1、河北省衡水中学 2019 届高三上学期五调考试数学（文）试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ， ，则 （ ）A=x|10,b0) F1,F2 F1 x2+y2=a2交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）M F1MF2=45A. B. C. D. y= 2x y= 3x y=x y=2x【答案】A【解析】【分析】作 OA 于点 A， 于点 B，可得 ， ，F1M F2BF1M |OA|=a，|F2B|=|BM|=2a |F2M|=22a，结合双曲线定义可得 从而得到双曲线的渐近线方程.
2、|F1B|=2b b= 2a【详解】如图，作 OA 于点 A， 于点 B，F1M F2BF1M 与圆 相切，F1M x2+y2=a2 F1MF2=45 ， ，|OA|=a，|F2B|=|BM|=2a |F2M|=22a |F1B|=2b又点 M 在双曲线上， |F1M|-|F2M|=2a+2b-22a=2a整理，得 ，b= 2aba= 2双曲线的渐近线方程为 y= 2x故选：A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于 a，b 的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为 ，它的体积是（ ）cmA. B. C. D. 2732cm3 92c
3、m3 932cm3 272cm3【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，V=13Sh=1312(2+4)3323=923cm3故选 C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.如图，已知三棱柱 的各条棱长都相等，且 底面 ， 是侧棱 的ABCA1B1C1 CC1 ABC M CC1中点，则异面直线 和 所成的角为( )AB1 BMA. B. C. D. 2 3【答案】A【解析】【分析】由题意设棱长为 a，补正三棱柱 AB
4、C-A2B2C2，构造直角三角形 A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出 A2M，从而求解【详解】 设棱长为 a，补正三棱柱 ABC-A2B2C2（如图） 平移 AB1 至 A2B，连接 A2M，MBA 2 即为 AB1 与 BM 所成的角，在A 2BM 中， A2B= 2a，BM= a2+(a2)2=52a，A2M= a2+(3a2)2=132a，A2B2+BM2=A2M2，MBA2=2,故选：A【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做9.在等腰直角三角形 中， ，点 为 所在平面上一动点，且满足ABC C=900,|CA|=2 P AB
5、C,求 的取值范围|BP|=1 BP(CA+CB)A. B. C. D. 22,0 0,22 2,2 22,22【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点 P 的坐标，从而求出的取值范围BP(CA+CB)【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则 A（0，2），B（2，0），C（0，0），由| |=1 知，点 P 在以 B 为圆心，半径为 1 的圆上，BP设 P（2+cos，sin），0，2）；则 =（cos，sin），BP又 + =（2，2）；CACB （ + ）=2cos+2sin=2 sin（+ ），BP CACB 24当 + = ，即 = 时，
6、 （ + ）取得最大值 2 ，42 4 BP CACB 2当 + = ，即 = 时， （ + ）取得最小值2 ，432 54 BP CACB 2 （ + ）的取值范围是 2 ，2 BP CACB 2 2故选：D【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” ，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10.如图，平面四边形 中， ， ， ，将其沿对角线ABCD AB=AD=CD=1 BD= 2 BDCD折成四面体 ，使平面 平面 ，若四面体 的顶点在同一个球面BD ABCD AB
7、D BCD ABCD上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 332 4 34【答案】A【解析】【分析】设 BC 的中点是 E，连接 DE，由四面体 ABCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设 BC 的中点是 E，连接 DE，AE，因为 ABAD1，BD 2由勾股定理得：BAAD又因为 BDCD，即三角形 BCD 为直角三角形所以 DE 为球体的半径DE=32S=4(32)2=3故选 A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径 R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径 R 的方程.11.已知抛物
