）试题（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）2|0AxBZAA. B. C. D.1,0,1,12.已知 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）iz2izzA. B. C. D.52353.甲乙两名同学 6次考试的成绩统计图如下图，甲乙两组数据的平均数分别为 、 ，标x甲 乙准差分别为 、 ，则（ ）甲 乙A. ，x甲 乙 甲 乙B. ，甲 乙 甲 乙C. ，x甲 乙 甲 乙D. ，甲 乙 甲
2、乙4.已知直线 和平面 ，若 ，则“ ”是“ ”的（ ）m,mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知椭圆 ，则下列结论正确的是（ ）2:164CxyA.长轴长为 B.焦距为1234C.短轴长为 D.离心率为426.执行下面的程序框图，则输出 的值为（ ）KA.99 B.98 C.100 D.1017.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如下图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）A.42B. 6C.D. 28.若在 关于 的展开式中，常数项为 2，则 的系数是（ ）21axxxA
3、.60 B.45 C.42 D.-429.已知数列 是等比数列，若 ， ，则 （ ）na1a5812345aaA. B. C. D.25382310.已知函数 图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，将sin0,2fx 2函数 的图象向左平移 个单位，得到的图象关于 轴对称，则（ ）yf3yA.函数 的周期为 B.函数 图象关于点 对称fx2fx,03C.函数 图象关于直线 对称 D.函数 在 上单调f1xf,611.如图，在矩形 中， ， ， ， ，现ABCD/EF/GHBC21AFGB分别沿 将矩形折叠使得 与 重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（ ,EFGH）A. B. C. D.831
4、632412.过曲线 的左焦点 作曲线 的切线，设切21:0,xyCab1F22:Cxya点为 ，延长 交曲线 于点 ，其中 , 有一个共同的焦点，M1F23:0pxN13若 ，则曲线 的离心率为（ ）10N1A. B. C. D.52522二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.13.已知平面向量 ， ，则 在 上的投影为_.1,2m,0nmn14.设函数 ，则 _.2,31xff2log3f15.已知数列 ，若 ，则数列 的前 项和为_.na2+na1na16.已知函数 ，则满足 的实数 的取值范313xxxege0gxx围是_.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明，证
5、明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.17.如图，在平面四边形 中， ， ， ，ABCD231BC20ABC.30ADC若 ，求 ；I6CDA求四边形 面积的最大值. B18.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，侧面PCDAB120BCD底面 ， ， .PA902CP求证：面 面 ；IPBDAC过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 分成体积相等的两部分， AMACPAD求二面角 的余弦值.MPCB19.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积
6、极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.程度2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1 分钟跳绳三项测试，三项考试满分 50分，其中立定跳远 15分，掷实心球 15分，1 分钟跳绳 20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了 100名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数 15,6165,7175,8185,得分 17 18 19 20现从样本的 100名学生中，任意选取 2人，求两人得分之和不大于 35份的概率；I若该校初三年级所有学生的跳绳个数 服从正态分布 ，用样本数据的平均值 X2,N
7、和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差 （各组数据用中点值代替）.根据往2169S年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10个，现利用所得正态分布模型：预计全年级恰有 2000名学生，正式测试每分钟跳 182个以上的人数；（结果四舍五入到i整数）若在全年级所有学生中任意选取 3人，记正式测试时每分钟跳 195以上的人数为，求随i机变量的分布列和期望.附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，X2,N0.682PX， .220.954P3397420.已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线 相切
