1、一、填空题1. 【江苏省连云港市 2019 届高三上学期期中考试 】已知双曲线 x2 - y2 = 1 的一条渐近线被圆 C：(x - 2)2 + y2 = r2(r 0) 截得的线段长为 2 ，则圆 C 的半径 r 考点：双曲线方程及其性质，直线与圆的方程。答案：22. 【江苏省连云港市 2019 届高三上学期期中考试】椭圆 的两个顶点过 A,B 分别作与 垂直的直线交椭圆 与 ，若 ，则椭圆的离心率ABTCD,AB3_.考点：椭圆方程及其性质，平面向量，数学计算能力。答案： 63解析：如下图， 设 D（ ， ） ，C（ ， ） ， 1xy2xyABAD，ABBC， ADBC，又BC3AD，
2、 ，即 ，3BCAD ，即C，D 在椭圆上， ，即 ，即： ，即： ，化简，得： ，又 ，所以， ，直线 AD 为： ，ABbkaADakb点 D 在直线 AD 上，所以， ，所以， ，即 ，3ab23. 【江苏省南京市 2019 届高三上学期综合模拟】设椭圆 和圆 ，若椭圆上存在点 ，使得过点 引圆 的两条切线，切点分别为 、 ，满足 ，则椭圆 的离心率的取值范围是_【答案】【解析】在四边形 中， ， ， ， ，由题意得，即 ，化解得 ，又在椭圆中 ， 12. 【江苏省如皋市 2019 届高三教学质量调研（三） 】如图，已知 为等腰直角三角形，其中，且 ，光线从 边上的中点 出发，经 ， 反
3、射后又回到点 （反射点分 别为 ， ） ，则光线经过的路径总长 _【答案】13. 【江苏省徐州市 2019 届高三上学期期中】已知双曲线 的离心率为 ，则实数 m 的值为 【答案】4【解析】试题分析：由题意 ， ， ，解得 14. 【江苏省盐城市、南京市 2019 届高三年级第一次模拟】若双曲线 的离心率为 ，则实数21xym2的值为 m【答案】 6【解析】由题： ， ， ，即 ，所以2a2bm2cea15. 【江苏省盐城市、南京市 2019 届高三年级第一次模拟】设 ，点 ，过PA点 引圆 的两条切线 ，若 的最大值为 ，则 的值为 P,PAB3r【答案】1【解析】算出满足使 最大值的 点轨
4、迹，连接 点和圆心，由切线可知： 点到圆心的距离APBPP为 点满足轨迹： ，因为存在唯一最大值所以该圆和直线2r相切，此时满足 ，又 因为 ，解得 2dr2d1r16. 【江苏省扬州市 2019 届高三上学期期中调研 】在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离为 4，则该抛物线的准线方程为 考点：抛物线的定义及其性质。答案： 3x解析：抛物线 的准线方程为 ，2px抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等，所以， 4，解得：p612所以，准线方程为 ，3x17. 【江苏省扬州市 2019 届高三上学期期中调研 】在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线的一
5、个焦点为(3，0) ，则双曲线的渐近线方程为 考点：双曲线的性质。答案： 52yx二、解答题18. 【江苏省连云港市 2019 届高三上学期期中考试】已知椭圆 C： 的离心率为 ，12以短轴为直径的圆被直线 x+y1 = 0 截得的弦长为 10(1) 求 椭圆 C 的方程；(2) 设 A， B 分别为椭圆的左、右顶点， D 为椭圆右准线 l 与 x 轴的交点， E 为 l 上的另一个点，直线 EB 与椭圆交于另一点 F，是否存在点 E，使 R)? 若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：椭圆的标准方程及其性质。解析：圆心为（0,0） ，半径为 R,，依题意，得：bR ，圆心到直
6、线 x+y1 = 0 的距离为： ，又弦长为 ，210所以，R 2 3，所以，bR 3离心率 e ，即 ，又 ，解得： ，ca12c22ac2,1ac椭圆 C 的方程为： 143xy（2）依题意，有 A（2,0） ，B（2,0） ，c1，椭圆的右准线方程为： ，所以，D （4,0）2ax设 l 上的另一个点 E（4，t） ，则 2BEtk直线 BE 方程为： ，与椭圆 C 联立方程： 消去 y 可得： 点 B（2,0） ，F（x，y）是直线与椭圆的 2 个交点，所以，由韦达定理，得： 2 ，413tx所以， ，代入 BE 方程，解得： ，所以，F（ ， ） ，从而， ， ， ） ，263t21
7、t(6,)AEt(FD2183t2t因为 R)，即 共线，所以，有,FD ，解得： ，所以，E（4，2183tt263t3)19. 【江苏省连云港市 2019 届高三上学期期中考试】规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球 A 是指该球的球心点 A两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向所有的球都简化为平面上半径为 1 的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：(1) 如图 1，设母球 A 的位置为 (0， 0)，目标球 B
