1、通州区 2018-2019 学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷2019 年 1 月第一部分（选择题）一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 , ，则 （ ）A=x|x2-4x+30 AB=A. B. C. D. (-3,-32) (-3,32) (1,32) (32，3)【答案】D【解析】【分析】解不等式求出集合 A，B，结合交集的定义，可得答案【详解】集合 Ax| x24x+30 （1， 3），B x|2x30（ ，+），32AB（ ，3），32故选：D【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，属于基础题2.设向量 ， ,则与 垂直的向量的坐
2、标可以是（ ）a=(-3,4) b=(0,-2) a+bA. B. C. D. (3,2) (3,-2) (4,6) (4,-6)【答案】C【解析】【分析】求出 ，判断哪个选项的向量与（3，2）的数量积是 0 即可得出答案 a+ b=(-3，2)【详解】 ； a+ b=(-3，2)可看出（4，6）（3，2）0； (4，6)( a+ b)故选：C【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量垂直的充要条件3.已知 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ，则 等于（ ）y=f(x) x0 f(x)=2x-1 f(-2)A. B. C. D. 3 -3 -34 -114【答案】B【解析】【分析
3、】根据题意，由函数的解析式计算可得 f（2）的值，又由函数为奇函数，可得 f（2） f（2） ，即可得答案【详解】根据题意，当 x0 时，f （x）2 x1，则 f（2）2 213，又由函数 f（x）为 R 上的奇函数，则 f（2） f（2） 3；故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性的性质4.已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则 a 等于（ ）x2a2-y25=1(a0) y2=12xA. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距 c 的值，然后根据 a、b、c 的关系可求出a 的值【详解】
4、抛物线 y212x 的焦点坐标为（3， 0） ，所以，双曲线的焦点坐标为（3，0） ，所以，a 2+53 29，a 0，解得 a2，故选：B【点睛】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题5.已知 x,y 满足不等式组 则 的最大值等于（ ）x1,x2y+30,yx, z=x+yA. B. C. D. 1 2 3 6【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出平面区域中各顶点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后求得目标函数 zx+y 的最大值【详解】解：由不等式组 表示的平面区域，如图所示的阴影部分；x1x-2y+30yx 三个顶点坐标为
5、A（1，2），B（1，1），C（3，3）；将三个代入得 z 的值分别为 3，2，6；直线 zx+y 过点 C（3，3）时，z 取得最大值为 6故选：D【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，常用“角点法”解答，步骤为：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标， 将坐标逐一代入目标函数， 验证求得最优解6.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）a,b(1,+) ab logab1其中真命题的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】由新定义，利用导数求出函数 ysin x、yx 2 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”判断、正确；举例说明是正确的；求出曲线 ye x
6、上不同两点 A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度” ，判断错误【详解】对于，由 ysinx，得 ycos x，则 kAcos1，k Bcos （1）cos1，则| kAkB|0，即 （A，B）0，正确；对于 ，如 y1 时，y0，则 （A，B）0，正确；对于 ，抛物线 yx 2 的导数为 y2x， yAx A2，yBx B2，yAyBx A2xB2（ xAxB）（xA+xB），则 （A，B） 2，正确；=|kA-kB|AB| = |2xA-2xB|(xA-xB)2+(yA-yB)2= 21+(xA+xB)2对于 ，由 ye x，得 ye x，（A，B） ，= |ex1-ex2|(x
7、1-x2)2+(ex1-ex2)2由不同两点 A（x1，y1），B（x2，y2） ，可得 （A，B） 1，错误； |ex1-ex2|0+(ex1-ex2)2=综上所述，正确的命题序号是 故选：C【点睛】本题考查了命题真假的判断与应用问题，也考查了新定义的函数应用问题，解题的关键是对题意的理解二、填空题9.复数 的共轭复数是_z=i1-i【答案】 1212i【解析】【分析】先由复数代数形式的除法运算化简复数，再由共轭复数的定义可得答案【详解】解：z ，=i1-i= i(1+i)(1-i)(1+i)=i-12=-12+12i复数 z 的共轭复数是 ，=i1-i -12-12i故答案为： -12-1
