1、第 3 讲 导数的综合应用(B)(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号导数与不等式 1,2,4导数与函数零点 31.(2018广西三市第二次调研)设函数 f(x)= x2+ax-ln x(aR).12(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值;(2)若对任意 a(3,4)及任意 x1,x21,2,恒有 +ln (21)22|f(x1)-f(x2)|成立,求实数 m 的取值范围.解:(1)函数的定义域为(0,+),当 a=1 时,f(x)=x-ln x,f(x)=1- = .11当 01 时,f(x)0,f(x)单调递增.所以 f(x)极小值 =f(1)=1,无极大值.(2)f(
2、x)=(1-a)x+a-1=(1)2+1= ,(1)( 11)(1)当 a(3,4)时,f(x)在1,2上单调递减,f(1)是最大值,f(2)是最小值.所以|f(x 1)-f(x2)|f(1)-f(2)= - +ln 2,232所以 +ln 2 - +ln 2,(21)2 232因为 a(3,4),所以 m ,321由 31 时,(x+1)(x+ )f(x)2(1+ ).1 1(1)解:f(x)= 的定义域为 (0,+),+且 f(x)= = .1(+)2 12由 f(x)01-ln x-a0 ln x002(1+ )1 1等价于 .1+1 (+1)(+1) 21+1令 p(x)= ,则 p(
3、x)= ,(+1)(+1) 2令 (x)=x-ln x,则 (x)=1- = ,11因为 x1,所以 (x)0,所以 (x)在(1,+)上单调递增,(x) (1)=10,p(x)0,所以 p(x)在(1,+)上单调递增,所以 p(x)p(1)=2,所以 ,()+1 2+1令 h(x)= ,21+1则 h(x)= ,21(1)(+1)2因为 x1,所以 1-ex1 时,h(x) h(x),()+1 2+1即(x+1)(x+ )f(x)2(1+ ).1 13.已知函数 f(x)=a(x-1)2+ln x,aR.(1)当 a=2 时,求函数 y=f(x)在点 P(1,f(1)处的切线方程;(2)当
4、a=-1 时,令函数 g(x)=f(x)+ln x-2x+1+m,若函数 g(x)在区间,e上有两个零点,求实数 m 的取值范围.1解:(1)当 a=2 时,f(x)=2(x-1) 2+ln x=2x2-4x+ln x+2.当 x=1 时,f(1)=0,所以点 P(1,f(1)为 P(1,0),又 f(x)=4x-4+ ,因此 k=f(1)=1,1因此所求切线方程为 y-0=1(x-1)即 y=x-1.(2)当 a=-1 时,g(x)=2ln x-x 2+m,则 g(x)= -2x= .2 2(+1)(1)因为 x ,e,所以当 g(x)=0 时,x=1,1且当 0;1当 10,g( )=m-2- 0,1 12解得 10,(+2)1 +21 33+2即 3,(+2)1综上所述,x 1 e3.22