8、，设第一象限的切点为 .:Cyx1,CP证明：点 在 轴上的射影为焦点 ；I F若过点 的直线 与抛物线 相交于两点 ，圆 是以线段 为直径的圆过点 2,0lC,ABMAB，求直线 与圆 的方程.PlM21.已知函数 ， .12lnafxxaR若 ，求函数 的单调区间；I1af若 在 上恒成立，求正数 的取值范围； 0fx,证明： . 11ln2321nN请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点xOyM2cosinxy为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，直线 的
9、极坐标x 1l2l方程为 .2写出曲线 的极坐标方程并指出它是何种曲线；IM设 与曲线 交于 、 两点， 与曲线交于 、 两点，求四边形 面积的取 1lAC2lBDABCD值范围23.设函数 .()|21|fxx若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围；I0R205fmm若 是 中的最大值，且 ，证明： . mI3ab02ab2019届高三上学期“一诊”模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：CDAACBDBA二、填空题13.2 14.12 15. 16. 41n1,2三、解答题17解： 连接 ，在 中，由余弦定理知：IACB，则22cosABAC6又由 ，则 为
10、等腰三角形，作 于 ，则6DEADEA在 中， ，则 ，则RtCE30A32D32由题意知 1sin2ABCSABC2263cosDD则 236AA又 ， “当且仅当 时等号成立” ，CAC则 62D13sin2ACSD分9ABCDS四 边 形18 证明：因为 ，则 ，I0PAB又侧面 底面 ，P面 面 ， 面 ，ABAB则 面 CD面 ，则又因为 ， 为平行四边形，120BAB则 ，又60ABCAC则 为等边三角形，则 为菱形，BD则 D又 ，则 面 ，PP面 ，则面 面BAC由平面 把四面体 分成体积相等的两部分，则 为 中点 MDMPB由（）知建立如图所示的空间直角坐标系，则,则中点 为
11、3,103,0,2BCDP M0,1设面 的法向量为 ，则 ，则MP11,vxyz1vC13,设面 的法向量为 ，则 ，则C22,20BPv2,0则 ，则二面角 的余弦值为 .125cos7vMC5719解： 两人得分之和不大于 35分，即两人得分均为 17分，或两人中 1人 17分，1 人I18分， 2162095CP（个） 1850.21.03.194.08.7. X又 所以正式测试时， ,13692sS 8,5（人） i ,8413.026.1)8(P 1683.20. 由正态分布模型，全年级所有学生中任取 1人，每分钟跳绳个数 195以上的概率为0.5，即 ,25.).()(),5.0
12、3(303CB,71)1(2CP ,375.0)1(.023CP;.3的分布列为.51.03)(XE20解： 由题意知可设过点 的直线方程为I1,01xty联立 得： ，24xty24ty又因为直线与抛物线相切，则 ，即01t当 时，直线方程为 ，则联立得点 坐标为1t 1yxP,2又因为焦点 ，则点 在 轴上的射影为焦点,0FPF设直线 的方程为： ， ， l2m1,Axy2,By联立 得： ，则 恒成立， ，24xy2480y1128,4ym则 ，1126212124xtm由于圆 是以线段 为直径的圆过点 ，则 ，MABP0AB1221212xyy，则 或4830mm3当 时，直线 的方程
13、为 ，圆 的方程为2l24yxM225451xy0 1 2 3P2.37.5.01.当 时，直线 的方程为 ，圆 的方程为32ml243yxM221314xy21解： 当 时， ，则函数 的定义域为I1a()=lnf f|0x则 ，则当 时， ，则 单调递增；22()=xxf0,1x0fxf则当 时， ，则 单调递减；1,0ff所以 单调递增区间为 ， 单调递减区间为()fx,1x,因为 ， ，则 ， 2lna=x1,)(1)=0f.22 21(1)() ()aafxax当 ，时，此时 ，0当 ，则 ， 在1,)a上是减函数，所以在1(,)a上存在 x0，1ax()0fx()fx使得 0()f
14、，在 上不恒成立； x 1,当 时， ， 在 上成立， 2a a ()0fx 1,)在 上是增函数， ，()fx,) (f在 上恒成立， 01综上所述，所求 的取值范围为 ；a1,)2由 知当 时， 在 上恒成立， ， 2 ()fx 0,)12ln0(1)axx 令 ，有 ，12a=1()lnx当 时， ，x()l令 ，有 ，1k111ln()()22kkk即 ， ，将上述 个不等式依次相加得：ln()l()k,3,n，11l+232()n整理得 .l 1)n （ 22解： 因 为 曲 线 的 参 数 方 程 为 ，则IM2cosinxy214xy22cosin14则曲 线 的极坐标方程为 2243sin1表示以 为焦点， 为长轴长的椭圆3,0,由椭圆的对称性得： 42AOBABABCDSS四 边 形联立 得：2243sin1223sin1A联立 得：2243sin12243cos1B则 2 22256sins9sin1ABABCDS四 边 形由于 ，则 ，则2sin0,156,1ABCDS四 边 形 ,4ABCDS四 边 形23解： I 322xxxf存在 ，使得 R050m531,2m由 知: I|ax23b04322 223 bab而 042aba 222223 4332 bababab341ba832ba由 20
