1、第三节 函数的奇偶性与周期性A组 基础题组1.下列函数中,值域为 R的偶函数是( )A.y=x2+1 B.y=ex-e-x C.y=lg|x| D.y= 2答案 C y=x 2+1是偶函数,值域为1,+),A 错误;y=ex-e-x是奇函数,B 错误;y=lg|x|是偶函数,值域为 R,C 正确;y= 的值域为0,+),D 错误.故选 C.22.(2017北京丰台二模,2)下列函数中,既是偶函数又是(0,+)上的增函数的是( )A.y=-x3 B.y=2|x| C.y= D.y=log3(-x)12答案 B 易知 A中的函数为奇函数,C、D 中的函数的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故选
2、 B.3.(2018北京石景山一模,2)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数为( )A.y= B.y=-x3 C.y=lo x D.y=x+g12答案 B 由定义可知选项 A和 C都是非奇非偶函数,可排除.D 选项在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,可排除.只有 B满足条件,故选 B.4.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=( )A.-3 B.-1 C.1 D.3答案 C 解法一:f(x)- g(x)=x 3+x2+1,f(-x)-g(-x)=-x 3+x2+1,又由题意可
3、知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),f(x)+g(x)=-x 3+x2+1,则 f(1)+g(1) =1,故选 C.解法二:令 f(x)=x2+1,g(x)=-x3,显然符合题意,则 f(1)+g(1)=12+1-13=1.选 C.5.(2017北京,5,5 分)已知函数 f(x)=3x- ,则 f(x)( )(13)A.是奇函数,且在 R上是增函数 B.是偶函数,且在 R上是增函数C.是奇函数,且在 R上是减函数 D.是偶函数,且在 R上是减函数答案 A 易知函数 f(x)的定义域关于原点对称.f(-x)=3 -x- = -3x=-f(x),(13)-(13)f(x)为奇函数.又
4、y=3 x在 R上是增函数,y=- 在 R上是增函数,(13)f(x)=3 x- 在 R上是增函数.故选 A.(13)6.已知 f(x)是定义在 R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数 a满足 f(2|a-1|)f(- ),2则 a的取值范围是( )A. B. ( -,12) ( -, 12) (32,+ )C. D.(12,32) (32,+ )答案 C f(x)是偶函数且在(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减,且 f(- )=f( ),原不等式可化为 f(2|a-1|)f( ).故有2 2 22|a-1|0时, f(x)= .x1-3x(1)求当 x0,此时 f
5、(x)=-f(-x)=- = .-x1-3-x x1-3-x(2)f(x)0时, ,所以 3x-1-,x1-3-x 11-3-x所以 3-x32,所以 x0,则 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.因为 f(x)为奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=x2+2x,所以 a=1,b=2.所以 a-b=-1.(2)由(1)可得 f(x)=-x2+2x,x0,x2+2x,x -1,m-21, 解得 11 B.x|x1 D.x|-10=f(-1),所以 x-1,所以-10时,可得 f(x)f(-x2)=-f(x2),所以 f(x1)+f(x2)0.所以f(x 1)+f(x2)(x1+x2)0,则 1x 1-x2-1,同理可证 f(x1)+f(x2)-1, 022,02,2+-20,解得 0a1.故所求实数 a的取值范围是0,1).