8、的位置为 (4， 0)，要使目标球 B 向 C(8， -4) 处运动，求母球 A 球心运动的直线方程；(2) 如图 2，若母球 A 的位置为 (0， -2)，目标球 B 的位置为 (4， 0)，能否让母球 A 击打目标 B 球后，使目标 B 球向 (8，4) 处运动?(3) 若 A 的位置为 (0，a) 时，使得母球 A 击打目标球 B 时，目标球 B(4 ， 0) 运动方向可以碰到2目标球 C(7 ，-5 )，求 a 的最小值（只需要写出结果即可） 2考点：直线方程，圆的标准方程，平面向量。解析：（1）点 B（4,0）与点 C（8，4）所石室的直线方程为： xy40，依题意，知 A，B 两球
9、碰撞时，球 A 的球心在直线 xy40 上，且在第一象限，此时AB 2，设 A，B 两球碰撞时球 A 的球心坐标为（a，b） ，则有： ，解得： ， ，42ab即：A，B 两球碰撞时球 A 的球心坐标为 （ ， ） ，所以，母球 A 运动的直线方程为： （2）因为 （ ，2+ ） ， （ ， ） ，A42BA2而 （ ，2+ ） （ ， ）42 0，B所以， 是锐角，所以，点 B（4,0）到线段 的距离小于 2，即球 A 的球心还到直线 BC 上时，就会也 B 球碰撞，故目标AB 球不可能向（8，4）处运动。 20. 【江苏省南京市 2019 届高三上学期综合模拟】平面直角坐标系 中，已知椭圆
10、的离心率为 ，左、右焦点分别是 ，以 为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心以 1为半径的圆相交，且交点在椭圆 上.（1）求椭圆 的方程；（2）过椭圆 上一动点 的直线 ，过 F2 与 x 轴垂直的直线记为 ，右准线记为 ；设直线 与直线 相交于点 M，直线 与直线 相交于点 N，证明 恒为定值，并求此定值。 若连接 并延长与直线 相交于点 Q，椭圆 的右顶点 A，设直线 PA 的斜率为 ，直线 QA 的斜率为 ，求 的取值范围【答案】 （1） （2） 【解析】【分析】【详解】 （1）由题意知 ，则 ,又 可得 ,所以椭圆 C 的标准方程为 . （2）M N 点 （ ） ，点 Q ， ， ， =
11、 = 点 P 在椭圆 C 上， ， = = ， 的取值范围是 22. 【江苏省南京市六校联合体 2019 届高三 12 月联考】如图，某公园内有一个以 O 为圆心，半径为 5 百米，圆心角为 的扇形人工湖 OAB， OM、 ON 是分别由 OA、 OB 延伸而成的两条观光道为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与 相切点 F，且与 OM、 ON 分别相交于 C、 D，另两条是分别和湖岸 OA、 OB 垂直的 FG、 FH (垂足均不与 O 重合)(1) 求新增观光道 FG、 FH 长度之和的最大值； (2) 在观光道 ON 段上距离 O 为 15 百米的 E 处的道
12、路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道 CD 的延长线不能进入以 E 为圆心，2.5 百米为半径的圆形 E 的区域内则点D 应选择在 O 与 E 之间的什么位置？请说明理由【答案】 (1) 新增观光道 FG、 FH 长度之和的最大值是 百米；(2) 点 D 应选择在 O 与 E 之间，且到点O 的距离在区间 (单位：百米)内的任何一点处【解析】【分析】【详解】(1) 连结 OF， OF CD 于点 F，则 OF5设 FOD ，则 FOC ( )，故 FH5sin ， FG5sin( )， 则 FG FH5sin( )5sin 5( cos sin sin )5
13、( sin cos )5 sin( )， 因为 ，所以 ，所以当 ，即 时，( FG FH)max (2) 以 O 为坐标原点，以 ON 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy由题意，可知直线 CD 是以 O 为圆心，5 为半径的圆 O 的切线，直线 CD 与圆 E 相离，且点 O 在直线 CD 下方，点 E 在直线 CD 上方由 OF5，圆 E 的半径为 2.5，因为圆 O 的方程为 x2 y225，圆 E 的方程为( x15) 2 y26.25， 设直线 CD 的方程为 y kx t ( k0， t0)，即 kx y t0，设点 D(xD，0)则 由得 t5 ， 代入得
14、 ，解得 k2 又由 k0，得 0 k23，故 k23，即 3在 y kx t 中，令 y0，解得 xD ，所以 xD10答：(1) 新增观光道 FG、 FH 长度之和的最大值是 百米； 29. 【江苏省清江中学 2019 届高三第二次教学质量调研】如图，设点 F2(1，0)为椭圆 E：的右焦点，圆 C： ，过 F2 且斜率为 k(k0)的直线 l 交圆 C 于 A，B 两点，交椭圆 E 于点 P，Q 两点已知当 k 时，AB （1）求椭圆 E 的方程；（2）当 PF2 时，求PQC 的面积【答案】 （1） （2）【解析】 (1)因为直线 过点 ，且斜率 .所以直线 的方程为 ，即 ，所以圆心
