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类型专题3.1.1、3.1.2 空间向量及其加减运算、空间向量的数乘运算-试题君之K三关2018-2019学年高二数学(理)人教版(选修2-1) Word版含解析.doc

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  • 上传时间:2019-03-16
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    专题3.1.1、3.1.2 空间向量及其加减运算、空间向量的数乘运算-试题君之K三关2018-2019学年高二数学(理)人教版(选修2-1) Word版含解析.doc
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    1、 1空间向量的定义在空间中,我们把具有_和_的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模2空间向量的表示方法(1 )几何表示:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的_(2 )符号表示:空间向量可用一个字母表示,如向量 a,也可用有向线段的起点、终点的字母表示,如图所示,可用表示向量 a 的有向线段的起点 A 和终点 B 表示为 ,A向量的模记为 或 |a|AB3几个特殊的空间向量零向量 长度为 0 的向量叫做零向量,记为 0单位向量 模为 1 的向量称为单位向量相反向量 与向量 a 长度相等而方向相反的向量,称为 a 的相反向量,记为 a相等向量 方向相同且_的向量称为相等向量4空

    2、间向量的加法和减法运算已知空间向量 a,b,可以把它们平移到同一个平面 内,以任意点 O 为起点,作向量, ,如图 1 所示OAB类似于平面向量,可以定义空间向量的加法和减法运算(如图 2 所示):, _CAO图 1 图 25空间向量的加法运算律(1 )交换律: ;_ab(2 )结合律: ()()c用图 1、图 2 来验证空间向量的加法运算律如下:图 1 图 2以上运算律对于多个空间向量的加法也是成立的6空间向量的数乘运算(1 )定义:与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积 仍然是一个向量,称为向量的数乘运算(2 )向量 与 a 的关系:如图,当 时, 与向量 a 的_ ;当 时,00与

    3、向量 a 的_ 的长度是向量 a 的长度的 倍(3 )空间向量的数乘运算律:分配律: ;结合律:()ab+()a7共线向量(1 )定义如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_,则这些向量叫做共线向量或平行向量(2 )向量共线的充要条件(即共线向量定理)对于空间任意两个向量 a,b , 的充要条件是存在实数 ,使_()0ab(3 )共线向量定理的推论如图所示,l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,对空间任意一点 O,点P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,使 ,其中向量 a 叫做直线 l 的OPAt方向向量若在 l 上取 ,则式可以化为 ABa(1)tBtB式和式都称为

    4、空间直线的向量表示式由此可知,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定注:共线向量定理及其推论可用来证明直线平行和空间三点共线8共面向量(1 )定义平行于_的向量,叫做共面向量(2 )三个向量共面的充要条件(即共面向量定理)如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y ),使 p _(3 )共面向量定理的推论如图,空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对 (x,y),使;或对空间任意一点 O,有 式称为AxByCPABC空间平面 ABC 的向量表示式由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定

    5、三点共线的充要条件由共线向量定理的推论,我们可以得到空间三点共线的充要条件为 ,OPAB且 .此结论经常使用.=1K 知识参考答案:1大小 方向7 ( 1)平行或重合 (2 ) a=b8 ( 1)同一个平面 (2 ) xyK重点 空间向量的定义及其表示、空间向量的加减法运算及数乘运算K难点 共线向量、共面向量K易错混淆平行直线与平行向量、混淆向量与平面平行和直线与平面平行空间向量的相关概念理解向量的相关概念,关键是掌握几个重要概念:相等向量的模相等,方向相同;零向量的方向任意,模为零;共线向量方向相同或相反;相反向量的模相等,方向相反下列有关空间向量的说法中正确的是A如果两个向量的模相等,那么

    6、这两个向量相等B如果两个向量的方向相同,那么这两个向量相等C如果两个向量平行且它们的模相等,那么这两个向量相等D同向且等长的有向线段表示同一向量【答案】D【解析】相等向量要求模相等且方向相同,故 A 和 B 错误;平行向量可以方向相同也可以方向相反,故 C 错误;D 显然正确.如图,在长方体 中, , , ,以该长方1ABD-4AB2D1A体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中, (1)写出模为 的所有向量;(2 )5写出与 相等的所有向量;(3)写出 的相反向量;( 4)单位向量共有多少个?AB1【答案】见解析【名师点睛】相等向量和相反向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量,也

