1、2018-2019 学年度第一学期高三期末调研考试数学试题（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足 ，则 （ ）z2=5+12i z=A. 或 B. 或 C. 或 D. 3+2i 32i 32i 3+2i 1+2i 12i 13【答案】A【解析】【分析】设 za+bi（a，bR） ，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得 a，b，则答案可求【详解】设 za+ bi（a，bR） ，由 z25+12i，得 a2b 2+2abi5+12i， ，解得 或 a2-b2=52ab=12
2、a=3b=2 a=-3b=-2 z3+2i 或 z 32i故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题2.函数 的零点所在的区间是（ ）y=x4(12)xA. B. C. D. (0,1) (1,2) (2,3) (3,4)【答案】B【解析】【分析】由于连续函数 f（x ）满足 f（1）0，f （2）0，从而得到函数 yx4（ ） x的零点所12在区间【详解】yx 4（ ） x为 R 上的连续函数，12且 f（1）120，f（2）210，f（1）f（2）0，故函数 yx4（ ） x的零点所在区间为：（ 1，2） ，12故选：B【点睛】本题主要考查函数的零点的定义
3、，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题3.已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分条件是（ ）a,b , a/bA. ， B. ， ，a/ b/ a/ b/ /C. ， ， D. ， ，a b / a b/【答案】C【解析】【分析】在 A 中，a 与 b 相交、平行或异面；在 C 中，由线面垂直的性质可得 ab；在 B、 D 中，均可得 a 与 b 相交、平行或异面；【详解】由 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，在 A 中， ， ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 A 错误；a/ b/在 B 中， ， ， ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 B 错误
4、；a/ b/ /在 C 中，由 a ， ，则 ，又 ，由线面垂直的性质可知 ，故 C 正确； / a b a/b在 D 中， ， ， ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 D 错误 a b/故选：C【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题4.定义运算 ，则函数 的图像是（ ）ab=b,aba,ab f(x)=1log2xA. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据新定义可得函数 1log 2x 就是取 1 与 log2x 中较大的一个即可判断【详解】从定义运算 ab 上看，对于任意的 a
5、、b，ab 实质上是求 a 与 b 中=b(ab)a(a b) 最大的，1log 2x 就是取 1 与 log2x 中较大的一个，对于对数函数 ylog 2x，当 x2，log 2x1，当 0x 2 时，f （x）1故选：C【点睛】本题主要考查新定义，求函数的最大值，属于基础题5.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 ，则 的概率是（ ）m,n m+n5A. B. C. D. 19 89 16 56【答案】B【解析】【分析】基本事件总数 n6636，利用列举法能求出 m+n5 包含的基本事件有 4 个，由此利用对立事件概率计算公式能求出 m+n5 的概率【详解】连续抛掷两次骰子得到的点数分别为
6、m，n，基本事件总数 n6636，m+n5 包含的基本事件有：（1，4） ， （4，1） ， （2，3） ， （3，2） ，共 4 个，m+ n5 的概率是 p1 -436=89故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 36 B. 32 C. 30 D. 27【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图，判断该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个以 3 为边长的长方形，高为 4，分别求出棱锥各个面的面积，进而可得答案【详解】由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体，四棱锥的
