1、热点七 几何体与球切、接的问题纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定
2、义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.1 球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体如图所示，正方体 ，设正方体的棱长为 a， ,EFHG为棱的中点， O为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形 和其内切圆，则2aOJr；二
3、是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形 和其外接圆，则 ；三是球 为正方体的外接球，截面图为长方形 1AC和其外接圆，则 .通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定 好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.（1）正方体的内切球，如图 1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2ra. （2）正方体的外接球，如图 2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；数据关系：设正
4、方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 23ra.（3）正方体的棱切球，如图 3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2ra.例 1【吉林省辽源市田家炳高级中学（第六十六届友好学校)2019 届高三上学期期末】已知一个棱长为 2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示, 则该几何体外接球的表面积是( )A B C D【答案】C【解析】还原几何体如图所示：几何体 ABCDEF 与边长为 2 的正方体有相同的外接球.易知正方体的外接球直径即为体对角线的长： .所以球的表面积为 .故选 C.1.2 球与长方
5、体例 2【广东省佛山市 2019 届高三 1 月检测（一)】已知矩形 ， ， ， 为 的中点，现分别沿 将 ， 翻折，使点 重合，记为点 ，则几何体 的外接球表面积为_【答案】 ， ，外接球表面积为 4 R2 ，故 答案为： 例 3【2018 届二轮复习专题】 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 PABC 为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为( )A. 8 B. 12C. 20 D. 24【答案】C2 球与锥体的切接规则的锥体，如正四面
6、体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 正四面体与球的切接问题 （1） 正四面体的内切球，如图 4. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 R，这时有 ；（可以利用体积桥证明） （2） 正四面体的外接球，如图 5. 位 置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 R，这时有 ；（可用正四面体高 h减去
7、内切球的半径得到）（3） 正四面体的棱切球，如图 6. 位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 R，这时有 例 4【吉林省长春外国语学校 2019 届高三上期末】在四面体 中，若 ， ，则四面体 的外接球的表面积为_【答案】【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体 ABCD 的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以 ，2， 为三边的三角形作为底面，且以分别 x， y， z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为 x， y， z 的长方体，并且 x2+y23， x2+z25， y2+z
8、24，则有（2 R） 2 x2+y2+z26（ R 为球的半径） ，得 2R23，所以球的表面积为 S4 R26故答案为： 点评：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图 形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图. 一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点） ，这样两条直线的交点，就是其外接球的球
9、心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解 ，有时也可利用补体法得到半径.2.2 其它棱锥与球的切接问题球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径 R这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角
10、形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.例 5【山东省临沂市第十九中学 2019 届高三上学期第六次调研】长方形 中， ,将沿 折起，使二面角 大小为 ，则四面体 的外接球的表面积为_【答案】【解析】 如图所示：设矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，则 OA=OB=OC=OD= ，三棱锥 B-ACD 的外接球的半径为 R= ，其表面积为 S=4R 2=4 = .故答案为 .例 6【甘肃省张掖市 2019 届高三上学期第一次联考】三棱锥 的每个顶点都在球 的表面上，平面 ， ， ， ， ，则球 的表面积为_ 【答案】【解析】 平面 ，则 PA BC， 且 ,则
11、平面 ，所以 PA AC，又 , PC 为三棱锥 外接球的直径, ， PC 的中点为球 O 的球心，球 O 的半径 r= ，球 O 的面积 S=4r 2=8 .故答案为：8 .例 7【2018 届山西省太原十二中高三上学期 1 月】在四棱锥 PABCD中， P底面 ABCD，底面为正方形， /QAPC， 60，记四棱锥 的外接球与三棱锥 Q的外接球的表面积分别为 12,S，则 1_【答案】 57【解析】设正方形的边长为 a，设 2O为 CQ的中点，因为 PC平面 ABD，而 ,C平面 ABCD，所以 ，又 /AP，故 ，又 ，故 Q平面ABCD， 平面 BD，所以 ，故 为直角三角形， 为斜边
12、，所以同理 QC也为直角三角形，结合 ，所以 3Aa，又 CBA，所以 CB平面 AQ， B平面 AQ，所以 CB， QC为直角三角形，所以 2BOQ， 2为三棱锥 外接球的球心，且半径 同理设 1O为 AP的中点，则 1O为四棱锥 PABD外接球的球心，且半径 ，所以 填 57点睛：球的半径的计算，关键在球心位置的确定，三棱锥 BAQC中 均为直角三角形，因此外接球的球心就是 QC的中点，因为它到四个顶点的距离是相等的同理四棱锥 PABCD外接球的球心就是 AP的中点3 球与球相切问题对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截
13、面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例 8 已 知 有 半 径 分 别 为 2、 3 的 球 各 两 个 ， 且 这 四 个 球 彼 此 相 外 切 ， 现 有 一 个 球 与 此 四 个 球 都 相 外 切 ， 则 此球的 半 径 为 .【答案】 61例 9 把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离【答案】 362.【解析】四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点，则正四面体的高 而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径 1，且三个球心到桌面的距离都为 1，故第四 个球的最高点与桌面
14、的距离为 36学-科网4 球与几何体的各条棱相切问题球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半： 24ra.例 10 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）Al0 3cm B 10 cm C10 2cm D30cm【答案】【解析】如图所示，由题意球心在 AP 上，球心为 O，过 O 作 BP 的垂线 ON 垂足为 N，ON=R，OM=R，因为各个棱都为 20，
15、所以 AM=10，BP=20,BM=10，AB= 102,设 BPA，在 RtBPM 中， ,所以 .在 RtPAM 中, ,所以102PA.在 tABP 中, ，在 tONP 中, ,所以O，所以 2PR.在 tOAM 中, ,所以，,解得， 10或 30（舍）,所以， 10,Rcm故选 B.5 球与旋转体切接问题首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系例 11【山东省滨州市 2019 届高三期末】如图，圆柱 的底直径与高都等于球 的 直径，记圆柱 的表面积为 ，球 的表面积为 ，则 （ ）A1 B C D【答案】C例 12 在棱长为 1 的正方体内有两个
16、球相外切且又分别与正方体内切 （1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小【答案】【解析】如图，球心 1O和 2在 AC上，过 1O， 2分别作 BCAD,的垂线交于 FE,则由 得 ， （1）设两球体积之和为 V，则=当 43R时， V有最小值 当 时，体积之和有最小值【反思提升】综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，将问题转化成平面几何问题，应用三角形中的边角关系，建立与球半径 ,rR的联系，将球的体积之和用 r或 R表示.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点 的距离等于球的半径发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考 题往往与三视图相结合，题目的难易不一，在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界.