    7、不一定是相反向量空间向量的线性运算向量的线性运算,实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和,即通过作出向量,运用平行四边形法则或三角形法则求和运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中已知空间四边形 ABCD,如图,连接 AC,BD,设 M,G 分别是 BC,CD 的中点.化简下列各表达式,并在图中标出化简得到的向量.(1) + + ;(2) + ( + ); (3) - ( + ).1【解析】(1) + + + .如图所示.=(2)方法一: + ( + )= + + + + .如图所示.1212 =方法二:连接 BG, G 是 CD 的中点, + =2 . + ( + )

    8、= + .如图所示.12=【名师点睛】(1)首尾顺次相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即 ,因此求空间若干向量之和时,12341nnAA可通过平移使它们转化为首尾相接的向量;(2 )若首尾顺次相接的若干向量构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即;123411nnAA0(3 )两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立,因此求起点相同的两个向量之和时,可以考虑用平行四边形法则向量共线问题判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数 ,使得 成立,同时要充分利用ab空间向量运算法则,结合具体的图形进行化简,从而得到 ,即 与 共线反之,ab当两个空间向量共线时,即存在

    9、实数 ,使得 成立,既可以用于证明,也可以用待定系数法求参数的值已知 , ,若 ,求实数324,182xyamnpbmnp0a b的值.,【解析】 , , b ,(+1)=3,8=2,2=4 . =13,=8如图,在四棱锥 V-ABCD 中,VA =VB=VC=VD, , , .若13VPC2MVB3NDH 是 MN 的中点,求证:VAPH.三点共线问题若 A,B,C 三点共线,则存在实数 ,使得 ,这是解决三点共线问题的突ACB破口已知空间向量 ,且 ,则一定共线的ab2,56,72BDbabab三点为AA ,B,D BA,B,CC B, C,D DA,C,D【答案】A【解析】由题意可得:

    10、,则 ,则 A,B,D 三点共线;24BCab=2不存在实数 满足 ,则 A,B,C 三点不共线; =不存在实数 满足 ,则 B,C ,D 三点不共线; =,不存在实数 满足 ,则 A,C,D 三点不共线.48ACab =故选 A.设 e1,e2 是不共线的空间向量,已知 =2e1+ke2, =e1+3e2, =2e1-e2,若 A,B,D 三点共线,求 k 的值.空间向量的共面问题(1 )空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量不一定共面(2 )向量 p 与 a,b 共面的充要条件是在向量 a,b 不共线的前提下才成立的,若 a 与b 共线,则不成立(3 )若点 P 在平面 ABC 内,

    11、O 是平面 ABC 外的任意一点,则且 ,这也是判断四点共面的常用结论OPxAyBzOC1xyz已知 A,B ,C 三点不共线,O 是平面 ABC 外的任意一点,(1 )若 ,试判断向量 , , 是否共面,并判断点 P 是1()3PABC否在平面 ABC 内;(2 )若点 P 在平面 ABC 内,且 ,求实数 m 的值1253OO【答案】(1)向量 , , 共面,点 P 在平面 ABC 内;(2) ABC 15【解析】(1)因为 ,3所以 ,即 ,()()OPOABPCP所以向量 , , 共面ABC因为 , , 有共同的起点 P,且 A,B ,C 三点不共线,所以 P,A,B,C 共面,即点

    12、P 在平面 ABC 内方法 2:若点 P 在平面 ABC 内,O 是平面 ABC 外的任意一点,则 且 , OxAyBzC1xyz利用此结论可得 ,解得 1253m25【名师点睛】要证明三个向量共面(或四点共面) ,需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示混淆平行直线与平行向量而致错已知下列命题:若 A,B,C,D 在一条直线上,则 与 是共线向量;ABCD若 A,B,C,D 不在一条直线上,则 与 不是共线向量;向量 与 是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在一条直线上;向量 与 是共线向量,则 A,B,C 三点必在一条直线上其中是真命题

    13、的有_(填序号) 【错解】【错因分析】因为向量为自由向量,所以平行向量就是共线向量,但是向量所在的直线却不一定重合,也有可能平行,关键是看这两个向量所在的直线有没有公共点,如果没有公共点,那么对应的两条直线平行;否则,对应的两条直线重合【正解】为真命题,若 A,B,C,D 在一条直线上,向量 , 方向相同或相反,ABCD因此 与 是共线向量;AB为假命题,A,B ,C,D 不在一条直线上,则 , 方向不确定,不能判断 与AB是否是共线向量;为假命题,因为 , 两个向量所在的直线可能没有公共点,所以四点不一定在一AB条直线上;为真命题,因为 , 两个向量所在的直线有公共点 A,所以三点共线C故填

