1、考点规范练 46 双曲线考点规范练 B 册第 33 页 一、基础巩固1.若 a1,则双曲线 -y2=1 的离心率的取值范围是( )22A.( ,+) B.( ,2) C.(1, ) D.(1,2)2 2 2答案 C解析 由题意得 e2= =1+ .22=2+12 12因为 a1,所以 10)的一条渐近线与直线 y=x 垂直,则此双曲线的实轴长2229为( )A.2 B.4 C.18 D.36答案 C解析 双曲线的一条渐近线的方程为 y=-x,所以- =-1,解得 a=9,所以双曲线的实轴长为 2a=18.故313选 C.4.设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线
2、C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距513离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( )A. =1 B. =1242232 x2132252C. =1 D. =1232242 21322122答案 A解析 由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0),设曲线 C2 上的一点 P,则|PF 1|-|PF2|=8.由双曲线的定义知 a=4,b=3.故曲线 C2 的标准方程为 =1.2422325.设 F1,F2 分别为双曲线 =1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得(|PF 1|-|PF2|)22222=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( )
3、A. B. C.4 D.2 15 17答案 D解析 由双曲线的定义知,(|PF 1|-|PF2|)2=4a2,所以 4a2=b2-3ab,即 -3=4,解得= 4 .22 (=-1舍去 )因为双曲线的离心率 e= ,=1+22所以 e= .故选 D.176.已知双曲线 =1 的一个焦点为 F(2,0),且双曲线与圆( x-2)2+y2=1 相切,则双曲线的离心率为( )2222A. B.2 C.3 D.4答案 B解析 因为双曲线 =1 的一个焦点为 F(2,0),2222所以 c=2,因为双曲线与圆( x-2)2+y2=1 相切,所以圆心为 F(2,0),半径 r=1.所以 c-a=1,即 a
4、=1,所以双曲线的离心率 e= =2.7.(2018 江苏,8)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 =1(a0,b0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近2222线的距离为 c,则其离心率的值是 . 32答案 2解析 双曲线的渐近线为 y=x,即 bxay=0.所以双曲线的焦点 F(c,0)到渐近线的距离为 =b,解得 b= c,因此 a2=c2-b2=c2-|0|2+2= 32c2= c2,a= c,e=2.34 14 128.(2018 江西六校联考)双曲线 C: -y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交双曲线左支于24A,B 两点,则|AF 2|+|BF2|的最小值
5、为 . 答案 9解析 由双曲线的定义,得|AF 2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a2 +4a=2+8=9.29.设 A,B 分别为双曲线 =1(a0,b0)的左、右顶点 ,双曲线的实轴长为 4 ,焦点到渐近线的距22223离为 .3(1)求双曲线的方程;(2)已知直线 y= x-2 与双曲线的右支交于 M,N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D,使 =t33 +,求 t 的值及点 D 的坐标.解 (1)由题意知 a=2 ,故可得一条渐近线方程为 y= x,323即 bx-2 y=0,所以 .3|2+12=3所以 b2=3,所以双曲线的方程为 =1.21223(
6、2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 x+84=0,3则 x1+x2=16 ,y1+y2=12.3故 解得00=433,2012-203=1,0=43,0=3. 来源:学科网ZXXK由 =t ,得(16 ,12)=(4 t,3t),故 t=4,点 D 的坐标为(4 ,3).+ 3 3 310.已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件|PM|-|PN|=2 ,记动点 P 的轨迹为 W.2(1)求 W 的方程 ;(2)若 A 和 B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求
7、的最小值 .解 (1)由|PM|-|PN|= 2 知动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支 ,实半轴长 a= .2 2又焦距 2c=4,所以虚半轴长 b= .2-2=2所以 W 的方程为 =1(x ).2222 2(2)设 A,B 的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2).当 ABx 轴时,x 1=x2,y1=-y2,从而 =x1x2+y1y2= =2. 2121当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m(k1),与 W 的方程联立,消去 y 得(1-k 2)x2-2kmx-m2-2=0,则 x1+x2= ,x1x2= ,21-2 2+22-1所以 =x
