1、高考大题专项练四 高考中的立体几何高考大题专项练第 8 页 1.如图,在平行四边形 ABCM 中,AB=AC=3,ACM= 90.以 AC 为折痕将ACM 折起,使点 M 到达点D 的位置,且 ABDA.(1)证明:平面 ACD平面 ABC;(2)Q 为线段 AD 上一点,P 为线段 BC 上一点,且 BP=DQ= DA,求三棱锥 Q-ABP 的体积.23(1)证明 由已知可得,BAC= 90,BAAC.又 BAAD ,所以 AB平面 ACD.又 AB平面 ABC,所以平面 ACD平面 ABC.(2)解 由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3 .2又 BP=DQ= DA,所以 BP=2 .
2、23 2作 QEAC,垂足为 E,则 QE DC.13由已知及(1)可得 DC平面 ABC,所以 QE平面 ABC,QE=1.因此,三棱锥 Q-APB 的体积为 VQ-ABP= QESABP= 1 32 sin 45=1.13 13 12 22.如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在平面互相垂直,CEAC ,EFAC,AB= ,CE=EF=1.2(1)求证:AF平面 BDE;(2)求证:CF平面 BDE;(3)求二面角 A-BE-D 的大小.(1)证明 设 AC 与 BD 交于点 G,因为 EFAG ,且 EF=1,因为正方形 ABCD 边长 AB= ,2所以 AC=2,AG= AC
3、=1,12所以四边形 AGEF 为平行四边形.所以 AFEG.因为 EG平面 BDE,AF平面 BDE,所以 AF平面 BDE.(2)证明 因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直 ,且 CEAC,所以 CE平面 ABCD.如图,以 C 为原点,分别以 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,Cxyz.则 C(0,0,0),A( ,0),D( ,0,0),E(0,0,1),B(0, ,0),F .2, 2 2 2 (22, 22,1)所以 =(0,- ,1), =(- ,0,1).=(22, 22,1), 2 2所以 =0-1+1=0, =-1+0+1
4、=0. 所以 CFBE,CFDE ,所以 CF平面 BDE.(3)解 由(2)知, 是平面 BDE 的一个法向量; =( ,0,0),=(22, 22,1) 2设平面 ABE 的法向量 n=(x,y,z),则 n =0,n =0, 即 (,)( 2,0,0)=0,(,)(0,- 2,1)=0,所以 x=0,z= y.2令 y=1,则 z= .2所以 n=(0,1, ),2从而 cos= .|=32因为二面角 A-BE-D 为锐角,所以二面角 A-BE-D 为 .63.(2018 浙江,19)如图,已知多面体 ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C 均垂直于平面 ABC,ABC=120,A1
5、A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB 1平面 A1B1C1;(2)求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值.解法一 (1)证明:由 AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1AB,BB 1AB,得 AB1=A1B1=2 ,2所以 A1 +A =A ,21 21 21故 AB1A 1B1.由 BC=2,BB1=2,CC1=1,BC1BC ,CC1BC ,得 B1C1= ,5由 AB=BC=2,ABC=120,得 AC=2 ,3由 CC1AC,得 AC1= ,13所以 A +B1 =A ,21 21 21故 AB1B 1C1.因此 AB1平面 A1B1C1.(2)如
6、图,过点 C1 作 C1DA 1B1,交直线 A1B1 于点 D,连接 AD.由 AB1平面 A1B1C1,得平面 A1B1C1平面 ABB1,由 C1DA 1B1,得 C1D平面 ABB1,所以C 1AD 是 AC1 与平面 ABB1所成的角.由 B1C1= ,A1B1=2 ,A1C1= ,5 2 21得 cosC 1A1B1= ,sinC 1A1B1= ,67 17所以 C1D= ,3故 sinC 1AD= .11=3913因此,直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值是 .3913解法二 (1)证明:如图,以 AC 的中点 O 为原点,分别以射线 OB,OC 为 x,y 轴的正半
7、轴,建立空间直角坐标系 O-xyz.由题意知各点坐标如下:A(0,- ,0),B(1,0,0),A1(0,- ,4),B1(1,0,2),C1(0, ,1).3 3 3因此 =(1, ,2), =(1, ,-2), =(0,2 ,-3).1 3 11 3 11 3由 =0,得 AB1A 1B1.111由 =0,得 AB1A 1C1.111所以 AB1平面 A1B1C1.(2)设直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角为 .由(1)可知 =(0,2 ,1), =(1, ,0), =(0,0,2).1 3 3 1设平面 ABB1 的法向量 n=(x,y,z).由 =0,1=0,即 +3=0,2=0
8、, 可取 n=(- ,1,0).3所以 sin =|cos|1= .|1|1|=3913因此,直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值是 .39134.(2018 全国 ,理 20)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O 为 AC 的中点.2(1)证明:PO 平面 ABC;(2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 M-PA-C 为 30,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.(1)证明 因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OPAC,且 OP=2 .3连接 OB,因为 AB=BC= AC,所以 ABC 为等腰直角三角形 ,
9、且 OBAC,OB= AC=2.22 12由 OP2+OB2=PB2 知 POOB.由 OPOB ,OPAC 知 PO平面 ABC.(2)解 如图,以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立空间直角坐标系 O-xyz.由已知得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 ), =(0,2,2 ).取平面 PAC 的法向量 =(2,0,0),3 3 设 M(a,2-a,0)(0= .23(-4)23(-4)2+32+2由已知可得|cos|= .32所以 ,23|-4|23(-4)2+32+2=32解得 a=-4(舍去 ),a= .43所以 n
10、= .(-833,433,-43)又 =(0,2,-2 ), 3所以 cos= .34所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 .345.如图,正方形 ABCD 所在平面与等腰三角形 EAD 所在平面相交于 AD,EA=ED,AE平面 CDE.(1)求证:AB平面 ADE;(2)设 M 是线段 BE 上一点,当直线 AM 与平面 EAD 所成角的正弦值为 时,试确定点 M 的位置.223(1)证明 AE平面 CDE,CD平面 CDE, AECD.在正方形 ABCD 中,CDAD, ADAE=A, CD平面 ADE. ABCD, AB平面 ADE.(2)解 由(1)得平面 EAD平面 ABC
