1、选修 42 矩阵与变换1乘法规则(1)行矩阵a 11 a 12与列矩阵 的乘法规则：b11b21a11 a 12 _.b11b21(2)二阶矩阵 与列向量 的乘法规则：a11 a12a21 a22 x0y0 _.a11 a12a21 a22x0y0(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： a11 a12a21 a22b11 b12b21 b22 a11b11 a12b21 a11b12 a12b22a21b11 a22b21 a21b12 a22b22(4)两个二阶矩阵的乘法满足_律，但不满足_ 律和_律即(AB)C A(BC)，ABBA，由 ABAC 不一定能推出 BC.
2、一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的_与后一个矩阵的_相等时才能进行乘法运算2常见的平面变换(1)恒等变换：如 ；1 00 1(2)伸压变换：如 ；1 00 12(3)反射变换：如 ；1 00 1(4)旋转变换：如 ，其中 为旋转角度；cos sin sin cos (5)投影变换：如 ， ；1 00 0 1 01 0(6)切变变换：如 (kR，且 k0)1 k0 13逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵 A、B，若有 ABBAE，则称 A 是_ ，B 称为 A 的_；(2)若二阶矩阵 A、B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩阵，且 (AB)1 B 1 A1 .4特征值与特征向量设 A 是一个二阶
3、矩阵，如果对于实数 ，存在一个非零向量 ，使 A，那么 称为 A的一个_，而 称为 A 的属于特征值 的一个_5特征多项式设 A 是一个二阶矩阵，R，把行列式 f() _，称a bc d | a b c d|为 A 的特征多项式1在切变变换 M 作用下，直线 y2x1 变为_1 0 2 12将椭圆 1 绕原点顺时针旋转 45后得到新的曲线方程为 _x23 y243在 对应的线性变换作用下，圆( x1) 2(y1) 2 1 变为_1 01 04计算： _.1 32 4 1 10 45矩阵 的逆矩阵是_0 11 0题型一 求变换矩阵例 1 已知变换 S 把平面上的点 A(3,0)，B(2,1)分别
4、变换为点 A(0,3)，B(1 ，1)，试求变换 S 对应的矩阵 T.思维升华 知道变换前后的坐标，求 变换对应的矩阵，通常用待定系数法求解二阶矩阵 M 对应的变换将点(1，1) 与(2，1) 分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵 M；(2)设直线 l 在变换作用下得到了直线 m：xy4，求 l 的方程题型二 求逆矩阵例 2 求矩阵 A 的逆矩阵2 31 2思维升华 求逆矩阵的方法：(1)待定系数法设 A 是一个二阶可逆矩阵 ，ABBAE 2；a bc d(2)公式法|A| adbc 0，有 A1 .|a bc d| d|A| b|A| c|A| a|A|(2013江苏)已知矩阵 A
5、 ，B ，求矩阵 A1 B. 1 00 2 1 20 6题型三 特征值与特征向量例 3 已知矩阵 M ，求 M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量3 1 1 3思维升华 已知 A ，求特征 值和特征向量，其步骤：a bc d(1)令 f() ( a)( d) bc 0，求出特征 值 ；| a b c d|(2)列方程组Error!(3)赋值法求特征向量，一般取 x1 或者 y1，写出相应的向量已知二阶矩阵 A 有特征值 11 及对应的一个特征向量 e1 和特征值1122 及对应的一个特征向量 e2 ，试求矩阵 A.10用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程典例：(10 分) 二阶矩阵 M
6、 对应的变换 T 将点(1 ，1)与(2,1) 分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵 M；(2)设直线 l 在变换 T 作用下得到了直线 m：xy4，求 l 的方程思维启迪 (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解(2)知道直线 l 在变换 T 作用下的直线 m，求原直线，可用坐标转移法规范解答解 (1)设 M ，则 ，a bc d a bc d 1 1 1 1 ，2 分a bc d 21 0 2所以Error!，且Error!，解得Error!，所以 M .5 分1 23 4(2)因为 xy 1 23 4xy x 2y3x 4y且 m：xy4，所以(x 2y)
