1、考点规范练 41 直线、平面平行的判定与性质考点规范练 A 册第 28 页 基础巩固1.对于空间的两条直线 m,n 和一个平面 ,下列命题中的真命题是 ( )A.若 m ,n,则 mn B.若 m,n,则 mnC.若 m,n,则 mn D.若 m ,n,则 mn答案 D解析 对 A,直线 m,n 可能平行、异面或相交,故 A 错误;对 B,直线 m 与 n 可能平行,也可能异面,故 B错误;对 C,m 与 n 垂直而非平行 ,故 C 错误;对 D,垂直于同一平面的两直线平行 ,故 D 正确.2.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB平面
2、MNP 的图形的序号是( )A. B. C. D.答案 C解析 对于图形 ,平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行,即可得到 AB平面 MNP;对于图形 ,ABPN,即可得到 AB平面 MNP;图形 无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.3.设 l 表示直线, 表示平面.给出四个结论: 若 l,则 内有无数条直线与 l 平行; 若 l,则 内任意的直线与 l 平行; 若 ,则 内任意的直线与 平行; 若 ,对于 内的一条确定的直线 a,在 内仅有唯一的直线与 a 平行.以上四个结论中,正确结论的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 中 内的直线与 l 可异面 , 中可有
3、无数条.4.(2018 浙江,6)已知平面 ,直线 m,n 满足 m,n,则“mn”是“m”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 当 m,n 时,由线面平行的判定定理可知,mnm;但反过来不成立,即 m 不一定有mn,m 与 n 还可能异面.故选 A.5.已知平面 和不重合的两条直线 m,n,下列选项正确的是( )A.如果 m,n,m,n 是异面直线,那么 nB.如果 m,n 与 相交,那么 m,n 是异面直线C.如果 m,n,m,n 共面,那么 mnD.如果 m ,nm,那么 n答案 C解析 如图(1)可知 A 错;如图(2)可
4、知 B 错;如图(3),m,n 是 内的任意直线,都有 nm,故 D 错. n, n 与 无公共点. m, n 与 m 无公共点.又 m,n 共面, mn,故选 C.6.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,MD平面 ABCD,NB平面 ABCD,且 MD=NB=1,G 为MC 的中点.则下列结论不正确的是( )A.MCANB.GB平面 AMNC.平面 CMN平面 AMND.平面 DCM平面 ABN答案 C解析 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中(如图), 取AN 的中点 H,连接 HB,MH,则 MCHB,又 HBAN,所以 MCAN,所以
5、A 正确;由题意易得 GBMH ,又 GB平面 AMN,MH平面 AMN,所以 GB平面 AMN,所以 B 正确;因为 ABCD,DM BN ,且 ABBN=B,CDDM=D,所以平面 DCM平面 ABN,所以 D 正确.7.已知平面 ,P 且 P,过点 P 的直线 m 与 , 分别交于 A,C,过点 P 的直线 n 与 , 分别交于B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为 . 答案 或 24245解析图(1)如图(1), ACBD=P, 经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD. , 平面 PAB=AB,平面 PCD=CD, ABCD. ,=即 .69=8-解得 BD=
6、 .245图(2)如图(2),同理可证 ABCD. ,即 .=63=-88解得 BD=24.综上所述,BD= 或 24.2458.过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线 ,其中与平面 ABB1A1 平行的直线共有 条. 答案 6解析 过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线 ,记 AC,BC,A1C1,B1C1 的中点分别为 E,F,E1,F1,则直线 EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1 均与平面 ABB1A1 平行,故符合题意的直线共 6 条.9.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是一直角梯形,AB CD ,BAAD ,CD=2AB,PA底面 A
7、BCD,E 为 PC 的中点,则 BE 与平面 PAD 的位置关系为 . 答案 平行解析取 PD 的中点 F,连接 EF,AF,在PCD 中,EF CD.12 ABCD 且 CD=2AB, EF AB, 四边形 ABEF 是平行四边形, EBAF.又 EB平面 PAD,AF平面 PAD, BE平面 PAD.10.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心 ,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,则点 Q 满足条件 时,有平面 D1BQ平面 PAO. 答案 Q 为 CC1 的中点解析 如图,假设 Q 为 CC1 的中点,因为 P 为 DD1 的中点,所
8、以 QBPA.连接 DB,因为 P,O 分别是 DD1,DB 的中点,所以 D1BPO.又 D1B平面 PAO,QB平面 PAO,所以 D1B平面 PAO,QB平面 PAO.又 D1BQB=B,所以平面 D1BQ平面 PAO.故 Q 满足条件 Q 为 CC1 的中点时,有平面 D1BQ平面 PAO.11.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC AB,AB=2AA 1,M 是 AB 的中点,A 1MC1 是等腰三角形,D 为CC1 的中点,E 为 BC 上一点.(1)若 BE=3EC,求证:DE平面 A1MC1;(2)若 AA1=1,求三棱锥 A-MA1C1 的体积.(1)证明 如图
