1、第一讲 相似三角形的判定及有关性质1平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段_，那么在其他直线上截得的线段也_推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_2平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的_成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的_成比例3相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义：_，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数 )预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三
2、角形相似判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的_对应相等，那么这两个三角形相似简述：两角对应相等，两三角形相似判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应_，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述：两边对应_且夹角相等，两三角形相似判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应_，那么这两个三角形相似简述：三边对应_，两三角形相似(2)两个直角三角形相似的判定定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应_，那么它们相似如果两个直角三角形的两条直角边对应_，那么它们相似如果一个直角三角形的斜边和一条
3、直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应_，那么这两个直角三角形相似(3)相似三角形的性质性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_；相似三角形周长的比等于_；相似三角形面积的比等于_；相似三角形外接圆(或内切圆 )的直径比、周长比等于相似比，外接圆 (或内切圆)的面积比等于_4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_1在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，图形中共有 x 个三角形与ABC 相似，则 x 的值为_2(课本习题改编)如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的点，DE
4、BC 且 2，ADDB那么ADE 与四边形 DBCE 的面积比是_2 题图 3 题图3如图，F 为ABCD 的边 AD 延长线上的一点，DF AD，BF 分别交 DC，AC 于点G，E，EF16，GF12，则 BE 的长为_4(课本习题改编)如图，ABEM DC.AEED ，EF BC，EF12 cm，则 BC 的长为_4 题图 5 题图5如图，在直角梯形 ABCD 中，DCAB，CBAB，ABADa，CD ，点 E，F 分别a2为线段 AB、AD 的中点，则 EF_.题型一 平行线分线段成比例定理的应用例 1 如图，ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上一点，过A 作 AH
5、BE.连接 ED 并延长交 AB 于 F，交 AH 与 H.如果AB4AF，EH8，则 DF_.思维升华 利用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式应注意：(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；(3)要注意“中间量”的运用与转化如图，在ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E 是 BD 的中点，AE 交 BC 于点 F，则 的值为_BFFC题型二 相似三角形的判定及性质例 2 如图，AEBFCG DH，AB BCCD，AE12，DH16，AH 交 BF 于12M，则 BM_，CG_.思
6、维升华 判定三角形相似的常用方法：(1)利用三角形判定定理；(2)利用平行线分线段成比例定理；(3)利用与圆有关的“四定理” (2013陕西)如图， AB 与 CD 相交于点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P.已知AC ，PD 2DA2，则 PE_.题型三 直角三角形的射影定理例 3 如图，RtABC 中，BAC90，AD BC 于 D，BE 平分ABC 交 AC 于 E，EF BC 于 F.求证：EFDFBCAC.思维升华 已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应 关系，根据 题目中的结论分析并 选择射影定理中
7、的等式，并分清比例中项如图所示，在ABC 中，CAB 90 ，ADBC 于 D，BE是ABC 的平分线，交 AD 于 F，求证： .DFAF AEEC分类不当、考虑不全致误典例：(5 分) 已知 AD 是ABC 中 BC 边上的高，若 AD2BDCD，则ABC 的形状是_易错分析 我们知道：在直角三角形中，斜 边上的高是两直角 边在斜边上的射影的比例中项反之，因为三角形一边上的高可能在三角形外，因此，原定理的逆命题是不成立的，即题中的ABC 不一定是直角三角形解析 若点 D 在线段 BC 上，如 图 1 所示，由 AD2BD CD，可证ABDCAD，从而可得 ABC 是直角三角形若点 D 在线
8、段 BC 的延长线上，如 图 2 所示， 则仍可证ABDCAD，但 ABC 是钝角三角形综上所述，ABC 是直角三角形或钝角三角形答案 直角三角形或钝角三角形温馨提醒 射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似要注意对于直角三角形射影定理一定成立，但满足该结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用.方法与技巧1当证两个三角形相似，在已具 备一角对应相等的条件时 ，往往先找是否有另一角 对应相等，当此思路不通时，再找等角的两边对应成比例2从平行线等分线段定理的推 导到平行线分线段成比例定理的推 导，注意定理推 导过程从特殊到一般的思考方法
9、类似地，相似直角三角形是从任意两个三角形相似判定定理 获得的3几何证明的难度应严格控制，在解决同一问题的过程中，相似三角形( 或全等三角形)的使用不宜超过两次，添置的辅助 线不超过三条4相似三角形性质的应用可用来考察与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等失误与防范证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证) 两个三角形的 边和角之间的数量关系有的证明起来比较简单方便，但有的找 边角关系比较困难， 这 就要求我们必须提高读图、识图能力，添加必要的辅助线对计算问题要灵活使用有关定理，掌握相似三角形的性质定理.A 组 专项基础训练1如图，
10、在ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，下列条件能判定ADE 与ABC 相似的所有序号为_ADEC；AEDB； ； ；DEBC.ADAC AEAB DEBC AEAB1 题图 2 题图2如图所示，在ABC 中，MNDE BC，若 AEEC73，则 DBAB 的值为_3在 RtACB 中，C90，CDAB 于 D，若 BDAD19，则tanBCD_.4如图所示，C90 ，A30，E 是 AB 的中点，DE AB 于 E，则ADE 与ABC的相似比是_4 题图 5 题图5如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，且 AB2CD，E、F 分别是 AB、BC 的中点，EF与 BD 相交于点 M.