7、(3x4y)4，即 xy20，直线 l 的方程是 xy20.10 分温馨提醒 (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法(3) 本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误.方法与技巧1二阶矩阵与平面列向量乘法： ，这是所有 变换的基础a cb dxy ax cybx dy2证明两个矩阵互为逆矩阵时 ，切 记从两个方向进行，即 ABE 2BA .3二元一次方程组Error!相应 的矩阵方程为 AXB，其中 A 为系数矩阵，X 为未知a1 b1a2 b2数向量 ，B 为常数向量xy c1c24
8、若某一向量在矩阵变换作用下的象与原象共 线， 则称这 个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该 特征向量的特征值失误与防范1矩阵的乘法不满足交换律，即在矩 阵乘法的运算中，一般不能随意将 AB 写成 BA.2矩阵乘法满足结合律，即(AB) CA(BC)3矩阵的乘法不满足消去律，即对于二阶矩阵 A、B、C，当 A0，且 ABAC 时，不一定有BC.A 组 专项基础训练1(2013江苏)已知矩阵 A ，B ，求矩阵 A1 B. 1 00 2 1 20 62(2012江苏)已知矩阵 A 的逆矩阵 A1 ，求矩阵 A 的特征值 14 3412 123在直角坐标系中，OAB 的顶点坐标 O
9、(0,0)，A(2,0) ，B(1 ， )，求OAB 在矩阵 MN2的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵 M ，N .1 00 1 1 220 224已知矩阵 A ，B .1 01 1 0 23 2(1)求满足条件 AMB 的矩阵 M；(2)矩阵 M 对应的变换将曲线 C：x 2y 21 变换为曲线 C，求曲线 C的方程5已知矩阵 P ，Q ，若矩阵 PQ 对应的变换把直线 l1：xy40 变为直线0 2a 0 0 1b 0l2：xy40，求实数 a、b 的值6在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)设 k 为非零实数，矩阵M ，N ，点 A、B、C
10、在矩阵 MN 对应的变换下得到的点分别为k 0 0 1 0 1 1 0A1、B 1、C 1，A 1B1C1 的面积是ABC 的面积的 2 倍，求 k 的值B 组 专项能力提升1设数列a n，b n满足 an1 2a n3b n，b n1 2b n，且满足 M ，求二阶矩an 4bn 4 anbn阵 M.2(2012福建)设曲线 2x22xyy 21 在矩阵 A (a0)对应的变换作用下得到的曲线a 0b 1为 x2y 21.(1)求实数 a，b 的值；(2)求 A2 的逆矩阵3已知矩阵 A ，其中 aR，若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到点1 1a 1P(0，3) (1)求实数 a 的
11、值；(2)求矩阵 A 的特征值及特征向量4已知矩阵 M 的两个特征值分别为 11 和 24.2 a2 b(1)求实数 a，b 的值；(2)求直线 x2y30 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的象的方程答案要点梳理1(1)a 11b11a 12b21 (2) a11x0 a12y0a21x0 a22y0(4)结合 交换 消去 列数 行数3(1)可逆的 逆矩阵4特征值 特征向量5 2( ad)adbc夯基释疑1y1 2.7x 27y 22xy2403yx(2x 0) 4. 5. 1 13 2 18 0 1 1 0题型分类深度剖析例 1 解 设 T ，a cb d则 T： ，30 xy a cb
12、d30 3a3b 03解得Error!T： ，21 xy a cb d21 2a c2b d 1 1解得Error!综上可知，T .0 11 3跟踪训练 1 解 (1)设 M ，a bc d则有 ， ，a bc d 1 1 1 1 a bc d 21 0 2所以Error!，且Error!，解得Error!，所以 M .1 23 4(2)因为 xy 1 23 4xy x 2y3x 4y且 m：xy4，所以(x 2y)(3x4y)4，整理得 xy20，所以直线 l 的方程为 xy20.例 2 解 设逆矩阵为 A1 ，a bc d则由 ，2 31 2a bc d 1 00 1得Error! 解得E
13、rror!所以 A1 .2 3 1 2跟踪训练 2 解 设矩阵 A 的逆矩 阵为 ，a bc d则 ，即 ， 1 00 2a bc d 1 00 1 a b2c 2d 1 00 1故 a1，b0，c0，d ，12从而 A 的逆矩阵为 A1 ， 1 00 12 所以 A1 B . 1 00 12 1 20 6 1 20 3 例 3 解 由 (3) 210，| 3 11 3|解得 12， 24.设矩阵 M 的特征向量为 .xy当 12 时，由 M 2 可得Error!，xy xy可见， 1 是 M 的属于 1 2 的特征向量11当 24 时，由 M 4 可得Error!，xy xy可见， 2 是
