1、 微扰动在气流中的传播及马赫锥 膨胀波的形成及普朗特 迈耶流动 波的相交和反射 激波的形成及传播速度 激波计算公式 激波的相交与反射 锥面激波及其数值解 波的组合及超声速进气道的激波系 第六章 膨胀波与激波 ( ) 0aV ()b V c()d V c()c V cc2c 3cVVVc3c3cc2c3cc2c3c图 6-1 微扰动在介质中的传播规律 微扰动在气流中的传播规 律，对于 和 有 本质差别，如图 6-1所示。 1aM 1aM对于 的流动，存在 马赫角 ： 1aM 1sinacVM （ 6-1） 图 6-1（ d）中的马赫锥的 锥面即为马赫波，马赫波 不仅可以是微弱压缩波， 也可以是膨
2、胀波。 6.1微扰动在气流中的传播及马赫锥 演示 PLAY 扰动所影响的范围 1sinacVM 1Ma 1Ma Ma 90 y图 6-2(a) 直线扰动源所产生的马赫波 图 6-2(b) 左伸与右伸马赫线 对于直线的扰动源（如平板）所产生的平面扰动波，扰动波的波面为一楔面，如图 6-2(a)所示，楔面在平面上的投影称为马赫线。通常把面向下游（顺气流方向）看，从扰动源伸向左方的称为左伸马赫线，伸向右方的称为右伸马赫线，如图 6-2(b) 所示。 最后还要指出的是，如果超声速气流沿其垂直方向气流参数不均匀，则马赫线将变成曲线。 分析超声速气流物体的流动 6.2膨胀波的形成及普朗特 迈耶流动 膨胀波
3、的形成 普朗特 迈耶流动的形成 普朗特 迈耶流动的数学特征 OdM a 1图 6-3 气流经膨胀波后的折转 超声速直匀流沿如图 6-3所示的外凸壁流动，在壁面转折处，产生一道马赫波，其马赫角 。气流通过马赫波之后，流动方向将沿波后壁面折转一个 d ，称为气流折转角。通常规定相对于来流方向逆时针方向折转为正，而顺气流方向折转角为负。 1s in (1 / )aM 除了超声速气流沿外凸壁流动 外，在其它一些情况下，如扰动源 为压强差，也可能会产生膨胀波。 一、膨胀波的形成 动画演示 PLAY 二、普朗特 迈耶流动的形成 212M a 1aM图 6-4 普朗特 迈耶流动 3 2 1OOOd123dd
4、1231aM图 6-5 普朗特迈耶流动的形成 对于定常均匀平面超声速流绕外凸 壁面的流动，通常称为普朗特迈耶 流动，如图 6-4所示。 当气流流过图 6-4所示的外凸壁时，可以 看作是流过一系列折转无限小的外凸壁的流 动（如图 6-5），从而形成不平行也不相交 的发散的膨胀波系。如果壁面的几个折转点 都无限接近点 ，就形成了如图 6-4所示 的普朗特 迈耶流动。 10PLAY 基本方程 普朗特 迈耶函数 三、普朗特 迈耶流动的数学特征 1、基本方程 （ 6-4） 0tF （ 6-3） 常数tVnV 常 数常数tnVV VddVdtg tgdtg dV tg dV 2sin 1c os 1atg
5、 M （ 6-1） 12 aMdVdV （ 6-5） 超声速气流沿 外凸壁流动的 基本微分方程。 图 6-6 膨胀波前后的速度三角形 dtVVVVV + VVtVV Vtdd+nddaV M c22 112 akc k R T k R T M 2( 1 )2 ( 1 )aaak M d Mdcc k M222212 ( 1 )aaaaM d MdM k M 1 2 1 2 1111 11a a akk t g M t g M C M C 2、普朗特 迈耶函数 取对数后微分 取对数后微分 aadMdV dcV M c（ 6-6） 22( 1 )12 ( 1 )aad M k MdVV M k M
6、 （ 6-7） 代入（ 6-5） 积分 1 2 1 211 11a a akkM t g M t g M 其中： （ 6-8） 上式即为普朗特 迈耶函数。 12 aMdVdV 1aMC对于左伸波： 2aMC对于右伸波： （ 6-9） 1 1 2 2aaMM （ 6-10） 即 m a x 1 121aa kMM k 当气流由声速膨胀加速到马赫数为无穷大时，气流需折 转的角度为 可见，超声速气流绕外凸壁流动时，气流参数的总的变 化只决定于波前气流参数和气流总的转折角度，而与气流 的折转方式无关。 附录 2表 4 给出了普朗特 迈耶函数 随 或 的变化数值表。 aM aM 1 2 1 211 11