7、底面为边长为 3 和 3 的正方形，高为 4，故 S 四棱锥 43+ 53 53=SABE+SCBE+SCDE+SADE+S四 边 形 ABCD=12 12 +1243+3336+12故选：A【点睛】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图判断出几何体的形状，并找出各个面的棱长、高等关键的数据是解答本题的关键7.若双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则双曲线 的离心率为（ C:x2my23=1 y2=8x C）A. 4 B. 3 C. 2 D. 32【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线 y28x 的焦点坐标，由此得到双曲线 C： 1 的一个焦点，从而求出 ax2m-y23=的值
8、，进而得到该双曲线的离心率【详解】抛物线 y28x 的焦点是（2，0） ，双曲线 C： 1 的一个焦点与抛物线 y28x 的焦点重合，x2m-y23=c2，b 23，m 1，e 2=ca=21=故选：C【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解8.在 中，若 ， （ ） ，则当 最小时， （ ）ABC AB=(1,2) AC=(x,2x) x0 BC ACB=A. B. C. D. 900 600 450 300【答案】A【解析】【分析】由已知 可求 的坐标，然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可BC=AC- AB BC求 BC 最小时的 x，结合向量数量积的性质
9、即可求解【详解】 （1，2） ， （x ，2x） （x0） ，AB= AC= （x1，2x2） ，BC=AC- AB=| |BC= (-x-1)2+(2x-2)2= 5x2-6x+5令 y5x 26x+5 ，x0根据二次函数的性质可知，当 x ，y min ，此时 BC 最小，=35 =165 ， （ ， ） ，CA=(35，-65) CB= 85 450，CA CB=3585-6545= ，即 C90，CACB故选：A【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查了二次函数的性质的简单应用，考查运算求解能力，是基础题9.已知函数 ，且图像在点 处的切线的倾斜角为 ，则f(x)=x3+2x2f(1
10、)+2 x=2 的值为（ ）sin(2+)cos(32)A. B. C. D. 316 316 417 417【答案】D【解析】【分析】先对函数进行求导，求出 f （1） ，然后根据导数的几何意义求出切线斜率kf（2） tan，然后根据诱导公式及同角基本关系可得 sin（ ）cos（ ）2+ 32-cossin ，代入可求=-sincossin2+cos2=- -tan1+tan2【详解】f（x ）x 3+2x2f（1）+2，f（x）3 x2+4xf（1） ，f（1）3+4f（1） ，即 f（1）1，f（x）3x 24x ，图象在点 x2 处的切线的斜率 kf （2）4tan，则 sin（ ）
11、cos（ ）2+ 32-cossin=-sincossin2+cos2=-tan1+tan2，=-417故选：D【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，诱导公式及同角基本关系的综合应用，属于基础知识的综合应用10.在数列 中，若 ， ， ，则该数列的前 100 项之和是（ an a1=1 a2=3 an+2=an+1an(n1)）A. 18 B. 8 C. 5 D. 2【答案】C【解析】【分析】先分别求出a n的前 9 项，观察这 9 项知 an是周期为 6 的周期函数，由此能求出a n前100 项之和【详解】a 11，a 23，a n+2a n+1a n（nN *） ，a 3312，a4
12、231，a5123，a63+12，a72+31，a81+23，a9312，a n是周期为 6 的周期函数，100166+4，S 10016（1+3+2132）+（1+3+21）5故选：C【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意周期性和递推式的合理运用11.已知 是 所在平面内一点， ，现将一粒红豆随机撒在 内，P ABC 2PB+3PC+PA=0 ABC记红豆落在 内的概率为 ，落在 内的概率为 ， ，则PBC PPBC PAC PPAC（ ）PPBCPPBAPPAC=A. B. C. D. 16 112 518 136【答案】D【解析】【分析】根据 2 3 ，计算出PAB ，PAC，P