    14、【名师点睛】平行直线与平行向量的区别与联系:平行向量所在的直线既可以平行也可以重合;平行直线是指任何不重合的两条平行直线因此,两条平行直线的方向向量一定是平行向量,非零的平行向量所在的直线若不重合,则一定是平行直线混淆向量与平面平行和直线与平面平行而致错已知 , 是异面直线, , , , 分别是 ,ABCD AB MNAC的中点证明: BDMN【错解】因为 , ,且 , 是异面直线,C AB CD所以在平面 内存在向量 , 使得 , ,且两个向量不共线abab因为 , 分别是 , 的中点,N所以 111( )()()222MABMCDNABCDab根据共面向量定理知 ,所以 【错因分析】由 可

    15、知,表示向量的有向线段所在的直线与平面可能平行,1()2Nab也可能在平面内错解没有理解向量与平面平行的含义【正解】因为 , ,且 , 是异面直线,CD AB CD所以在平面 内存在向量 , 使得 , ,且两个向量不共线abab因为 , 分别是 , 的中点,MN所以 ,111( )()()222ABMCDNABCDab所以 , , 共面,ab所以 或 MN 若 ,则 , 必在平面 内,这与已知 , 是异面直线矛盾ABCDABCD故 【名师点睛】线面平行要求直线必须在平面外,而在利用向量证明线面平行时,需要说明对应的直线和平面的位置关系这就要求同学们在平时的学习中要充分理解定义、定理的实质1空间

    16、向量不可以做的运算是A加法 B减法C数量积 D除法2已知空间四边形 中, , , ,则BCDAaCbAcCA Babc abC D 3如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, + - =1111A B1 C D 4在长方体 中, 为 与 的交点 ,若 = = = ,则下1111 11,11,1列向量与 相等的是1A B12+12+ 12+12+C D1212+ 1212+5已知 为空间任意一点 , 三点不共线,若 = ,则 四 , 36OABC,点A一定不共面 B不一定共面C一定共面 D无法判断6如图所示,在正方体 中,下列各式中运算结果为向量 的是1ABCD 1AC ; ;

    17、;1()ABC11()ADC1()ABC1A BC D7已知空间四边形 ,连接 , ,则 _BCDAC8如图,已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1,给定的下列各对向量: 与 ; 与11 1; 与 ; 与 .其中是相反向量的是 .(填序号)1 11 119 已知点 P 和不共线的三点 A,B,C,四点共面且对于空间任意一点 O,都有 =,则 _.2+10已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 O1 为上底面 A1B1C1D1 的中心,若,则 _1AOxy2xy11 如图所示,在三棱柱 中, 是 的中点,化简下列各式:1M1(1 ) ; (2 ) ;1B 1ABC(3 ) ; (4 )

    18、 AMC M12已知两个非零向量 不共线,如果 , ,12,e12ABe128Ce,求证: 共面.123ADe, , , 13如图,平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中,M 是 AD1 中点, N 是 BD 中点,试判断 与是否共线?请说明理由.114设 P 是 的重心,若 ,且 ,则 =ABC ,CABabc0abcAPA B2bc 2cbC D3 315已知正方体 ABCD-ABCD的中心为 O,则有下列结论: + 与 + 是一对相反向量;OADBC - 与 - 是一对相反向量; + + + 与 + + + 是一对相反向量;ABCOABCD - 与 - 是一对相反向量.O其中正确的有

    19、A1 个 B2 个C3 个 D4 个16已知空间四边形 , , 分别是 与 边上的点, , 分别是ABCDEFABMN与 边上的点,若 , , , ,BCBCD则向量 与 满足的关系为EFMNA B EFNC D M17如图,空间四边形 中,若 , , , 分别为 , , , 的ABCDEFGHACDA中点,则下列各式中成立的是A BEBFHG0 EFCHGE0C D 18设空间四点 O、A、B 、P 满足 =m +n ,其中 m+n=1,则OAA点 P 一定在直线 AB 上B点 P 一定不在直线 AB 上C点 P 不一定在直线 AB 上D以上都不对19已知平行六面体 ,则下列四式中:ABCD