11、若 DB9，则 BM_.6(2013广东)如图，在矩形 ABCD 中，AB ，BC3，BEAC，垂3足为 E，则 ED_.7ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC12 cm，高 AD8 cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上，则这个正方形的边长为_cm.8如图，在ABC 中，EF CD，AFEB，AE6，ED3，AF8，则AC_， _.CD2BC28 题图 9 题图9如图所示，在ABC 中，AD 平分BAC，DE AC，EFBC，AB15，AF4，则DE_.10如图，BD，AE BC，ACD90 ，且AB6，AC4 ，AD 12，则 BE_
12、.B 组 专项能力提升1如图，四边形 ABCD 中，DFAB，垂足为 F，DF3，AF2FB2，延长 FB 到 E，使 BEFB，连接 BD，EC.若 BDEC ，则四边形 ABCD 的面积为_1 题图 2 题图2如图，Rt ABC 中，BAC90，AD 是斜边 BC 上的高，若 ABAC 21，则ADBC_.3如图，梯形 ABCD 中，ABCD，若 SODC S BDC 13，则 SODC S ABC_.3 题图 4 题图4如图所示，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AEDE，BE4，EC1，则 AB 的长为_5如图，在直角梯形 ABCD 中，上底 AD ，下底 BC3 ，与两底垂直
13、的腰 AB6，3 3在 AB 上选取一点 P，使PAD 和PBC 相似，则这样的点 P 有_个6如图，在ABC 中，D 为 BC 边的中点，E 为 AD 上的一点，延长 BE 交 AC 于点 F.若 ，则 的值为_AEAD 14 AFAC6 题图 7 题图7如图所示，在ABC 中，ED AB，FGAC，PHBC，相应的交点分别为A1，B 1，C 1，则图中与ABC 相似的三角形的个数为_个答案基础知识自主学习要点梳理1相等 相等 平分第三边 平分另一腰2对应线段 对应线段3(1)对应角相等 两个角 成比例 成比例 成比例 成比例 (2) 相等 成比例 成比例 (3)相似比 相似比 相似比的平方
14、 相似比的平方4比例中项 比例中项夯基释疑12 2. 3.8 4.24 cm 5.45 a2题型分类深度剖析例 1 2解析 AHBE ， .HFHE AFABAB4AF， .HE8， HF 2.HFHE 14AHBE， .HDDE ADDCD 是 AC 的中点， 1.HDDEHEHD DE 8，HD 4，DFHD HF 422.跟踪训练 1 12解析 过点 D 作 DMAF 交 BC 于点 M.点 E 是 BD 的中点，在BDM 中，BF FM ，又点 D 是 AC 的中点，在CAF 中，CMMF ， .BFFC BFFM MC 12例 2 4 15解析 AEBF CGDH ，AB BCCD，
15、 AE12， DH16， ， .12 ABAD 14BMDH ABAD ，BM4.BM16 14取 BC 的中点 P，作 PQDH 交 EH 于 Q，如 图，则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线 ，PQ (AEDH)12 (1216) 14.12同理：CG (PQDH) (1416)15.12 12跟踪训练 2 6解析 BCPE，PED C A，PDEPEA， ，则 PE2PAPD ，PEPA PDPE又PD2DA2，PA PD DA3.PE .PAPD 6例 3 证明 BAC90，且 ADBC ，由射影定理得 AC2CDBC ， .ACCD BCACEFBC，ADBC ，EF AD， .AE
16、DF ACCD又 BE 平分ABC，且 EAAB，EFBC ，AEEF， .EFDF ACCD由、得 ，即 EFDFBC AC .EFDF BCAC跟踪训练 3 证明 由三角形的内角平分线定理得，在ABD 中， ，DFAF BDAB在ABC 中， ，AEEC ABBC在 Rt ABC 中，由射影定理知， AB2BD BC，即 .BDAB ABBC由得： ，DFAF ABBC由得： .DFAF AEEC练出高分A 组1解析 由图中可知A 为公共角，由判定定理可知， 正确；由A 为夹角可知，正确；由平行线法知正确；不符合两边及其夹角法2310解析 MNDEBC， ，ADDB AEEC 73 ， ，
