1、第七中学 2019 届高三一诊模拟考试数学（理）试题（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若随机变量 ，且 ，则 （ ）23,XN:0.2PX15PXA.0.6 B.0.5C.0.4 D.0.32.函数 的图象大致是（ ）2ln1yxA. B.C. D.3.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）.当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（
2、 ）A. B.C. D.4.设 是虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部为（ ）iz13izA.1 B.-1 C.-2 D.25.执行下边的算法程序，若输出的结果为 120，则横线处应填入（ ）A. B. C. D.6kk6kk6.设实数 满足 ，则 的最大值是（ ）,xy2410y1xA.-1 B. C.1 D.2327.“ ”是“ ”的（ ）2loglabaA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.函数 的图象的一条对称轴方程是（ ）sinco6fxxA. B. C. D.1243x9.将多项式 分解因式得 ， 为常数，若 ，6510axax52m57a则
3、 （ ）0A.-2 B.-1 C.1 D.210.已知正三棱锥的高为 6，侧面与底面成 的二面角，则其内切球（与四个面都相切）的60表面积为（ ）A. B. C. D.413411.设 分别是 的内角 的对边，已知,abcABC,，设 是边 的中点，且 的面积为 ，sinsinacDBCABC3则 等于（ ）ABDA.2 B.4 C.-4 D.-212.如果 不是等差数列，但若 ，使得 ，那么称 为“局部等nakN21kkana差”数列.已知数列 的项数为 4，记事件 ：集合 ，事件nxA134,25x： 为“局部等差”数列，则条件概率 （ ）Bnx |PBA. B. C. D.4157301
4、56二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.某学校初中部共 120 名教师，高中部共 180 名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有 6 人，则工会代表中男教师的总人数为_.14.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上，且2:1CyxFlMCNl，若 ，则 的值为_.0FNM415.设 ， ， 为自然对数的底数，若 ，则 的最小值是abe12eaxbd21ab_.16.若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是_.23,0xaf a三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721
5、 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.17.正项等比数列 中，已知 ， .na3426a求 的前 项和 ； nS对于 中的 ，设 ，且 ，求数列 的通项公式. n1b1nnbSNnb18.“黄梅时节家家雨” “梅雨如烟暝村树” “梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续 25 天左右的梅雨季节，如图是江南 镇 20092018 年梅雨季节的降雨量（单位： ）的频率分布直方图，试用Qm样本频率估计总体概率，解答下列问题：“梅实初黄暮雨深”.假设每年的梅雨天气相互独立，求 镇未来三年里至少有两年梅
6、雨 Q季节的降雨量超过的概率；“江南梅雨无限愁”.在 镇承包了 20 亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的 Q甲品种杨梅，平均每年的总利润为 28 万元.而乙品种杨梅的亩产量 （ /亩）与降雨量之mkg间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为 （元/ ） ，请你320.1帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使利润 （万元）的期望更大？（需说明理由） ；降雨量 10,220,330,440,5亩产量 500 700 600 40019.已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .210xyab22,0A求椭圆的标准方程；设 为椭圆的中线，点 ，过点 的动直线 交椭圆于另一
7、点 ，直线 上的点 O2,0DAlBl满足 ，求直线 与 的交点 的轨迹方程.4BCBOCP20.如图，在多面体 中， 和 交于一点，除 以外的其余各棱长均为 2.AEEC作平面 与平面 的交线 ，并写出作法及理由； CDEABl求证：平面 平面 ； CE若多面体的体积为 2，求直线 与平面 所成角的正弦值. DB21.已知函数 ，其中 为常数.sincos2fxxa若曲线 在 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 的值； y0a若对 ，都有 ，求 的取值范围. ,x2fx请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标