13、BC 面积的关系，求出概率，作积PB+ PC+PA=0得答案【详解】如图，令 ， ， PB1=2PB PC1=3PC PA1=PA则 P 为A 1B1C1 的重心， ，SPA1B1=SPA1C1=SPB1C1而 ， ， SPAB=12SPA1B1 SPAC=13SPA1C1 SPBC=16SPB1C12S PAB 3S PAC 6S PBC ， ， ， PPAB=12 PPAC=13 PPBC=16则 PPBC PPBA PPAC =121316=136故选：D【点睛】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档12.已知 且 ，则下
14、列结论正确的是（ ）,4,4 coscos0A. B. C. D. |【答案】A【解析】【分析】由已知得 coscos，令 f（x）xcosx（0 ） ，利用导数结合奇偶性可得x4f（x）xcosx 在 ， 上为增函数，则答案可求-4 4【详解】， ， ，cos0，cos0，-4 4由 0，得 coscos0，则 cos cos，cos- cos令 f（x）xcosx（0 ） ，则 f（x）cosxxsin xcos xsinx0x4f（x）xcosx 在0， 上为增函数，4而 f（x）xcosx 为奇函数，可得 f（x ）xcos x 在 ， 上为增函数-4 4又 coscos，故选：A【点
15、睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知集合 ， ，则 _ （用区间表示）M=x|1b0) P(x0,y0) l:x0xa2+y0yb2=1 x,y于 两点，则当 最小时， _ （ 为坐标原点）A,B |AB| |OP|= O【答案】 a2+b2-ab【解析】【分析】利用切线求得 A、B 两点坐标，表示出 ，再利用 ，结合基本不等式求得|AB|2x02a2+y02b2=1，再利用 最小时的条件求得 ， ，即可求解.|AB|2(a+b)2 |AB| x02=a3a+b y02=b3a+b【详解】因为点
16、的切线方程为 ，若分别交 轴于 两点，所以P(x0,y0) l:x0xa2+y0yb2=1 x,y A,BA（ ，0） ，B（0， ） ， = = ，a2x b2y0 |AB|2|OA|2+|OB|2a4x02+b4y02又 点 P 在椭圆 上， 有 ， (x0,y0)x2a2+y2b2=1(ab0) x02a2+y02b2=1= + ) ，当且仅|AB|2a4x02+b4y02=(a4x02+b4y02)(x02a2+y02b2)=(a2+b2+b4x02y02a2a4y02x02b2(a2+b2+2ab)=(a+b)2当 = 时等号成立， ，b4x02y02a2a4y02x02b2 b4x
17、02y02a2=a4y02x02b2a4x02+b4y02=(a+b)2 解得 ， ， = = ，x02=a3a+b y02=b3a+b x02+y02=a3a+b+b3a+ba3+b3a+b a2+b2-ab= .|OP|= x02+y02 a2+b2-ab故答案为 .a2+b2-ab【点睛】本题以过椭圆上点的切线为载体，考查了利用基本不等式求最值及等号成立的条件，考查了逻辑推理及运算能力，属于难题三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 中， 分别是内角 的对边，且 .ABC a,b,c A,B,C sin2A=sin2B+sin
18、2C+sinBsinC（1）求 ；A（2）若 ， ，求 的面积.a=3 b=2 ABC【答案】 （1） （2）23 32- 32【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a 2b 2+c2+bc由余弦定理可得：cosA ，结合范围=-12A（0，） ，可求 A =23（2）由已知利用余弦定理 c2+2c50，解得 c 的值，利用三角形面积公式即可计算得解【详解】 （1）因为 ，sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC由正弦定理得 . a2=b2+c2+bc再由余弦定理得 ，cosA=b2+c2-a22bc =-12又因为 ，所以 A(0,) A=23（2）因为 a=3， ，b=
19、2 A=23代入 得 ,a2=b2+c2+bc c2+2c-5=0解得 . c= 6-1故 ABC 的面积 .S=12bcsinA=32- 32【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.设 ， ， ，数列 的前 项和 ，点 （ ）均在函a=(x2,2) b=(3,x) f(x)=ab an n Sn (n,Sn) nN*数 的图像上 .y=f(x)（1）求数列 的通项公式；an（2）设 ， 是数列 的前 项和，求满足 （ ）的最大正整数 .bn=3anan+1 Tn bn n Tnm21nN* m【答案】 （1）a
