1、考点规范练 34 基本不等式及其应用考点规范练 B 册第 21 页 基础巩固1.下列不等式一定成立的是( )A.lg lg x(x0)(2+14)B.sin x+ 2(x k,kZ)1C.x2+12|x|(xR)D. 1(xR)12+1答案 C解析 因为 x0,所以 x2+ 2 x =x,所以 lg lg x(x0),故选项 A 不正确;14 12 (2+14)当 xk,kZ 时,sin x 的正负不定 ,故选项 B 不正确;由基本不等式可知选项 C 正确 ;当 x=0 时, =1,12+1故选项 D 不正确.2.若正数 x,y 满足 =1,则 3x+4y 的最小值是( )1+3A.24 B.
2、28 C.25 D.26答案 C解析 正数 x,y 满足 =1,1+3 3x+4y=(3x+4y) =13+ 13+ 32 =25,当且仅当 x=2y=5 时等号成立.(1+3) 3+12 4 3x+4y 的最小值是 25.故选 C.3.已知 a0,b0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+ ,n=a+ ,则 m+n 的最小值是( )1 1A.3 B.4 C.5 D.6答案 B解析 由题意知 ab=1,则 m=b+ =2b,n=a+ =2a,1 1故 m+n=2(a+b)4 =4(当且仅当 a=b=1 时,等号成立) .4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a22 ,即 , a0
3、,b0)对称,则 的最小值为( )1+4A.8 B.9 C.16 D.18答案 B解析 由圆的对称性可得,直线 ax-2by+2=0 必过圆心(-2,1),所以 a+b=1.所以 (a+b)=5+ 5+ 4=9,当且仅当 ,即 2a=b= 时等号成立,故选 B.1+4=(1+4) +4 =4 236.若两个正实数 x,y 满足 =1,且 x+2ym2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( )2+1A.(-,-2)4, +) B.(-,-42,+)C.(-2,4) D.(-4,2)答案 D解析 因为 x0,y0, =1,2+1所以 x+2y=(x+2y) =2+ +28,(2+1) 4+当且
4、仅当 ,即 x=2y 时等号成立.4=由 x+2ym2+2m 恒成立,可知 m2+2m1,b1,若 ax=by=3,a+b=2 ,则 的最大值为 ( )31+1A.2 B. C.1 D.32 12答案 C解析 由 ax=by=3, .1+1= 13+ 13=+3=()3又 a1,b1,所以 ab =3,(+2)2所以 lg(ab)lg 3,从而 =1,当且仅当 a=b= 时等号成立.1+133 38.已知 x1,则 logx9+log27x 的最小值是 . 答案263解析 x1, logx9+log27x= 2 ,当且仅当 x= 时等号成立.23+3323=263 36 logx9+log27
5、x 的最小值为 .2639.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(xN *).则当每台机器运转 年时,年平均利润最大,最大值是 万元. 答案 5 8解析 每台机器运转 x 年的年平均利润为 =18- ,而 x0, (+25)所以 18- 2 =8,当且仅当 x=5 时,年平均利润最大,最大值为 8 万元. 2510.已知正数 a,b 满足 2a2+b2=3,则 a 的最大值为 . 2+1答案 2解析 a (2a2+b2+1)= (3+1)= ,2+1=222a2+12212 2
6、4 2当且仅当 a= ,且 2a2+b2=3,即 a2=1,b2=1 时,等号成立.2 2+1故 a 的最大值为 .2+1 211.(2018 天津,理 13)已知 a,bR,且 a-3b+6=0,则 2a+ 的最小值为 . 18答案14解析 因为 2a0, 0,所以 2a+ =2a+2-3b2 =2 ,18 18 22-3 2-3当且仅当 a=-3,b=1 时,等号成立 .因为 a-3b+6=0,所以 a-3b=-6.所以 2a+ 2 ,即 2a+ 的最小值为 .18 2-6=14 18 14能力提升12.若不等式 2x2-axy+y20 对于任意 x1,2 及 y1,3 恒成立,则实数 a
7、 的取值范围是( )A.a2 B.a2 C.a D.a2 2113 92答案 A解析 因为 2x2-axy+y20,且 y0,所以 2 -a +10.()2令 t= ,则不等式变为 2t2-at+10.由 x1,2,y1,3,可知 t ,即 2t2-at+10 在 t 时恒成立.13,2 13,2由 2t2-at+10 可得 a ,22+1即 a2t+ .又 2t+ 2 =2 .1 1 21 2当且仅当 2t= ,即 t= 时等号成立,所以 2t+ 取得最小值 2 ,所以有 a2 ,故选 A.1 22 1 2 213.已知不等式|y+4|-|y| 2 x+ 对任意实数 x,y 都成立,则实数
8、a 的最小值为( )2A.1 B.2 C.3 D.4答案 D解析 令 f(y)=|y+4|-|y|,则 f(y)|y+4-y|=4,即 f(y)max=4. 不等式|y+4|-|y|2 x+ 对任意实数 x,y 都成立,2 2x+ f(y) max=4,2 a-(2 x)2+42x=-(2x-2)2+4 恒成立;令 g(x)=-(2x)2+42x,则 ag(x) max=4, 实数 a 的最小值为 4.14.已知 x0,a 为大于 2x 的常数.(1)求函数 y=x(a-2x)的最大值;(2)求 y= -x 的最小值.1-2解 (1) x0,a2x, y=x(a-2x)= 2x(a-2x) ,12 122+(-2)2 2=28当且仅当 x= 时取等号 ,故函数 y=x(a-2x)的最大值为 .4 28(2)y= -x= 2 ,当且仅当 x= 时取等号.1-2 1-2+-222 122=22 - 22故 y= -x 的最小值为 .1-2 22高考预测15.若 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是 . 答案 (-,19,+)解析 ab=a+b+3, a+b=ab-3, (a+b)2=(ab-3)2, (a+b)24 ab, (ab-3)24ab,即(ab) 2-10ab+90,故 ab1 或 ab9.因此 ab 的取值范围是(- ,19, +).
