1、热点一 分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数 为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量 X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以 及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部
2、分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的 x与 y的对应法则不同，函数式是分两段或几 段给出的 .分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究 .一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数 求值问题例 1【山东省枣庄
3、第八中学 2019 届高三 1 月考前测试】已知函数（ ）A8 B6 C3 D1【答案】C【解析】由函数 ,可得 ，则 ，解得 .所以 .故选 C.2 分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例 2.已知函数 ，则函数 的大致图象是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 ，则 ，化简得 ，因此 gx在 上都是增函数.又 ，故选 B. 3 分段函数与方程已知函数值求自变量 x或其 它参数的值的问题，一般按自变量 x的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.数形结合是解答此类问题的重要方法.例 3【河北省衡水中学 2019 届高三上学期五调】已知定义在 上的函数 ，若函数恰有 2 个零点，
4、则实数 的取值范围是（ ）A BC D【答案】B【解析】由题意函数 恰有 2 个零点，即是方程 有两不等实根，即是两函数 与有两不同交点，作出函数图像如下图， 易得当 时，有两交点，即函数 恰有 2 个零点.故选 B.4 分段函数与不等式将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例 4【河南省开封市 2019 届高三上学期第一次模拟】已知函数 若 ，则 的取值范围是A B C D【答案】B【解析】 ， 或即 或 即 的取值范围是故选：B5 分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等
5、式求解讨论参数、数形结合是解答此类问题的重要方法.例 5【2019 年上海市普陀区高考一模】设 是定义在 R 上的周期为 4 的函数，且，记 ，若 则函数 在区间 上零点的个数是（ ）A5 B6 C7 D8【答案】D【解析】由图可知：直线 与 在区间 上的交点有 8 个，故选： D 6 分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的 x 与 y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时，也是分段求解析式的. 例 6【2018 届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一） 】已知 fx是定义在 R上的奇函数.当 0x时，则不等式 0fx的解集用 区间表示为（ ）A. 1, B. C. D
6、. 【 答案】D【解析】f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（0）=0设 x0，则-x0，当 x0 时，f（x）=x 2-x，f（-x）=x 2+x，又 f（-x）=x 2+x=-f（x） ，f（x）=-x 2-x，x0当 x0 时，由 f（x）0 得 x2-x0，解得 x1 或 x0（舍去） ，此时 x1当 x=0 时，f（0）0 不成立当 x0 时，由 f（x）0 得-x 2-x0，解得-1x0综上 x（-1，0）（1，+） 故选 D.7 分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例
7、 7【2018 届山西省太原十二中高三 1 月月考】已知 8mn，函数若 fx的值域为 1,3，则 nm的最大值与最小值之积为（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【答案】B点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间 8,m有最大值 3，但无最小值，故函数的最小值1只能在 ,mn取得，但是 ，因此 1,n且 12m ，再根据 fx的最大值为 3，得到 ，所以 n的最小值为 32，最大值为 4，它们的乘积为 6.例 8【2018 届贵州省贵阳市第一中学高三 12 月月考】已知 fx是定义在 R上的奇函数，满足，当 10,2x时， ，则函数 在区间 3,2上所有零点之和为（ ）A. 4
8、 B. 3 C. D. 1【答案】A【解析】由已知 fx是定义在 R 上的奇函数，所以 ，又 ，所以fx的周期是 2，且 得 12x是其中一条对称轴，又当 10,2x时， ，于是 fx图象如图所示，又函数 零点即为 yfx图象与 1yx的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于 1,0对称，所以 ，所以零点之和为 .故选 A 8 分段函数的单调性例 9【山东省济宁市 2019 届高三上学期期末】已知函数 ，若函数 在定义域R 上单调递增，则实数 的取值范围为A B C D【答案】B【解析】因为函数 ，若函数 在定义域 R 上单调递增，则 ，解得：故选：B点睛：解分段函数单调性问题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是增函数，则左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值，反之，左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值.学!科网【反思提升】综合上面的八种类型，解决分段函数函数问题类型，涉及到很多数学思想主、方法；分段函数首先是函数，且是一个函数，不是多个函数；分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式，这样就要分段讨论、求解，即要重视分类讨论思想在解题过程中的应用.