8、线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 交于 两点，且直线Cy2=2px(p0) F F C A、B与圆 交于 两点.若 ，则直线的斜率为x2-px+y2-34p2=0 C、D |AB|=2|CD|A. B. 22 32C. D. 1 2【答案】C【解析】【分析】由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是 为圆的直径，所以CD设直线 ，将其代入抛物线方程消去 x 得到关于 y 的一元二次方|AB|=2|CD|=4p l:x=ty+p2程，然后根据弦长公式可得 ，于是得到 |AB|=2p(1+t2)=4p t=1【详解】由题设可得圆的方程为 ，(x-p2)2+y2=p2故圆心为 ，为抛物
9、线的焦点，(p2,0)所以 |CD|=2p,所以 |AB|=4p设直线 ,代入 得 ，l:x=ty+p2 y2=2px(p0) y2-2pty-p2=0设直线 l 与抛物线 C 的交点坐标为 ，A(x1,y1),B(x2,y2)则 ，y1+y2=2pt,y1y2=-p2则 ，|AB|= (1+t2)(4p2t2+4p2)=2p(1+t2)=4p所以 ，解得 1+t2=2 t=1故选 C【点睛】 （1）本题考查直线和抛物线的位置关系、圆的方程、弦长的计算，意在考查分析推理和计算能力(2) 弦长公式对有斜率的直线才能使用，此时公式为 ，其中 表示直线的斜|AB|= 1+k2|a| k率，是直线和椭
10、圆的方程组消去 化简后 中 的系数， y 得 到 的 二 次 方 程 ax2+bx+c=0 x2 是 的判别式对于斜率不存在的直线，则弦长为 =b2-4ac ax2+bx+c=0 |AB|=|yA-yB|12.已知定义在 上的函数 ，若函数 恰有 2 个零点，则实数的Rf(x)=lnx,x1|x2x|,x1 F(x)=f(x)ax取值范围是（ ）A. B. (,1)0(1e,+) (,1)0(1e,1)C. D. (1,1e)0(1e,1) (1,1e)0(1e,+)【答案】B【解析】【分析】将函数 恰有 2 个零点转化为两函数 与 有两不同交点，作出函数图F(x)=f(x)-ax y=f(x
11、) y=ax像即可求出结果.【详解】由题意函数 恰有 2 个零点，即是方程 有两不等实根，即F(x)=f(x)-ax f(x)-ax=0是两函数 与 有两不同交点，作出函数图像如下图，y=f(x) y=ax易得当 时，有两交点，即函数 恰有 2 个零点.故选a(-,-1)(1e,1)0 F(x)=f(x)-axB.【点睛】本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题，只需将函数有零点转化为两函数有交点的问题来处理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题 .二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.某机构就当地居民的月收入调查了 1 万人，并根据所得数据画出了样本频率分布
12、直方图（如图）.为了深入调查，要从这 1 万人中按月收入用分层抽样方法抽出 100 人，则月收入在 （元）段应抽出_人2500.3000)【答案】25【解析】【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距，所以频率等于纵坐标乘以组距，求出段的频率，结合样本容量即可求出结果.2500.3000)【详解】由题意，月收入在 （元）段的频率为 ，2500.3000) 0.0005500=0.25所以月收入在 （元）段应抽出的人数是 .2500.3000) 1000.25=25【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型.14. 中，角 ， ， 的对边分别为， ， ， ， ， ，则 的面积ABC A B
13、 C b cosC=14 c=3 acosA= bcosB ABC等于_【答案】3154【解析】【分析】先由正弦定理得 a=b，然后由余弦定理求得 a、b，在用面积公式求得 的面积.ABC【详解】 acosA= bcosBsinAcosA=sinBcosB化解得： sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0即：A=B又 cosC=14c=3cosC=a2+b2-c22ab =14解得：a=b= 6SABC=3154【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15.已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是f(x)=x2