14、M 的属于 24 的特征向量. 1 1跟踪训练 3 解 设矩阵 A ，这里 a，b，c，dR，a bc d因为 是矩阵 A 的属于 11 的特征向量，11则有 ，1 a b c 1 d11 00又因为 是矩阵 A 的属于 22 的特征向量， 则有 ，10 2 a b c 2 d10 00根据，则有Error!从而 a2，b1，c0，d 1，因此 A .2 10 1练出高分A 组1解 设矩阵 A 的逆矩阵为 ，a bc d则 ， 1 00 2a bc d 1 00 1即 ， a b2c 2d 1 00 1故 a1，b0，c0，d ，12从而 A 的逆矩阵为 A1 ， 1 00 12所以 A1 B
15、 . 1 00 121 20 6 1 20 3 2解 因为 A1 AE 2，所以 A(A 1 )1 .因为 A1 ，所以 A(A 1 )1 ， 14 3412 12 2 32 1于是矩阵 A 的特征多项式为f() 23 4.| 2 3 2 1|令 f()0，解得 A 的特征值 11， 24.3解 MN ， ，1 220 22 1 220 2200 00 ， .1 220 2220 20 1 220 2212 2 1可知 O，A，B 三点在矩 阵 MN 作用下变换所得的点分别为 O(0,0) ，A(2,0) ，B(2，1) 可知 OAB的面积为 1.4解 (1)设 M ，a bc dAM ，1
16、01 1a bc d a ba c b d 0 23 2得Error!a0，b2，c3， d0.M .0 23 0(2)设曲线 C 上任意一点 P(x，y)在矩阵 M对应的变换作用下 变为点 P(x，y)，则 M ，xy 0 23 0xy 2y3x xy Error!即Error!代入曲线 C：x2y 21，得( )2( )21.x2 y3曲线 C的方程是 1.x24 y295解 因为 PQ ，0 2a 00 1b 0 2b 00 a所以 ，xy 2b 00 axy 2bxay在直线 l1：xy40 上任取一点(x，y )，则点(2bx ，ay)在直线 l2：xy40 上，即 2bxay40，
17、所以Error!.6解 由题设得 MN .k 0 0 10 1 1 0 0 k 1 0由 ， ，0 k 1 00 0 0 0 0 k 1 0 2 0 0 2 ，0 k 1 0 2 1 k 2可知 A1(0,0)，B1(0，2)，C 1(k，2)计算得ABC 的面积是 1，A 1B1C1 的面积是|k| ，由题设知|k| 212，所以 k 的值为2 或 2.B 组1解 依题设有 ，an 1bn 1 2 30 2anbn令 A ，则 MA 4，2 30 2A2 .2 30 22 30 2 4 120 4MA 4( A2)2 .4 120 44 120 4 16 960 162解 (1)设曲线 2x
18、22xyy 21 上任意点 P(x，y)在矩阵 A对应的变换作用下的象是P(x，y)由 ，得Error!xy a 0b 1xy axbx y又点 P( x，y ) 在 x2y 21 上，所以 x 2y 21，即 a2x2(bxy )21，整理得(a 2b 2)x22bxyy 2 1.依题意得Error!解得Error!或Error!因为 a0，所以 Error!(2)由(1)知，A ，1 01 1A2 .1 01 11 01 1 1 02 1所以|A 2|1，( A2)1 .1 0 2 13解 (1)由题意得 ，1 1a 111 0 3所以 a13，所以 a4.(2)由(1)知 A ，1 1
19、4 1令 f() (1) 240.| 1 14 1|解得 A 的特征值为 1 或 3.当 1 时，由 Error!得矩阵 A 的属于特征值1 的一个特征向量为 ，12当 3 时，由 Error!得矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量为 .1 24解 (1)矩阵 M 的特征多项式为 f() ，2 a2 b | 2 a 2 b|f()(2)(b)2a 2( b2)2b2a，由已知得 1 1，24 为 f()0 的两根，Error!解得Error!(2)由(1)知 M .2 32 1设直线 x2y30 上任意一点(x， y)在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的象是(x，y)，由 ，xy 2 32 1xy 2x 3y2x y得Error!解得Error!代入 x2y30 得 2 30， x 3y4 x y2即 5x7y120，于是点(x，y)必在直线 5x7y 120 上由(x，y )的任意性可知，直 线 x2y30 在矩阵 M 所对应 的线性变换作用下的象的方程为5x7y120.