20、 n6n5 （ ） （2）8nN【解析】【分析】（1）根据 f（x ）3x 22x，由（n，S n）在 y3x 22x 上，知 Sn3n 22n由此能求出数列a n的通项公式（2）由 ，知 Tnbn=3anan+1= 3(6n-5)(6n+1)=12( 16n-5- 16n+1)（1 ） ，根据 （ ）对=12(1-17+17-113+113-119+ 16n-5- 16n+1)=12 16n+1 12（1 16n+1）m21nN*恒成立,当且仅当 ，由此能求出所有 nN*都成立的 m 的范围nN*37m21【详解】 （1）因为 3x22x. f(x)=ab又因为点 均在函数 的图像上，所以
21、3n 22n. (n,Sn)(nN*) y=f(x) Sn当 n2 时，a nS nS n1 （3n 22n） 6n5. 3(n-1)2-2(n-1)当 n1 时，a 1S 131 221，所以，a n6n5 （ ）. nN*（2）由（1）得知 ，bn=3anan+1 12( 16n-5- 16n+1)故 Tn ni=1bi 12(1-17)+(17-113)+.+( 16n-5- 16n+1) （1 ） ，且 Tn随着 n 的增大而增大12 16n+1因此，要使 （1 ） （ ）对 恒成立,当且仅当 n=1 时 T1= ，12 16n+1 m21nN* nN* 37m21即 mb0)（1）求
22、椭圆 的方程；C（2）经过 作直线 交 于两点 ，交 轴于 ，若 ， ，且F2 m C A,B y M(0,y0) MA=1AF2 MB=2BF2，求 .12=1 y0【答案】 （1） （2）x210+y26=1 2155【解析】【分析】（1）由 PF1+PF22 ，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆方程；10（2）由向量的坐标运算，表示出 1 和 2，即可求得 1+ 2 为定值【详解】 （1）因为点 P 在以 为焦点的椭圆 C 上，所（52，32） F1(-2,0),F2(2,0) :x2a2+y2b2=1(ab0)以 2a= (52-2)2+94+ (52+2)2+94=210所以
23、. a= 10又因为 c=2，所以 b= 6所以椭圆 C 的方程为 x210+y26=1（2）设 A、B 、M 点的坐标分别为 A（ ， ） ，B（ ， ）x1 y1 x2 y2显然直线 m 存在斜率，设直线 m 的斜率为 ，则直线 m 的方程是 k y=k(x-2)将直线 m 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得C y, (3+5k2)x2-20k2x+20k2-30=0 ， x1+x2=20k23+5k2 x1x2=20k2-303+5k2又 2， 2，将各点坐标代入得 ， MA=1AF MB=2BF 1=x12-x1 2= x22-x2又 ，所以 ，解得12=1 12=x12-x1
24、 x22-x2= x1x2（2-x1)(2-x2）=1 k2=35又点 M 在直线 上，所以 =-2k .y=k(x-2) y0 =2155【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题22.已知函数 ，且函数 的图像在点 处的切线与 轴垂直.f(x)=3x+lnx+ax f(x) x=1 y（1）求函数 的单调区间；f(x)（2）设函数 在区间 上的最小值为 ，试求 的最小值.f(x) 3t,t+2 F(t) F(t)【答案】 （1） 的减区间为 ，增区间为 .（2）7f(x) (0,1) (1,+)【解析】【分析】（1
25、）由已知求得 a，对 f(x)求导，令 和 求得单调区间.f(x)0 f(x)13t1 3t1，再求 的最小值即可.F(t) F(t)【详解】 （1）由已知 f(x)=3+1x-ax2因为 ，所以 f(1)=0 a=4故 .f(x)=3x+lnx+4x, f(x)=3+1x-4x2=3x2+x-4x2 (x0)令 得 （ 舍去）f(x)0 x1 x0, t+23t t2+2t3,(t+1)24解得 （舍去）或t1由（1）知 的减区间为 ，增区间为 ,f(x) (0,1) (1,+)所以，若 即 时， .3t1, t3 F(t)=f(1)=7若 即 11, F(t)=f(3t)=9t+ln3t+4t3，F(t)=9t+ln3t+4t3=9t-lnt3+4t3则 ，F(t)=-9t2-1t+43=(t-3)(4t+9)3t21F(t) F(t) F(3)=7故所求的最小值为 7.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题