14、lnx x f(x)kx+10 k_【答案】 (,1【解析】函数 的定义域为 ，f(x)=x2lnx x|x0恒成立,即 等价于 ，f(x)kx+10 x2lnxkx+10 kxlnx+1x令 ，则 ，g(x)=xlnx+1x g(x)=lnx+11x2令 ，则 在 上恒成立，r(x)=lnx+11x2 r(x)=1x+2x30 (0,+) 在 上单调递增， g(x)=lnx+11x2 (0,+) g(1)=0故当 时， ，函数 单调递减；01 g(x)0 g(x) gmin(x)=g(1)=1故 ，故答案为 .kgmin(x)=g(1)=1 (,1点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查
15、导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为 或ah(x)恒成立，即 或 即可，利用导数知识结合单调性求出 或ahmax(x) a0) 2求 的值；(1) 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， ， ， 面积 ，(2)ABC f(B)=2 a= 3 ABC S=334求 b【答案】(1) (2)312【解析】【分析】（1）化简 ，根据函数的最小正周期 即可求出 的值f(x)=2sin(2x-6) T=22=2 2）由（1）知， .由 ，求得 ，再根据 的面积f(x)=2sin(x-6) f(B)=2sin(B-6)=2 B
16、=23 ABC，解得 ，最后由余弦定理可求出 .SS=334 c= 3 b【详解】 （1） f(x)=23sinxcosx-cos2x+sin2x= 3sin2x-cos2x=2sin(2x-6)故函数的最小正周期 ，解得 . T=22=2 =12（2）由（1）知， .由 ，得 （ ）.所以f(x)=2sin(x-6) f(B)=2sin(B-6)=2 B-6=2k+2 kZ（ ）.又 ，所以 . 的面积B=2k+23 kZ B(0,) B=23 ABC，解得 .由余弦定理可得 S=12acsinB=12 3csin23=334 c= 3 b2=a2+c2-2accosB，所以 .=( 3)2
17、+( 3)2-2 3 3cos23=9 b=3【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题18.等差数列 的公差大于 0，且 是方程 的两根，数列 的前 项的和an a3,a5 x214x+45=0 bn n为 ，且 Sn Sn=112bn（1）求数列 ， 的通项公式； an bn（2）记 ,求数列 的前 项和 cn=anbn cn n Tn【答案】 （1） ， ；（2）an=2n-1 bn=23n Tn=2(1-n+13n)【解析】【分析】（1）由已知条件得 a3=5，a5=9，由此求出 an=a5
18、+（n-5）d=2n-1；由 ，推导出b n是Sn=1-12bn等比数列， ， ，由此求出 b1=23. q=13 bn=b1qn-1=23n（2）由（1）知 ，由此利用错位相减法能求出数列c n的前 n 项和 Tncn=anbn=2(2n-1)3n【详解】 （1） 是方程 的两根，且数列 的公差 ，a3,a5 x2-14x+45=0 an d0 ，公差a3=5，a5=9 d=a5-a35-3=2.an=a5+(n-5)d=2n-1.又当 时，有 1n=1 b1=S1=12b1 b1=23.当 n2时 ,有 bn=Sn-Sn-1=12(bn-1-bn),bnbn-1=13(n2).数列 是等比
19、数列，bn b1=23,q=13. bn=b1qn-1=23n.（2）由（1）知 cn=anbn=2(2n-1)3nT n ， 23+632+1033+4n-23n，13Tn=232+633+1034+4n-23n+1-，得 23Tn=23+432+433+43n-4n-23n+1=23+419(1- 13n-1)1-13 -4n-23n+1=43-4n+43n+1即 Tn=2(1-n+13n)【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前 n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用19.如图，三棱柱中 ， 平面 ， ， .ABCA1B1C1 AA1 ABC AA1=AC=
20、2BC ACB=90（1）求证： ；AC1A1B（2）求直线 与平面 所成角的正切值.AB A1B1C【答案】 （1）见解析；（2）63【解析】【分析】(1)先证 平面 ,可得 ，再由四边形 为正方形可得 ，BC A1C1CA AC1BC A1C1CA AC1A1C从而可得 平面 ，进而可得 ；AC1 A1BC AC1A1B(2)由 平面 可得 是直线 与平面 所成的角，利用勾股定理求出 OA,OB,AC1 A1BC ABO AB A1BC即可得出 .tanABO【详解】证明（1） 平面 ， 平面 ，CC1 ABC BC ABC CC1BC又 ，即 ， ，ACB=90 BCAC ACCC1=C
21、平面 ， 平面 ，BC A1C1CA AC1 A1C1CA.AC1BC， 四边形 为正方形，AA1=AC A1C1CA，又 ，AC1A1C A1CBC=C平面 ，又 平面 ，AC1 A1BC A1B A1BC.AC1A1B（2）设 ，连接 .AC1A1C=O BO由（1）得 平面 ，AC1 A1BC是直线 与平面 所成的角.ABO AB A1BC设 ，则 ，BC=a AA1=AC=2a， ，AO=12AC1= 2a BO= a2+2a2= 3a在 中， ，RtABO tanABO=AOBO=63直线 与平面 所成角的正切值为 . AB A1BC63【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，以及直