    20、 ; ; ;BCAC正确式子的序号是_20已知 是空间任一点, , , , 四点满足任三点均不共线,四点共面,且OABD,则 _2AxB34yCzO234xyz21已知点 是矩形 所在平面外一点,且 平面 , 分别是PPABCD,MN上的点, 分 成定比 , 分 成定比 ,求满足,DM2N1的实数 的值NxAByz,xyz22 (1)已知 A,B,C 三点共线,O 为直线外空间任意一点,若 ,求OCmAnB的值;mn(2 )设 , 是空间中两个不共线的向量,已知 , ,ab 6ABab2ab,且 A,B ,D 三点共线,求实数 m 的值D23已知在四面体 中, , , , 平面 证明:PABC

    21、DaPBbCcGABC为 的重心的充要条件是 G1()3G24 (2011 上海理)设 , , , , 是空间中给定的 5 个不同的点,则使1A2345A1234MA成立的点 M 的个数为5A0A0 B1C5 D101 【 答案】D2 【 答案】B【解析】因为 ,所以 ,选 B.ABCDA0CDcab3【答案】B 【解析】 + - + + + .1111=1111=11=4【答案】B【解析】由向量的三角形法则可得 ,1=1+12即 ,故选 B1=1+12(+)=12+12+5【答案】C【解析】因为 = ,且 ,所以 四点共面13+12+1613+12+16=1 ,6 【答案】D7 【答案】 A

    22、D【解析】 故填 BCADA8【答案】【解析】结合相反向量的定义,又由空间向量在空间中可以任意平移可知符合题意.9 【 答案】 2【解析】由四点共面的充要条件可得: ,2+1+=1解得: .故答案为 =2 210 【 答案 】34【解析】因为 111111()2222AOACAABDAB,所以 , ,2Dxy所以 故填 34y11 【解析】(1) 1AB(2) 111CCA(3) MMB(4 ) 12ABBM012 【 解析 】 , , ,12e128ACe123ADe ,123ADe121258ee=5 共面. ,14 【 答案 】D【解析】如图所示,由重心的性质可得: ,23APM由平面向

    23、量的运算法则可得: ,1BC则 .故选 D.2133APBACcb15【答案】C【解析】如图所示, =- , =- ,则 + =-( + ),是一对相反向量; - + , - + ,而 ,故不是一对= = =相反向量;同, + + + 与 + + + 是一对相反向量; - + , - + =- ,是一对相反向量.= =16 【答案】B17 【答案】B【解析】 , , ,GEHFCEBEFGH0 故选 BFC018 【 答案 】A【解析】由 可得 ,+=1 =1结合题意可知: ,=(1)+=+()即 , ,=() =据此可知,A,P ,B 三点共线,点 P 一定在直线 AB 上.故选 A.19

    24、【答案】【解析】 ,正确;CAC,正确;ABBA显然正确;,故错误CCCA故填 20 【答案】 1【解析】因为 , , , 四点共面,所以ABD()()(1)OABCDOBCODBOBCD,(1)234xyz所以 故填 234(1)()1xyz22 【 解析 】(1 )由于 A,B,C 三点共线,所以存在实数 ,使得 ,即ACB,=()OC所以 ,所以 , ,所以 O1mn1mn(2 )由 , 可得2Bab2DCab,()3DCab因为 A,B,D 三点共线,所以存在实数 ,使得 ,即ABD,6(3)maba所以 ,解得 2【名师点睛】本题(1)中是一个重要的结论:空间 A,B,C 三点共线的

    25、充要条件为,且 但很容易忽略“O 为直线外空间任意一点”这一条OCmAnB1n件,当 O 在直线上时, O 可以与 A 点重合,这时 ,其前面的系数 可以取任01意实数,这时不一定有 23 【 解析 】必要性:如图,连接 并延长交 于 ,AGBCD所以 ,1()1ppPDBPCPBPC于是)qGAA,1()1()1pqPPBPCqp因为 ,故 ,(3Gabc 1()()3qp解得 , ,于是 为 的重心2q1pABC综上, 为 的重心的充要条件是 ABC1()3PGabc24 【答案】B【解析】由题意 , , , , 是空间中给定的 5 个不同的点,如图,1234A5假设点 , , , , 均匀分布在同一条直线上,易知当且仅当点 M 与点1A2345A重合时,才能使 ,故使31234M5MA0成立的点 M 的个数为 1123450

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    本文标题:专题3.1.1、3.1.2 空间向量及其加减运算、空间向量的数乘运算-试题君之K三关2018-2019学年高二数学(理)人教版(选修2-1) Word版含解析.doc
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