7、a a akkM t g M t g M 0m a x 1 3 0 2 7aM 对空气， k 1.4，则 图形见下页 真空 max = Ma( ) max1aM最大折转角及普朗特迈耶函数的意义 四、微弱压缩波 微弱压缩波相交形成强压缩波 微弱压缩波相交 强压缩波 1d2d3d1Ma 弱压缩波 第二种扰动源 *ptP e=P b=P 3M a1 11 2345图 6-7 膨胀波在固体壁面上的反射 图 6-7为一均匀超声速气流以马赫数 沿壁面流动，这时自A点必产生一束膨胀波，我们用一道平均波 AB来表示。均匀的超声速气流经膨胀波 AB后沿下壁面流动，此时波后气流方向与上壁面不平行，因而膨胀波 AB
8、必然在 B点反射出一道膨胀波。 区气流经反射膨胀波 BC后进入 区，又沿上壁面方向流动。以下同理。由于膨胀波 DE后的上下壁面平行，在 E点膨胀波将消失。 1aM 由此可见， 只要超声速气流方向 与壁面不平行，就会在壁面处反射膨 胀波（或压缩波），因此膨胀波在固 壁上反射仍为膨胀波。同理可知，压 缩波在固壁上反射为压缩波。 动画演示 PLAY 二、膨胀波的相交（兰线表示） 动画演示 PLAY 膨胀波的相交的简化分析 M a1ACBDE35421图 6-8 膨胀波的相交 如果管道的上、下壁面在 A、 B处都向外转折一个有限角度 ，则超声速气流流过时，在 A、 B两点处均会产生一束膨胀波，它们的平
9、均马赫波相交于 C点如图（ 6-8）所示。超声速气流流过 AC、 BC后，分别向外折转一个角度 ，沿波后壁面流动。 、 区气流参数分别可按膨胀波计算公式求得。 、 区气流方向不平行而在 C点又一次膨胀，从而产生膨胀波 CD和 CE，气流经过这两道波后进入 区和 区，气流方向向内折转一个角 ，直到 、 两区气流方向一致，压强平衡为止。 可见 膨胀波相交时，在交点处必定 又产生两道膨胀波。同理可知，压缩波 相交后仍然是压缩波 。 三、膨胀波在自由边界上的反射 动画演示 PLAY 膨胀波在自由边界上反射的简化 AACCDB1324图 6-9 膨胀波在自由边界上的反射 如果喷管出口截面的超声速气流其压
10、强 大于外界压强 ，则在喷管出口产生膨胀波 AB和 AB（平均马赫波），并交于 B点（如图 6-9）。气流经过膨胀波 AB和 AB后，压强降到外界大气压强，并向外折转一个角度 ， AC和 AC即是自由边界。气流流过 B点之后必产生膨胀波 BC和 BC。 、 区气流经膨胀波 BC、 BC进入 区，并向内折转角度 ，且 因为气流在自由边界上必须满足压强相等，所以外界气流必定压缩 4区气流，而在点 C和 C处，气流必然受到压缩而产生压缩波，即气流经过压缩波 CD和 CD后，速度降低，压强升高，气流方向向内折转角 。即膨胀波遇到自由边界时，反射为压缩波。 ep ap 42pp 3 app注：运动介质与
11、其它介质之间的切向（与速度平行的方向）交界面称为自由边界。自由边界的特性是接触面两边的压强相等。 四、膨胀波与压缩波的相交 MACACM2EBa 4a 11234图 6-10 膨胀波与压缩波的相交 如果平面通道的上下壁面都往上折转角 （如图 6-10所示），在 AA两处必分别产生膨胀波 AB和压缩波 AB， B为两波交点，流场有 4个区。在 2区和 3区内气流均向上偏转角 。由于气流压强不等（ ）。这两股气流不可能平行地流下去是的。在 B点两股气流相遇后， 2区的低压气流将受到 3区高压气流压缩，产生一道压缩波 BC；而 3必产生一膨胀波 BE。这样近入第 4区，气流的压强和方向都一致了。可以