9、,取 BC 的中点 N,连接 MN,C1N, M 是 AB 的中点, MNACA 1C1, M,N,C1,A1 共面. BE=3EC, E 是 NC 的中点 .又 D 是 CC1 的中点, DENC 1. DE平面 MNC1A1,NC1平面 MNC1A1, DE平面 A1MC1.(2)解 如图 ,当 AA1=1 时,则 AM=1,A1M= ,A1C1= .2 2 三棱锥 A-MA1C1 的体积 -11=1-1= AMAA1A1C1= .1312 2612.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 E 在线段 B1C1 上,B 1E=3EC1,试探究:在 AC 上是否存在点 F,满足EF平面
10、 A1ABB1?若存在,请指出点 F 的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.解法一 当 AF=3FC 时,EF 平面 A1ABB1.证明如下:在平面 A1B1C1 内过点 E 作 EGA 1C1 交 A1B1 于点 G,连接 AG.因为 B1E=3EC1,所以 EG= A1C1.34又因为 AFA 1C1,且 AF= A1C1,34所以 AF EG,所以四边形 AFEG 为平行四边形,所以 EFAG.又因为 EF平面 A1ABB1,AG平面 A1ABB1,所以 EF平面 A1ABB1.解法二 当 AF=3FC 时,EF 平面 A1ABB1.证明如下:在平面 BCC1B1 内过点 E 作 E
11、GBB 1 交 BC 于点 G,因为 EGBB 1,EG平面A1ABB1,BB1平面 A1ABB1,所以 EG平面 A1ABB1.因为 B1E=3EC1,所以 BG=3GC,所以 FGAB.又因为 AB平面 A1ABB1,FG平面 A1ABB1,所以 FG平面 A1ABB1.又因为 EG平面 EFG,FG平面 EFG,EGFG=G,所以平面 EFG平面 A1ABB1.因为 EF平面 EFG,所以 EF平面 A1ABB1.能力提升13.设 , 为三个不同的平面,m ,n 是两条不同的直线,在命题 “=m,n,且 ,则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ,n; m,n
12、; n,m .可以填入的条件有( )A. B.C. D.答案 C解析 由面面平行的性质定理可知, 正确;当 n ,m 时, n 和 m 在同一平面内,且没有公共点,所以平行, 正确.故选 C.14.如图,ABCD-A 1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的棱 A1B1,B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ= . 3答案223解析 如图所示,连接 AC,易知 MN平面 ABCD.又平面 PQNM平面 ABCD=PQ,MN平面 PQNM, MNPQ.又 MNAC, PQAC. AP=
13、 , , PQ= AC= a.3 =23 23 22315.在三棱锥 S-ABC 中,ABC 是边长为 6 的正三角形,SA=SB=SC=15,平面 DEFH 分别与AB,BC,SC,SA 交于 D,E,F,H.D,E 分别是 AB,BC 的中点.如果直线 SB平面 DEFH,那么四边形 DEFH的面积为 . 答案452解析 取 AC 的中点 G,连接 SG,BG.易知 SGAC ,BGAC ,故 AC平面 SGB,所以 ACSB.因为 SB平面 DEFH,SB平面 SAB,平面 SAB平面 DEFH=HD,所以 SBHD.同理 SBFE.又 D,E 分别为 AB,BC 的中点,则 H,F 也
14、为 AS,SC 的中点,从而得 HF AC DE,12所以四边形 DEFH 为平行四边形.又 ACSB,SB HD,DEAC,所以 DEHD ,所以四边形 DEFH 为矩形,其面积 S=HFHD= .(12)(12)=45216.如图,棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 为菱形,平面 AA1C1C平面 ABCD.(1)求证:平面 AB1C平面 DA1C1;(2)在直线 CC1 上是否存在点 P,使 BP平面 DA1C1?若存在 ,求出点 P 的位置;若不存在,说明理由.(1)证明 由棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的性质,知 AB1DC 1,A1DB 1C. AB1B1C=B
15、1,A1DDC1=D, 平面 AB1C平面 DA1C1.(2)解 存在这样的点 P 满足题意.如图,在 C1C 的延长线上取点 P,使 C1C=CP,连接 BP, B1B CC1, BB1 CP, 四边形 BB1CP 为平行四边形, BPB 1C. A1DB 1C, BPA 1D.又 A1D平面 DA1C1,BP平面 DA1C1, BP平面 DA1C1.高考预测17.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 6,点 E,F 分别在边 AB,AD 上,AE=AF= 4,现将AEF 沿线段 EF折起到AEF 位置,使得 AC=2 .6(1)求五棱锥 A-BCDFE 的体积 ;(2)在线段 AC 上是否
16、存在一点 M,使得 BM平面 AEF?若存在 ,求 AM;若不存在,请说明理由.解 (1)连接 AC,设 ACEF=H,连接 AH.因为四边形 ABCD 是正方形,AE=AF=4,所以 H 是 EF 的中点 ,且 EFAH,EFCH.从而有 AHEF,CHEF,又 AHCH=H,所以 EF平面 AHC,且 EF平面 ABCD.从而平面 AHC平面 ABCD.过点 A作 AO 垂直 HC 且与 HC 相交于点 O,则 AO平面 ABCD.因为正方形 ABCD 的边长为 6,AE=AF=4,所以 AH=2 ,CH=4 ,2 2所以 cosAHC=2+2-22= .8+32-2422242=12所以 HO=AHcosAHC= ,2则 AO= .6所以五棱锥 A-BCDFE 的体积V=13(62-1244)6= .2863(2)在线段 AC 上存在点 M,使得 BM平面 AEF,此时 AM= .62证明如下:连接 OM,BD,BM,DM,且易知 BD 过 O 点.AM= AC,HO= HC,62=14 14所以 OMAH.又 OM平面 AEF,AH平面 AEF,所以 OM平面 AEF.又 BDEF,BD平面 AEF,EF平面 AEF,所以 BD平面 AEF.又 BDOM=O,所以平面 MBD平面 AEF,因为 BM平面 MBD,所以 BM平面 AEF.