8、1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2= +m2(1+2)(2+2)2-1 +2221-2= =2+ .22+22-1 42-1又因为 x1x20,所以 k2-10.所以 2.综上所述,当 ABx 轴时, 取得最小值 2.二、能力提升11.已知双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线上,OAF 是边长为 2 的等2222边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( )A. =1 B. =124212 21224C. -y2=1 D.x2- =123 23答案 D解析 双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为
9、F(c,0),点 A 在双曲线的渐近线上,且 OAF 是边长为22222 的等边三角形,不妨设点 A 在渐近线 y=x 上, 解得=2,=60,2+2=2, =1,=3. 双曲线的方程为 x2- =1.故选 D.2312.已知双曲线 C: =1(a0,b0)的右焦点为 F,以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲2222线的一个交点为 M,且 MF 与双曲线的实轴垂直,则双曲线 C 的离心率为( )A. B. C. D.252 5 2答案 C解析 设 F(c,0),渐近线方程为 y=x,可得点 F 到渐近线的距离为 =b,2+2即有圆 F 的半径为 b.令 x=c,可得 y=b = .22
10、-1 2由题意可得 =b,即 a=b,则 c= a.2 2+2=2即离心率 e= .=213.已知定点 F1(-2,0),F2(2,0),N 是圆 O:x2+y2=1 上任意一点,点 F1 关于点 N 的对称点为 M,线段 F1M的垂直平分线与直线 F2M 相交于点 P,则点 P 的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆答案 B解析 如图,连接 ON,由题意可得|ON|=1,且 N 为 MF1 的中点,又 O 为 F1F2 的中点 , |MF2|=2. 点 F1 关于点 N 的对称点为 M,线段 F1M 的垂直平分线与直线 F2M 相交于点 P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|
11、PF 1|, |PF2|-|PF1|=|PF2|-|PM|=|MF2|=20,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上,且2222|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 . 答案解析 由定义,知|PF 1|-|PF2|=2a.又|PF 1|=4|PF2|, |PF1|= a,|PF2|= a.83 23在PF 1F2 中,由余弦定理,得 cos F 1PF2= e2.6492+492-4228323 =17898要求 e 的最大值,即求 cosF 1PF2 的最小值, 当 cosF 1PF2=-1 时,得 e= ,53即 e 的最大值为 .5315.
12、已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1.(1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围;(2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,且 AOB 的面积为 ,求实数 k 的值.2解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点,则方程组 有两个不同的实数根,2-2=1,=-1整理得(1-k 2)x2+2kx-2=0.故 1-20,=42+8(1-2)0,解得- |x2|时,SOAB=SOAD-SOBD= (|x1|-|x2|)= |x1-x2|;12 12当 A,B 在双曲线的两支上且 x1x2 时,SOAB=SODA+SOBD= (|x1|+|
13、x2|)= |x1-x2|.12 12故 SOAB= |x1-x2|= ,12 2即(x 1-x2)2=(2 )2,即 =8,2 (-21-2)2+ 81-2解得 k=0 或 k= .62又- 0,b0),2222则 =1,且 a=2,解得 b=2.8242则双曲线的标准方程为 =1.2424(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为 F1(-2 ,0),F2(2 ,0).2 2若F 1PF2 是直角 ,则设 P(x,y),则有 x2+y2=8.由 解得 x2=6,y2=2.2+2=8,2-2=4,由 解得 y=1,不满足题意,舍去.2+2=8,2+(2)2=8,故在曲线上所求点 P 的坐标为(
14、 ),(- ),(- ,- ),( ,- ).6, 2 6, 2 6 2 6 2三、高考预测17.已知双曲线 =1 的左焦点为 F,右顶点为 A,虚轴的一个端点为 B,若ABF 为等腰三角形,则2222该双曲线的离心率为( )A.1+ B. C. D.3 5 3 2答案 A解析 由题意得 F(-c,0),A(a,0),不妨设 B(0,b),则|BF|= c,|AF|=a+cc,|AB|= =c,2+2 2+2因为ABF 为等腰三角形 ,所以只能是 |AF|=|BF|, a+c= .2+2 a2+c2+2ac=c2+c2-a2. c2-2a2-2ac=0,即 e2-2e-2=0,e=1+ (舍去负值 ),选 A.3