17、 .AD DBDB 7 33 ABDB 103 DBAB 3103.13解析 由射影定理得 CD2AD BD，又 BDAD 19，令 BDx，则 AD9x( x0)CD 29x 2，CD3x.RtCDB 中，tanBCD .BDCD x3x 1341 3解析 E 为 AB 中点， ，即 AE AB，AEAB 12 12在 Rt ABC 中，A30，AC AB，32又Rt AEDRtACB，相似比为 .AEAC 13故ADE 与ABC 的相似比为 1 .353解析 E 是 AB 的中点，AB2EB.AB2CD，CDEB.又 ABCD，四边形 CBED 是平行四边形CBDE，Error!EDMFB
18、M . .DMBM DEBFF 是 BC 的中点，DE2BF.DM 2BM，BM DB3.136.212解析 如图，作 DFAC 于点 F，由 AB ，BC3 知BAC60.3从而 AE ，32同理 CF ，DF ，32 32所以 EFAC AECF2 .332 32 3所以在DEF 中：DE 2DF 2 EF2 3 ，94 214所以 DE .21274.8解析 设正方形 PQMN 为加工成的正方形零件，边 QM 在 BC 上，顶点 P，N 分别在 AB，AC 上，ABC 的高 AD 与边 PN 相交于点 E，设正方形的边长为 x cm.PNBC，APNABC. ， .AEAD PNBC 8
19、 x8 x12解得 x4.8.即加工成的正方形零件的边长为 4.8 cm.812 916解析 由 EFCD 可知，AEFADC.于是有 ，AEAD AFAC由已知条件代入得， ，所以 AC12.66 3 8AC又由AFE B，得AFE ABC，从而ACDABC.所以 ，所以 .CDBC ADAC 6 312 34 CD2BC2 91696解析 设 DEx，DEAC，EF BC ， ，解得 BE .BE15 xx 4 15xx 4 .BDDC BEEA BE15 BE x4又AD 平分BAC， ，BDDC BAAC 15x 4 x4解得 x6.104 2解析 AC4，AD12，ACD90，CD
20、2AD 2AC 2128，CD8 .2又AEBC，BD ，ABEADC， ，BE 4 .ABAD BECD ABCDAD 68212 2B 组16解析 过点 E 作 ENDB 交 DB 的延长线于点 N，在 RtDFB 中，DF3，FB1 ，则 BD ，10由 Rt DFBRtENB，知 ，ENDF BEBD所以 EN ，又 BDEC，所以 EN 为BCD 底边 BD 上的高，故 S 四边形 ABCDS 31010ABDS BCD ABDF BDEN 33 6.12 12 12 12 10 31010225解析 设 ACk ，则 AB2k ，BC k，5BAC90，ADBC，AC 2CDBC，
21、k 2CD k，CD k，555又 BDBCCD k，455AD 2CDBD k k k2，55 455 45AD k，ADBC25.255316解析 S ODC S BDC 1 3，且ODC 和BDC 有公共边 CD，设ODC 和BDC 在 CD 上的高分别为 h 和 H，则 hH13，DODB13，DOOB 1 2.又ABCD，ODCOBA.S ODC S OBA 14.设 SODC a，则 SOBC 2a，S OAB 4a，S ABC S OAB S OBC ，S ABC 6a.S ODC S ABC 16.42解析 方法一 B90，BAEAEB90.AEDE .AEB CED 90.B
22、AE CED，Rt ABERt ECD， ，即 ，AB2.ABBE ECCD AB4 1AB方法二 过 E 作 EFAD 于 F.由题知 AFBE4，DFCE1.则 EF2AFDF4，AB EF 2.52解析 设 APx ，(1)若ADPBPC，则 ，即 ，ADBP APBC 36 x x33所以 x26x90，解得 x3.(2)若ADPBCP，则 ，即 ，ADBC APBP 333 x6 x解得 x .符合条件的点 P 有两个326.17解析 如图，过点 A 作 AG BC，交 BF 的延长线于点 G. ， .AEAD 14 AEED 13又AGEDBE ， .AGBD AEED 13D 为 BC 中点，BC2BD， .AGBC 16AGFCBF， ， .AFFC AGBC 16 AFAC 1777解析 由于 PHBC，那么APHB，而A 是公共角，则APHABC ，同理可以判断BGFBCA，CEDCAB，进一步，FGAC，那么PFC 1A.又FPC 1B，FPC 1 ABC，同理可以判断DGA 1BCA， HEB 1CAB，而 EDAB，那么 FPC 1A 1B1C1，而FPC 1B，则A 1B1C1B，同理可得A 1C1B1C，则A 1B1C1ABC，所以图中与ABC 相似的三角形的个数共有 7 个