8、系 中，曲线 的参数标方程为 （其中 为参数） ，在以xOyCttxeyt为极点、 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线 的l极坐标方程为 .sin23求曲线 的极坐标方程； C求直线 与曲线 的公共点 的极坐标. lP23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ，且 .21fx,abcR若 ，求 的最小值； abcfff若 ，求证： . x21xa第七中学 2019 届高三一诊模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：ADBCDABAC二、填空题13.12 14.3 15. 16. 8334，三、解答题17.解： 设正项等比数列 的公比
9、为 ，则 na0q由 及 得 ，化简得 ，解得 或 （舍34a264q232q1去）.于是 ，所以 ， .12aq12nnSN由已知 ， ，所以当 时，由累加法得 1b11nnb 2n1211221nnnnbbbn.2又 也适合上式，所以 的通项公式为 ， .1bnb2nbN18.解： 频率分布直方图中第四组的频率为 . 10.04301江南 地区在梅雨季节时降雨量超过 的概率为 .Q35m5.125所以 地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过 的概率为3m（或 0.15625）.2331194462CC根据题意，总利润为 （元） ，其中 . 20.m50,76,40所以随机变量 （万元
10、）的分布列如下表.27 35 31.2 22.4P0.2 0.4 0.3 0.1故总利润 （万元）的数学期望（万元）.270.35.4120.34.154.09362.41E因为 3128，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大.19.解： 因为椭圆的离心率 ，且 ，所以 . 2ceac又 .故椭圆的标准方程为 .22bac214xy设直线 的方程为 （当 存在时，由题意 ） ，代入 ，并整理 l2xtyt0t24xy得 .240tyt解得 ，于是 ，即 .2Bt24Btxty24,tB设 ，则 .02,Cty2 230002448tytytyOBC由已知得 ，得 ，解得 ，于是
11、 .2308tt0t4,Ct又 ，此时 ， .2,0D24,tBt 42,OCt所以 ，于是 .22160OCtt DB故直线 与 的交点 的轨迹是以 为直径的圆（除去 两点）.P,D又当 不存在时， 四点重合，此时 也满足题意.t,B2,0P于是点 的轨迹方程是 ，即 .P2xy0xyx或解：（ 前相同）由 两点的坐标可得直线 的方程为 .,DBD2ty又由点 坐标可得直线 的方程为 .COyxt两式相乘，消去参数 得 .（如果只求出交点 的坐标，此步不得分）t2yP又当 不存在时， 四点重合，此时 也满足题意.t,BDP2,0故直线 与 的交点的轨迹方程 .OC2xyx20.解： 过点 作
12、 （或 ）的平行线，即为所求直线 . EAl和 交于一点， 四点共面.又 四边形 边长均相等.ABD,BD ABCD四边形 为菱形，从而 . C/C又 平面 ，且 平面 ， 平面 .EE/ E平面 ，且平面 平面 ， .ABABl/ABl证明：取 的中点 ，连结 ， O. ， ， ， .ODEDE D又 ， 平面 ， 平面 ，故 .BA BOBAED又 四边形 为菱形， .C又 ， 平面 .AE CE又 平面 ， 平面 平面 .BDE BDACE解：由 ，即 . 22ABCDAVV1DB设三棱锥 的高为 ，则 ，解得 .h13h3又 ， 平面 .3O E建立如图的空间直角坐标系 ，则 ， ，
13、，Oxyz0,1A3,0B,3D.0,1E， .0,13BCAD 3,10BE，由 得，平面 的一个法向量为 .3yzxC,31n又 ，于是 .0,1E 25cos,DE故直线 与平面 所成角的正弦值为 .DBC1521.解： 求导得 ，所以 . cosinfxxa0fa又 ，所以曲线 在 处的切线方程为 .04fyf04yx由切线在两坐标轴上的截距相等，得 ，解得 即为所求.4a1对 ， ，所以 在 区间内单调递减. ,xsinfxfx0,（1）当 时， ，所以 在区间 内单调递减，故0a0fxfafx0,，由 恒成立，得 ，这与 矛盾，故舍去.fxf1a（2）当 时， ，所以 在区间 内单
14、调递增，故fxffx,，即 ，由 恒成立得 ，结合0ff4a2得 .a（3）当 时，因为 ， ，且 在 区间上单0f0fafx0,调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一 ，使得 ，且 在区间0,xf内单调递增，在区间 内单调递减.0,x0,x故 ，由 恒成立知， ， ，min,fff04ffa所以 .1a又 的最大值为 ，由 得fx000sin2cos2fxxa0fx，0sincos所以 .20002icssfxxx设 ，则 ，所以sog 2sin0gx在区间 内单调递增，于是 ，即 .所以不等式x,2gx0f恒成立.2f综上所述，所求 的取值范围是 .a1,22.解： 消去参数 ，得曲线 的直角坐标方程 . tC242xyx将 ， 代入 ，得 .cosxysin24xycosin所以曲线 的极坐标方程为 .C2co将 与 的极坐标方程联立，消去 得 . l 24cos23sin展开得 .2 223cossincoicoi因为 ，所以 .cos023tanta10于是方程的解为 ，即 .t6代入 可得 ，所以点 的极坐标为 .sin232P2,623.解： 由柯西不等式得， （当且仅当 时 1433abcabc23abc取等号） ，所以 ，即22 71fff的最小值为 ；fabc7因为 ，所以 1x2 1ffaxaxa，故结论成立.12xa