11、D,取 AD 的中点 O,取 BC 的中点 F,连接 EO,OF. EA=ED, EOAD, EO平面 ABCD.以 OA,OF,OE 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设 AB=2,则 A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1).设 M(x,y,z).连接 AM, =(x-1,y-2,z), =(-1,-2,1), B,M,E 三点共线,设 = (0 1), M(1-,2-2,), =(-,2-2,).设 AM 与平面 EAD 所成角为 , 平面 EAD 的一个法向量为 n=(0,1,0), sin =|cos|= ,|2-2|62-8+4=223解得
12、 = 或 =-1(舍去),13 点 M 为线段 BE 上靠近点 B 的三等分点.6.(2018 全国 ,理 19)如图,边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直,M 是 上异于 C,D 的点. (1)证明:平面 AMD平面 BMC;(2)当三棱锥 M-ABC 体积最大时,求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值.(1)证明 由题设知,平面 CMD 平面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC平面 ABCD,所以 BC平面CMD,故 BCDM.因为 M 为 上异于 C,D 的点 ,且 DC 为直径,所以 DMCM.又 BCCM=C,所以 DM平面 BMC.而
13、DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.(2)解 以 O 为坐标原点 , 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.当三棱锥 M-ABC 体积最大时,M 为 的中点.由题设得 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),=(-2,1,1), =(0,2,0), =(2,0,0). 设 n=(x,y,z)是平面 MAB 的法向量,则 =0,=0,即 -2+=0,2=0. 可取 n=(1,0,2),是平面 MCD 的法向量,因此 cos= ,sin= . |=55 255所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是
14、.2557.如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 A1A底面 ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA 1=2,AD=CD= ,且5点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点.(1)求证:MN平面 ABCD;(2)求二面角 D1-AC-B1 的正弦值;(3)设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ,求线段 A1E 的长.13解 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得 A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2
15、).又因为 M,N 分别为 B1C 和 D1D 的中点,得 M ,N(1,-2,1).(1,12,1)(1)证明:依题意,可得 n=(0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量. .=(0,-52,0)由此可得 n=0,又因为直线 MN平面 ABCD,所以 MN平面 ABCD.(2) =(1,-2,2), =(2,0,0).1 设 n1=(x1,y1,z1)为平面 ACD1 的法向量,则 11=0,1=0,即 1-21+21=0,21=0. 不妨设 z1=1,可得 n1=(0,1,1).设 n2=(x2,y2,z2)为平面 ACB1 的法向量,则 21=0,2=0,又 =(0,1,2),得1
16、2+22=0,22=0. 不妨设 z2=1,可得 n2=(0,-2,1).因此有 cos= =- ,12|1|2| 1010于是 sin= .31010所以,二面角 D1-AC-B1 的正弦值为 .31010(3)依题意,可设 = ,其中 0,1,则 E(0,2),1 11从而 =(-1,+2,1).又 n=(0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量,由已知,得 cos= ,|= 1(-1)2+(+2)2+12=13整理得 2+4-3=0,又因为 0,1,解得 = -2.7所以,线段 A1E 的长为 -2.78.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=
17、AD,E 为棱 AD 的中点,异面直线12PA 与 CD 所成的角为 90.(1)在平面 PAB 内找一点 M,使得直线 CM平面 PBE,并说明理由;(2)若二面角 P-CD-A 的大小为 45,求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值.解 (1)在梯形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行.延长 AB,DC 相交于点 M(M平面 PAB),点 M 即为所求的一个点.理由如下:由已知,BCED,且 BC=ED.所以四边形 BCDE 是平行四边形.从而 CMEB.又 EB平面 PBE,CM平面 PBE,所以 CM平面 PBE.(说明:延长 AP 至点 N,使得 AP=PN,则所找的点可以是
18、直线 MN 上任意一点)(2)(方法一 )由已知,CDPA,CDAD,PA AD=A,所以 CD平面 PAD.从而 CDPD.所以PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角,所以PDA=45.设 BC=1,则在 RtPAD 中,PA=AD=2.过点 A 作 AH CE,交 CE 的延长线于点 H,连接 PH.易知 PA平面 ABCD,从而 PACE.于是 CE平面 PAH.所以平面 PCE平面 PAH.过 A 作 AQPH 于 Q,则 AQ平面 PCE.所以APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角.在 RtAEH 中,AEH=45,AE=1,所以 AH= .22在 RtPAH 中,PH= ,2
19、+2=322所以 sinAPH= .=13(方法二) 由已知,CDPA ,CDAD,PA AD=A,所以 CD平面 PAD.于是 CDPD.从而PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角.所以PDA= 45.由 PAAB,可得 PA平面 ABCD.设 BC=1,则在 RtPAD 中,PA=AD=2.作 Ay 平面 PAD,以 A 为原点 ,以 的方向分别为 x 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间,直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0).所以 =(1,0,-2), =(1,1,0), =(0,0,2). 设平面 PCE 的法向量为 n=(x,y,z).由 =0,=0,得 -2=0,+=0.设 x=2,解得 n=(2,-2,1).设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ,则 sin =|= .2222+(-2)2+12=13所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 .13
