1、考查角度 2 椭圆的标准方程与几何性质分类透析一 椭圆的定义及其应用例 1 如图,已知椭圆的方程为 + =1,若点 P在第二象限,且2423 PF1F2=120,则 PF1F2的面积为 . 解析 由已知得 a=2,b= ,所以 c= =1,F1F2=2c=2.3 2-2在 PF1F2中,由余弦定理得P =P +F1 -2PF1F1F2cos 120,22 21 22即 P =P +4+2PF1. 22 21由椭圆定义,得 PF1+PF2=4,即 PF2=4-PF1. 将 代入 ,得 PF1= .65所以 = PF1F1F2sin 120 1212= 2 = ,12 65 32335即 PF1F
2、2的面积为 .335答案 335方法技巧 在涉及椭圆焦点的 PF1F2中,由椭圆的定义及余弦定理可得到关于 PF1,PF2的方程组,消去 PF2可求得 PF1.分类透析二 椭圆的标准方程及求解例 2 中心在坐标原点的椭圆,焦点在 x轴上,焦距为 4,离心率为,则椭圆的方程为( ).22A. + =1 B. + =1216212 21228C. + =1D. + =121224 2824解析 由题意知,2 c=4,则 c=2.又 e= = ,则 a=2 ,故 b=2, 22 2所以椭圆的方程为 + =1.2824答案 D方法技巧 本题通过椭圆的简单几何性质确定其标准方程,解决此类问题时,一般先确
3、定其焦点位置,然后建立或寻找 a,b,c的等量关系,最后确定这三个数的值 .分类透析三 椭圆的几何性质及应用例 3 若点( x,y)在 + =1(b2)上运动,则 x2+4y的最大值为 .2422解析 + =1(b2),2422x 2=4 0,即 -b y b.(1-22)x 2+4y=4 +4y=- +4y+4=- +4+b2.(1-22) 422 42(-22)2b 2, b.22 当 y=b时, x2+4y取得最大值,最大值为 4b.答案 4b方法技巧 此类最值问题常用函数思想进行解决 .很多与圆锥曲线有关的问题中的各个量在运动变化时,都是相互联系、相互制约的,它们之间构成函数关系 .这
4、类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路,会有很好的效果 .1.(2016年全国 卷,文 12改编)已知 O为坐标原点, F是椭圆C: + =1(ab0)的左焦点, A、 B分别为 C的左、右顶点 .P为 C上一2222点,且 PF x轴 .直线 BP交 y轴于点 M, =2 ,则 C的离心率为( ).A. B. C. D.13 12 23 34解析 根据三角形相似,得 BMO BPF,故 = = = =2,e=|= ,故选 B.12答案 B2.(2018年全国 卷,理 12改编)已知 F1、 F2分别是椭圆C: + =1(00,过 P作 x轴的垂线并交于点 H,易知 AOQ AHP,所以 =2
5、= = ,得 x0=1.|20又因为 = ,所以得 y0= ,又因为点 P在椭圆上,所以 + =1,00+212 32 14(32)22解得 b= .3(法二)由题意知, A(-2,0),Q(0,1).因为 =2 ,所以 P ,代 (1,32)入椭圆方程得 + =1,解得 b2=3,则 b= ,故选 B.14942 3答案 B3.(2018年浙江卷,17 改编)已知点 F1(-c,0)、 F2(c,0)(c0)分别是椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点,点 P是这个椭圆上位于 x轴上方2222的点,点 G是 PF1F2的外心,若存在实数 ,使得 + + =0,12 则当 PF1F2的面积为 8
6、时, a的最小值为 . 解析 因为点 G是 PF1F2的外心,所以点 G在 y轴的正半轴上,又 + + =0,则 =- ( + )=- ,所以 P,G,O三点共12 112 2线,即 P位于上顶点,则 PF1F2的面积 S= b2c=bc=8.由12a2=b2+c22 bc=16,得 a4,当且仅当 b=c=2 时取等号,所以 a的最2小值为 4.答案 41.(山西省榆社中学 2018届高三诊断性模拟考试)若椭圆 + =1上一242点到两焦点的距离之和为 m-3,则椭圆的离心率为( ).A. B. 或53 53 217C. D. 或217 37 59解析 由题意知,2 a=m-30,即 m3,
7、若 a2=4,即 a=2,则 m-3=4,m=74,不合题意,因此 a2=m,即 a= ,则 2 =m-3,解得 m=9,即 a=3,c= = ,所以椭圆的离心率 e= .故选 A.-4 553答案 A2.(山东省枣庄市 2018届高三第二次模拟考试)设 F1,F2分别是椭圆C: + =1的两个焦点,若 C上存在点 M满足 F1MF2=120,则实数 m222的取值范围是( ).A. 8, + ) B.(0,18, + )(0,12C. 4, + ) D.(0,14, + )(0,12解析 由椭圆的性质可知,当点 M在短轴的端点时,此时 F1MF2最大 .如图,要使得椭圆 C上存在点 M满足