12、形象地看，膨胀波和压缩波相交时，两波可以相互穿过（ 波的方向要改变）。 32 pp 从上述几种典型的膨胀波的 相交与反射问题中，可以看出 在流场中的同一个区内，气流 的方向一致和静压相等。不同 方向，不同压强的超声速气流 相接触必定会产生波。 动画演示 PLAY 6.4 激波的形成及传播速度 激波的特点及分类 激波的形成 激波的传播速度 斜激波的形成 一、激波的特点及分类 激波是超声速气体受到强烈压缩后产生的强压缩波，气流 经过激波后，流速减小，相应的压强、温度和密度均升高 。 激波厚度很薄，且参数变化的每一状态不可能是热力学平 衡状态，这种过程是一个不可逆的耗散过程和绝热过程，因而 必然会引
13、起熵的增加。 V V V正激波斜激波 曲线激波（ （ （1 1 1a b c）图 6-11 几种激波的示意图 按形状，激波可分为： 1. 正激波：气流方向与波面垂直； 斜激波：气流方向与波面不垂直； 曲线激波：波形为 曲线形。如图 6-11所示： 二、激波的形成过程 1、 管内激波的形成过程 2、激波的形成及特点（弱波的追赶） 图 6-12激波的形成 VV2 +1=t 322111 cccccVcppp形成 : 若活塞速度从零增加到一个有限的速度 V，将这一压缩气体的过程分成 n个过程，每一过程都是在前一过程基础上增加一个速度 ,而活塞每增加一次，在管内将产生一道微弱压缩波，该压缩波是以当地声
14、速向前传播。可见活塞先后发出的微弱压缩波并不以相同的绝对速度向前传播，而后面的波是在前面的波已扰动的基础上发出的，因此后面的扰动波的速度比前面波的速度要快，故后面的波最终将追赶上前面的波而形成一道强的压缩波即激波。图 6-12给出了这种追赶过程。 V 特点 :从以上讨论可见，活塞的速度从零增加 V到的过程是非常短暂的，因而气体被压缩产生的一系列压缩波聚集的过程也是非常迅速的，这种量的变化引起了质的飞跃，使激波的性质与微弱压缩波有着本质的区别。其主要表现为： a)激波是强压缩波，经过激波气流参数变化是突跃的； b)气体经过激波受到突然地、强烈地压缩，必然在气体内部造成强烈的摩擦和热传导，因此气流
15、经过激波是绝能不等熵流动； c)激波厚度很簿激波的强弱与气流受压缩的程度（或扰动的强 弱）有直接关系。 3、基本简化 从以上分析可知，激波厚度很簿，而我们在实际中关心的是气流通过激波后气流参数的变化，若不关心激波内部的流动 ,因此在处理激波时，通常采用下列简化条件： 忽略激波厚度； 激波前后气体是理想绝热完全气体，且比热不变。 1、激波的传播速度 三、激波的传播速度 如图表示由于活塞的加速运动，在管内气体中形成一道激波。用 和 分别代表激波传播速度和激波后气体向右的运动速度，即活塞的速度。 和 分别是激波前后气流的压强。在以激波运动速度 相对坐标系中，流动是定常的，由图 (b)可得： 1pSV
16、 BV2pSV 21 m S B SA p p q V V V 动 量 方 程 12m S S Bq V A V V A 连 续 方 程212BSVV112ppVVBS 2 1 22 1 11 2 1 2 111 1 2 1 21111SppVp p p p pck （ 6-18） VpV V V V V VSB 1 S2= S B-p p p112 2激波 激波 （ a） （ b） 图 6-28 激波传播速 度推导用图 xAA 0V可见，当激波很弱时，其传播速度为声速，这时激波已蜕 化为微压缩波了。 1).由式（ 6-18）可得如下的关系 2).由式（ 6-20）可见 ,激波传播速度取决于 2 1 2 1/ , /pp 22 1 22 1 1,1Spp p d p cd S SdpVcd 112ppVVBS将 (6-18)代入 ，得 211211211212 11pppppVB （ 6-20） 2 1 22 1 11 2 1 2 111 1 2 1 21111SppVp p p p pck 21/pp sV 21/pp sV