22、线与平面所成的角，属于中档题型.20.为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游 3 名，其中高级导游 2 名；乙旅游协会的导游 3 名，其中高级导游 1 名.从这 6 名导游中随机选择 2 人参加比赛. （1）求选出的 2 名都是高级导游的概率；（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是 （单位：万元） ，乙旅游协会对本地经济收入的30,50贡献范围是 （单位：万元） ，求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会20,40对本地
23、经济收入的贡献概率.【答案】 （1） ；（2）15 78【解析】【分析】(1)用列举法求出基本事件数，即可计算所求的概率值；(2)根据题意知，所求概率为几何概型问题，由几何概型计算公式即可求出结果.【详解】 （1）设来自甲旅游协会的 3 名导游为 ，其中 为高级导游，A1,A2,A3 A2,A3来自乙旅游协会的 3 名导游为 ，其中 为高级导游，B1,B2,B3 B3从这 6 名导游中随机选择 2 人参加比赛，有下列基本情况： ， ， ， ，A1A2 A1A3 A1B1 A1B2；A1B3； ； ；共 15 种，A1A3,A2B1,A2B2,A2B3 A3B1,A3B2,A3B3 B1B2,B
24、1B3,B2B3其中选出的 2 名都是高级导游的有 ， ， ，共 3 种A2A3 A2B3 A3B3所以选出的 2 人都是高级导游的概率为 .p=315=15（2）依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为 （单位：万元） ，x乙旅游协会对本地经济收入的贡献为 （单位：万元） ，则 且 ，y x30,50 y20,40则 ，属于几何概型问题xy作图，由图可知 ， ，S1=SDEF S=SABCD所求概率为 .p=S-S1S =1-S1S=1-1210102020=78【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型，属于常规题型.21.已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，且椭圆 上一点 到其两焦点 ，x2
25、a2+y2b2=1ab0 (22,0) M F1的距离之和为 F2 43（1）求椭圆 的标准方程；（2）设直线： （ ）与椭圆 交于不同两点 ， ，且 ，若点 满足y=x+mmR AB |AB|=32 P(x0,2)，求 的值|PA|=|PB| x0【答案】 （1） ；（2） 的值为 或 x212+y24=1 x0 3 1【解析】【分析】（1）由已知求得 ，又由 ，由此能求出椭圆的方程；a=23 c=22（2）由 ，得 ，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线y=x+mx212+y24=1 4x2+6mx+3m2-12=0的性质，结合已知，即可求出 的值x0【详解】 （1）由已知 ，得 ，又 ，
26、 ，椭圆 的方程为2a=43 a=23 c=22 b2=a2-c2=4 x212+y24=1（2）由 得 y=x+m,x212+y24=1, 4x2+6mx+3m2-12=0直线与椭圆 交于不同两点 、 ， ，得 ， AB =36m2-16(3m2-12)0 m20)调性，研究零点问题【详解】(1) ，则F(x)=xf(x)=12x2+(1-a)x-alnx(x0)F(x)=x+(1-a)-ax=(x+1)(x-a)x当 时， ，所以函数 在 上单调递增；a0 F(x)0 F(x) (0,+)当 时，若 ，则 ，若 ，则a0 x(0,a) F(x)0所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；F
27、(x) (0,a) (a,+)综上可知，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递a0 F(x) (0,+) a0 F(x) (0,a)减，在 上单调递增；(a,+)(2) 函数 有两个零点等价于 有两个零点.f(x) F(x)=12x2+(1-a)x-alnx(x0)由(1)可知，当 时，函数 在 上单调递增， 最多一个零点，不符合题意。a0 F(x) (0,+) F(x)所以 ，又当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；所从a0 a0 F(x) (0,a) (a,+).F(x)min=a-12a2-alna要使 有两个零点，则有 .F(x) F(x)min0) h(x)=-12-1x0,h(2)=-ln2x0 h(x)x0 h(a)0 F(x)数的最小值等于 2.【点睛】本题考查了函数的最值的求法，注意运用导数求得单调区间即可，注意运用分类讨论的思想方法，在求函数的零点问题时，注意运用函数的单调性和零点存在定理，属于难题。