8、2i【点睛】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题10.设等比数列 an的公比 ，前 n 项和为 ，则 _ q=2 SnS4a1=【答案】 15【解析】【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得【详解】解： 15S4a1=a1(1-q4)1-qa1 =1-q41-q=1-241-2=故答案是：15【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题11.已知角 的终边与单位圆 的交点为 ，则 _ x2+y2=1 P(x,32) sin2=【答案】 32【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义有，sin ，由平方关系 sin2+cos21，有：cos ，=
9、32 12由二倍角公式有 sin22sin cos ，得解32【详解】解：由三角函数的定义有：sin ，由 sin2+cos21，=32得：cos ，12由二倍角公式得：sin22sin cos ，32故答案为： 32【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义及二倍角公式，属简单题12. 的展开式中含 的项的系数是_(x-1x)6 x2【答案】 15【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得展开式中 x2 的系数【详解】解：（x ）6 的展开式的通项公式为 Tr+1 （1）rx62r，-1x =Cr6令 62r2，求得 r2，故展开式中 x2 的
10、系数为 15，C26=故答案为：15【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题13.直线 （为参数）与曲线 （为参数）的公共点个数为 _x= 3ty=t x=2+cosy=sin 【答案】 1【解析】【分析】化简参数方程为直角坐标方程，然后判断曲线交点个数【详解】解：直线 （t 为参数）的直角坐标方程为：y x；x= 3ty=t =33与曲线 （ 为参数）的直角坐标方程：（ x2）2+y21x=2+cosy=sin 圆的圆心（2，0）到直线 y x 的距离为： 1；=33 2331+(33)2=所以直线与圆相切，有 1 个交点
11、故答案为：1【点睛】本题考查直线的参数方程，圆的参数方程的求法，考查计算能力14.已知函数 若关于 的方程 有且只有一个实数根，则实数f(x)= x2,x1,|ln(x1)|,x x f(x)=kx2k 的取值范围是_【答案】 k|0b0) A(0,1) 63()求椭圆 的方程；C()斜率为 的直线交椭圆 于 ， 两点，且 若直线 上存在点1 C M(x1,y1) N(x2,y2) x1x2 x=3P，使得 是以 为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程PMN PMN【答案】() () y=x-1x23+y2=1【解析】【分析】（）由椭圆 C： 1（ab0）过点 A（0，1） ，且椭圆的离心率为
12、，列方程组求出x2a2+y2b2= 63a，b，由此能求出椭圆 C 的方程（）设直线 l 的方程为 yx+m， P（3，yP） ，由 ，得 4x2+6mx+3m230，利用根x23+y2=1y=x+m 的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线 l 的方程【详解】 （）由题意得 b=1,ca=63,a2=b2+c2. 解得 a2=3所以椭圆 的方程为 Cx23+y2=1（）设直线 l 的方程为 y=x+m， P(3,yP)由 得 . x23+y2=1，y=x+m 4x2+6mx+3m2-3=0令 ，得 =36m2-48m2+480 -20（）求 的单调区间；f(x)（）设 ，若曲
13、线 ， 有公共点 ，且在点 处的切线相同，求 的g(x)=x2m y=f(x) y=g(x) P P m最大值【答案】 （） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（）f(x) (0,a) (a,+) 2e12【解析】【分析】（）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；（）设点 P 的横坐标为 x0（x00） ，由题意得 ，得到a2lnx0-ax0=x02-m，a2x0-a=2x0， （a0） 设 ，利用导数求其最大值得答案m=34a2-a2lna2 h(t)=34t2-t2lnt2(t 0)【详解】 （） 的定义
14、域为 f(x) (0，+) f(x)=a2x-a=a(a-x)x (a0)令 ，得 f(x)=0 x=a当 时， ；当 时， x(0,a) f(x)0 x(a,+) f(x)0) f(x0)=a2lnx0-ax0 g(x0)=x20-m因为 ， ，所以 ， f(x)=a2x-a g(x)=2x f(x0)=a2x0-a g(x0)=2x0由题意得 a2lnx0-ax0=x20-m， a2x0-a=2x0 由 得 或 （舍） x0=a2 x0=-a所以 m=34a2-a2lna2(a0)设 ，则h(t)=34t2-t2lnt2（t0) h(t)=12t（1-4lnt2）（t0)令 ，得 h(t)
15、=0 t=2e14当 时， ， 单调递增；00 h(t)当 时， ， 单调递减 t2e14 h(t)f(1)当 时， ， ， ；n=2 S2=2+3=5 f(2)=1+3=4 S2f(2)当 时， ， ， ；n=3 S3=2+3+5=10f(3)=1+3+5=9 S3f(3)当 时， ， ， n=4 S4=2+3+5+7=17f(4)=1+3+5+7=16S4f(4)所以当 时， n4 Snf(n)当 时， ， ， n=5 S5=2+3+5+7+11=28f(5)=1+3+5+7+9+11=36S52k-1 pn+12k+1所以 ，即 Sn+pn+1k2+2k+1=(k+1)2 Sn+1(k+1)2综上可知，命题成立【点睛】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题