8、F1MF2=120,则 F1M0F2120,即 OM0F260 .当 m2时, = =cos OM0F2cos 60 = ,即 ,解得 m8;|0|02| 12 212当 0b0)的左焦点为 F1(-2,0),过点 F1作倾斜角为 30的直2222线与圆 x2+y2=b2相交的弦长为 b,则椭圆的标准方程为 ( ).3A. + =1B. + =12824 2824C. + =1 D. + =1216212 216212解析 由左焦点为 F1(-2,0),可得 c=2,即 a2-b2=4.由题意知,直线的方程为 y= (x+2),33圆心(0,0)到直线的距离 d= =1,233+9则 2 =
9、b,解得 b=2,a=2 ,2-1 3 2故椭圆的标准方程为 + =1,故选 B.2824答案 B4.(四川省广元市 2018届高三第二次高考适应性统考)如图,已知椭圆 C1: +y2=1(m1),双曲线 C2: - =1(a0,b0)的离心率 e= ,若以2 2222 5C1的长轴为直径的圆与 C2的一条渐近线交于 A,B两点,且 C1与 C2的渐近线的两个交点将线段 AB三等分,则 m=( ).A. B.17 C. D.1117 11解析 因为双曲线的离心率 = ,所以 =2,双曲线渐近线5 1+22 为 y=2x.代入椭圆方程得 x2= ,y2=(2x)2= ,故 C1与 C2的渐近1+
10、4 41+4线的两个交点弦长为 2 =2 ,依题意可知 2 = 22+251+4 51+413,解得 m=11.答案 D5.(安徽省黄山市 2018届高三一模检测)已知椭圆和双曲线有共同焦点 F1,F2,P是它们的一个交点,且 F1PF2= ,记椭圆和双曲线的离心3率分别为 e1,e2,则 的最大值为( ).112A. B. C.2 D.3233 433解析 设 F1PF2= ,|PF1|=m,|PF2|=n,椭圆的半长轴长为 a1,双曲线的半实轴长为 a2,两条曲线的焦距为 2c,结合题意有m+n=2a1,|m-n|=2a2,两式平方相加可得 m2+n2=2( + ),2122两式平方作差可
11、得 mn= - .2122由余弦定理得 4c2=m2+n2-2mncos ,则 4c2=2( + )-2( - )cos ,2c2=(1-cos ) +(1+cos 2122 2122 21 ) ,22即 1= + ,结合二倍角公式有 + =1.1-221 1+222 2221 2222已知 = ,则有 + =1,3 14213422即 1= + 2 = ,14213422 14213422 32 112则 ,当且仅当 =2, = 时等号成立,112 233 121 12223故 的最大值为 ,选 A.112 233答案 A6.(安徽省马鞍山市 2018届高三第二次教学质量监测)已知 M,N为
12、椭圆 + =1(ab0)上关于长轴对称的两点, A、 B分别为椭圆的左、右2222顶点,设 k1,k2分别为直线 MA,NB的斜率,则 |k1+4k2|的最小值为( ).A. B. C. D.2 3 4 5解析 设 M(x0,y0),N(x0,-y0),由题意 A(-a,0),B(a,0),k 1= ,k2= ,00+ -00-|k 1+4k2|= = ,|00+-400-| 00+ 40-0+|k 1+4k2|= 2 =4 ,|00+ 40-0+| 00+40-0+ 202-20由点 M在椭圆上,得 = (a2- ),2022 20所以 4 =4 = ,202-20 22(2-20)2-20
13、 4故 |k1+4k2| .4答案 C7.(云南省昆明市 2018届高三教学质量检查第二次统考)已知 F是椭圆 E: + =1(ab0)的左焦点,经过原点的直线 l与椭圆 E交于 P,Q2222两点,若 |PF|=2|QF|,且 PFQ=120,则椭圆 E的离心率为( ).A. B. C. D.13 12 33 22解析 在 PQF中,设 |PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦点为 G,由椭圆的对称性,知 PFQG是平行四边形,所以在 PGF中,由余弦定理得 GF2=5t2-2t2=3t2=4c2.因为 PF+QF=2a=3t,所以 t= a,所以 e= ,选
14、 C.23 33答案 C8.(江西省南昌市 2018届高三第一次模拟考试)已知椭圆E: + =1,O为坐标原点, A,B是椭圆上两点, OA,OB的斜率存在并分224212别记为 kOA,kOB,且 kOAkOB=- ,则 + 的最小值为( ).12 1| 1|A. B. C. D.26 13 23 22解析 由均值不等式的结论得 + 2 ,1| 1| 1|1|当且仅当 = ,即 |OA|=|OB|时等号成立 ,1| 1|结合椭圆的对称性可知,此时点 A,B关于 y轴对称 .不妨设直线 OA的方程为 y=kx(k0),则直线 OB的方程为 y=-kx,据此可得 -k2=- ,k= ,12 22