15、 到直线 的距离为 ， 又因为 ，圆 的半径为 ，所 以 ，即 ，解之得， 或 （舍去）.所以 ，所以所示椭圆 的方程为 .(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为 ，离心率 ，则点 到右准线的距离为 ，所以 ，即 ，把 代入椭圆方程 得， ，因为直线 的斜率 ，所以 ， 因为直线 经过 和 ，所以直线 的方程为 ，联立方程组 得 ，解得 或 ，所以 ， 所以 的面积 . （2）据题意，直线 的斜率存在，且不为 0，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，联立 ，整理可得 ，所以 或 .所以点 的坐标为 ，联立 和 ，整理可得 ，所以 或 .所以点 的坐标为 .显然， 是圆 的直径，故 ，所以直线
16、 的方程为 .用 代替 ，得点 的坐标为 ，即 .由 可得， ，即 ，解得 .根据图形的对称性，不妨取 ，则点 ， 的坐标分别为 ， ，故 ， .所以 的面积为 .证明：直线 的斜率 ，直线 的斜率 .所以 为定值，得证.34. 【江苏省徐州市 2019 届高三 12 月月考】如图，在平面直角坐标系 中，过椭圆 ： 的左顶点 作直线 ，与椭圆 和 轴正半轴分别交于点 ， （1）若 ，求直线 的斜率；（2）过原点 作直线 的平行线，与椭圆 交于点 ，求证： 为定值【答案】 （1） （2）见解析.【解析】 （1）依题意，椭圆 的左顶点 ，设直线 的斜率为 ，点 的横坐标为 ，则直线 的方程为 又椭
17、圆 ： ， 由 得， ，则 ，从而 因为 ，所以 所以 ，解得 （负值已舍） （2）设点 的横坐标为 结合（1）知，直线 的方程为 由 得， 从而 ，即证35. 【江苏省徐州市 2019 届高三 12 月月考】如图，过抛物线 上一点 P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点 .（1）求 的值；（2）若 ，求 面积的最大值。【答案 】 （1）y 1y 24.（2）6【解析】(1)因为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线 C：y 24x 上，所以 A ，B ，k PA，同理 kPB ，依题意有 kPAk PB，因为 ，所以 y1y 2436. 【江苏省徐州市 2019
18、 届高三上学期期中】已知椭圆 ，过右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点，且当点 是椭圆 的上顶点时， ，线段 的中点为 （1）求椭圆 的方程；（2）延长线段 与椭圆 交于点 ，若 ，求此时 的方程【答案】 （1） （2）【解析】 （1）由题意可以知 ， 、 ，设则点 在椭圆 上 解得 椭圆 的方程为：（2）当直线 与垂直或与 轴重合时，不满足题意可直线 方程为：设 、 、 、由 可知四边形 为平行四边形点 为线段 的中点由 为线段 的中点，点 、 在椭圆 上 则可得 又可解得 点 在椭圆 上 整理得解得 或 舍去 可知 的方程为 即 .37. 【江苏省盐城市、南京市 2019 届高三年级第一次模
19、拟】已知椭圆 的两个焦点之间的距离为 2，两条准线间的距离为 8，直线与椭圆 相交于 两点CPQ、（1）求椭圆 的方程；C（2）设椭圆的左顶点为 ，记直线 的斜率分别为 APAQ、 12k、若 ，求 的值；0m12k若 ，求实数 的值124m【解析】 （1）椭圆 C中， 2c，两准线间的距离为28ac得24，所以 2a， 1c，所以23b，所以椭圆的方程为2143xy（2）设 0(,)Pxy，由于 0m，则 ，由 得 ，所以（3）由（1）得 2,0A.方法一：设 1(,)Pxy，设直线 P的方程为 A： ，联立 ，消去 y，得，所以 ， 所以 ， 代入 得 ，所以由 124k得 21k，整体代
20、换得设 ,0Mm，由 PQ、 、 三点共线得 /PMQ，即，化简得 ，所以 =1m方法二：设 1(,)Pxy， 2(,)Q，联立 ，消去 y，得，所以 ，而 ，化简得 ，即 ，显然 20k，所以 ，解得 =1m或 2（舍去）此时38. 【江苏省扬州市 2019 届高三上学期期中调研】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：的右准线方程为 x2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形（1）求椭圆 C 的方程；（2）假设直线 l： 与椭圆 C 交于 A，B 两点若 A 为椭圆的上顶点，M 为线段 AB 中点，连ykxm接 OM 并延长交椭圆 C 于 N，并且 ，求 OB 的长；若原点 O 到直
21、线 l 的距离为 1，并且，当 时，求OAB 的面积 S 的范围456考点：椭圆方程及其性质，平面向量，应用数学知识解决问题的能力。解析：（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以 2ac，又由右准线方程为 2x，得到2ac，解得 ,1ac，所以 所以，椭圆 C的方程为21xy4 分 （2）设 1(,)Bxy，而 (0,)A，则 1(,)2xyM， ， 因为点 ,BN都在椭圆上，所以，将下式两边同时乘以 83再减去上式，解得 13y， 8 分 2169x所以 9 分（3）由原点 O到直线 l的距离为 1，得 2|1mk，化简得： 21km 联立直线 l的方程与椭圆 C的方程： ，得2yx设 ，则 ，且 11 分 280k，所以 21k
