1、 2.4 二次函数和幂函数A组 基础题组1.函数 f(x)=2x2-mx+3在(-,-1上单调递减,在(-1,+)上单调递增,则 f(2)=( )A.10 B.14 C.19 D.20答案 C 由题意知 =-1,所以 m=-4,所以 f(x)=2x2+4x+3,所以 f(2)4=19.2.(2019绍兴一中月考)命题“ax 2-2ax+30恒成立”是假命题,则实数 a的取值范围是( )A.a3 D.00恒成立,则 a=0或 可0,=42-120恒成立”是假命题时,a .(1+22)(1)+(2)2答案 解析 -f = - - = 0,故(1)+(2)2 (1+22)21+1+22+22 (1+
2、22)21+22 (1-2)24填.6.(2019山西一模)已知函数 f(x)=x2-m是定义在区间-3-m,m 2-m上的奇函数,则 f(m)= . 答案 -1解析 由题意得 m2-m=3+m,即 m2-2m-3=0,m=3 或 m=-1.当 m=3时, f(x)=x -1,其定义域为-6,6,f(x)在 x=0处无意义,故舍去.当 m=-1时, f(x)=x 3,其定义域为-2,2,满足题意,f(m)=f(-1)=(-1) 3=-1.7.若 f(x)=x2+ax+b(a,bR),x-1,1,且|f(x)|的最大值为 ,则124a+3b= . 答案 -32解析 由题意可知, 即|(-1)|
3、12,|(0)| 12,|(1)| 12, |1-+| 12,| 12,|1+| 12,而|1-a+b|+|1+a+b|2|1+b|,所以 2|1+b|1,解得- b- ,另一方面 |b| 等价于- b ,32 12 12 12 12所以 b=- ,所以 解得 a=0.12 |12-| 12,|12+| 12,综上得 故 4a+3b=- .=0,=-12, 328.二次函数 y=x2+kx+k,k4,6的图象截 x轴所得线段长度的取值范围是 . 答案 0,2 3解析 所求线段的长度为 = ,因为 k4,6,2-4(-2)2-4所以 0,2 .(-2)2-4 39.对于定义在 R上的函数 f(x
4、),若实数 x0满足 f(x0)=x0,则称 x0是函数 f(x)的一个不动点.若函数 f(x)=x2+ax+1没有不动点,则实数 a的取值范围是 . 答案 (-1,3)解析 问题等价于方程 x2+ax+1=x无解,即 x2+(a-1)x+1=0无解,=(a-1) 2-4f(a-1)的实数 a的取值范围.解析 (1)m 2+m=m(m+1),mN *,而 m与 m+1中必有一个为偶数,m(m+1)为偶数.函数 f(x)= (mN *)的定义域为0,+),并且在定义域(2+)-1上为增函数.(2)函数 f(x)的图象经过点(2, ),2 = ,m 2+m=2.22(2+)-1解得 m=1或 m=
5、-2.又 mN *,m=1.由 f(2-a)f(a-1)得 2- 0,-1 0,2-1.解得 1aba),其图象过点(1,0),并与直线y=-a有交点.(1)求证:0 ba,所以 a0.由 c=-a-2bba,得- ,2+20)与 x轴有两个交点 A,B,顶点为 C,设=b 2-4ac,ACB=,则 cos = ( )A. B. C. D.-4+4 -2+2 +4-4 +2-2答案 A 如图所示.|AB|= = = ,(1+2)2-412 (-)2-4 |AD|= ,而2|CD|= = ,|AC| 2=|AD|2+|CD|2= + = ,cos =|4-24 | 4 4221622+4162=
6、1- =1- = ,故选 A.|2+|2-|22| |22|2 222+4162-4+43.下图是二次函数 y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点 A(-3,0),对称轴为 x=-1,给出下面四个结论:b 24ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即b24ac,正确;对称轴为 x=-1,即- =-1,所以 2a-b=0,错误;结合2图象,当 x=-1时,y0,即 a-b+c0,错误;由对称轴为直线 x=-1知b=2a,又函数图象开口向下,所以 a1).(1)若 f(x)的定义域和值域均是1,a,求实数 a的值;(2)若 f(x)在区间(-,2上是减函数,且对任意的 x1,x21,a+
7、1,总有|f(x 1)-f(x2)|4,求实数 a的取值范围;(3)若 f(x)在1,3上有零点,求实数 a的取值范围.解析 (1)易知 f(x)在1,a上单调递减,所以 (1)=,()=1,a=2.(2)若 f(x)在区间(-,2上是减函数,则 a2,所以当 x1,a+1时, f(x) min=f(a)=5-a2,f(x)max=f(1)=6-2a,因为对任意的 x1,x21,a+1,总有|f(x 1)-f(x2)|4,即 f(x)max-f(x)min4,即 6-2a-5+a24,所以 a2-2a-30,得-1a3.(3)f(x)=x2-2ax+5(a1)在1,3上有零点,即 x2-2ax
8、+5=0在1,3上有解,所以 2a=x+ 在1,3上有解,5令 h(x)=x+ ,5易知 h(x)=x+ 在1, 上是减函数,在 ,3上是增函数,5 5 5h(1)=6,h( )=2 ,h(3)= ,5 51432 h(x)6,所以 2 2a6, a3.5 5 55.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象过点(1,0).(1)记函数 f(x)在0,2上的最大值为 M,若 M1,求 a的最大值;(2)若对任意的 x10,2,存在 x20,2,使得 f(x1)+f(x2) a,求32的取值范围.解析 (1)函数 f(x)的图象过点(1,0),f(1)=a+b+c=0,c=-a-b,
9、f(x)=ax 2+bx-a-b(a0),易知 f(x)的图象是开口向上的抛物线,M 为 f(0), f(2)中的较大者M1 (0)=- 1,(2)=3+ 1.2a2,即 a1,故 a的最大值为 1.(2)由题意知,存在 x20,2,使 f(x)min+f(x2) a,32f(x) min+f(x)max a,32由(1)知, f(x)=ax 2+bx-a-b,此函数图象的对称轴为直线 x=- .2当- 0时, f(x)在0,2上单调递增,2 f(x) min+f(x)max=f(0)+f(2)=-a-b+3a+b=2a a,32 0,符合题意.当 0- a,得- a,得-4- a,32 -4,符合题意.综上所述, - . 2 2