15、联立方程 可得=22,224+212=1 2=12,2=6,则 |OA|=|OB|= =3 ,12+6 2此时 = = .(1|+1|)232 23故选 C.答案 C9.(广西 2018届高三下学期第二次模拟试题)设 D为椭圆 x2+ =1上25任意一点, A(0,-2),B(0,2),延长 AD至点 P,使得 |PD|=|BD|,则点 P的轨迹方程为( ).A.x2+(y-2)2=20 B.x2+(y+2)2=20C.x2+(y-2)2=5 D.x2+(y+2)2=5解析 D 为椭圆 x2+ =1上任意一点,且 A,B为焦点,25|DA|+|DB|= 2a=2 .又 |PD|=|BD|,且点
16、 P,D,A三点共线,5|PA|=|PD|+|DA|= 2 ,所以点 P的轨迹方程为 x2+(y+2)2=20.5答案 B10.(上海市崇明区 2018届高三 4月模拟考试(二模)已知椭圆+y2=1(a0)的焦点分别为 F1,F2,抛物线 y2=2x的焦点为 F,若 =322 1,则 a= . 2解析 由抛物线的标准方程可得其焦点坐标为 F .(12,0)设椭圆的焦点坐标分别为 F1(-c,0),F2(c,0),则 = , = .1(12+,0)2(-12,0)由题意得 =3 ,(12+,0) (-12,0)则 +c=3 ,12 (-12)可得 c=1,则 a= = .2+2 2答案 211.
17、(河北省衡水中学 2018届高三上学期八模考试)已知椭圆+ =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、 F2(c,0),若椭圆上存2222在点 P使 = 成立,则该椭圆的离心率的取值范围为 .12 21解析 在 PF1F2中,由正弦定理得 = ,则由已知得|2|12 |1|21= ,|2| |1|即 a|PF1|=c|PF2|.设点 P(x0,y0),由焦点半径公式,得 |PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,则 a(a+ex0)=c(a-ex0),解得 x0= = .由椭圆的几何性质知 -a-a,整理得 e2+2e-10,解得 e -1.2又 e(0,1),所以椭圆的离心率
18、 e( -1,1).2答案 ( -1,1)212.(新疆乌鲁木齐市 2018届高三第二次质量监测)已知 F是椭圆 C的一个焦点, B是短轴的一个端点,线段 BF的延长线交椭圆 C于点 D,且 +2 =0,则椭圆 C的离心率为 . 解析 设 D(x0,y0),F(c,0),椭圆方程为 + =1(a0,b0), +22222 =0, (c,-b)+2(c-x0,-y0)=0,解得 x0= c,y0=- b.32 12将 D 代入到椭圆方程可得 + =1,解得 e= .(32,-12) (32)22(-12)22 33答案 3313.(河北省衡水中学 2018届高三上学期八模考试)若椭圆 C的方程为
19、 + =1,焦点在 x轴上,与直线 y=kx+1有公共点,则实数 m的取值252范围为 . 解析 由椭圆 C的方程及焦点在 x轴上,知 0 0,所以直线与椭圆相交,于是 y1+y2=- , 242+1y1y2= , 1-8242+1由 得, y2= ,y1=- ,542+1 742+1代入 整理得 8k4+k2-9=0,解得 k2=1,即 k=1,所以直线 l的方程为 y=x-1或 y=-x-1.答案 y=x-1或 y=-x-115.(江西上饶市 2018届高三上学期第一次模拟考试)已知斜率为 k的直线与椭圆 + =1交于 A,B两点,弦 AB的中垂线交 x轴于点2423P(x0,0),则实数
20、 x0的取值范围是 . 解析 设直线的方程为 y=kx+m,联立 化简得32+42=12,=+, (3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,所以 = 64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)0,故 4k2-m2+30,由题意得 1+2=-83+42,12=42-123+42,所以 y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=2m- = ,823+42 63+42所以 = , = ,1+22 -43+421+22 33+42所以线段 AB的中点坐标为 ,(-43+42,33+42)所以线段 AB的垂直平分线方程为 y- =- ,33+42 1(+43+42)把点 P(x0,0)代入上面的方程得 x0(3+4k2)=-km,所以 m= ,代入 4k2-m2+30,0(3+42)-整理得 = ,20 242+3 14+3214故 - x0 ,故所求实数 x0的取值范围为 .12 12 (-12,12)答案 (-12,12)
